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人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结_图文

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第二章 《数列》基础知识小结 一、数列的概念与表示方法 1、 数列的概念 2、 数列的通项 公式 3、 通项公式的 作用 4、 数列的分类 5、 数列的递推 公式 6、 数列前 n 项 和的定义 按照一定顺序排列的一列数叫做数列。 如果数列的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个 公式就叫做这个数列的通项公式. ①求数列中任意一项; ②检验某数是否是该数列中的一项. ①根据数列项数的多少分——有穷数列、无穷数列 ②根据数列项的大小变化分——递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 如果已知数列的第 1 项(或前几项) ,且任一项与它的前一项(或前 n 项) 间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的递推公式。 一般地,我们称 即 等差数列 一般地,如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的差等于同一 个常数,那么这个数列就叫做等差数 列,这个常数叫做等差数列的公差, 公差通常用字母 d 表示. 为数列 的前 项和,用 表示, 二、等差数列与等比数列 等比数列 一般地,如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的比都等于同 一个常数,那么这个数列就叫做等比 数列,这个常数叫做等比数列的公 比。公比通常用字母 表示。 如果在 , 两个数中间插入一个数 , 使 , , 成等比数列。这时, 叫 做 与 的等比中项. ①、 与 是两个同号的非零实数 ②、若 是 与 的等比中项,则 1、定义 由三个数 , , 组成的等差数列可 以看成最简单的等差数列。这时, 2、 等差 (比) 叫做 与 的等差中项. 中项 若 是 与 的等差中项,则 。 3、判断等差 ① (比) 数列的 ② 方法 ③ 4、 等差 (比) ① 数列的通项 ② 公式 ③ 在等差数列 5、性质 1 其中 ① ② ③ ① ② ,其中 、 是常数 中,若已知 与 , ③ 若等比数列 则 中,若 , 则 中,若 ,则 。 , , , 中, 公比是 , , 。 ,则该数列的公差 6、性质 2 在等差数列 且 、、、 。 特别地、在等差数列 且 、 、 。 在等比数列 中,若 ( , ,, ) , 则 。 特别地,等比数列 ( , , 。 中,若 ) ,则 等差数列 7、性质 3 在等比数列 公比为 中, 若 , , 则 , , , 则 , , , …, ,…, ,…构成一个 ,…构成一个公差 为等 差数列(其中 与 为常数) 。 公比为 的等比数列。 若数列 与 分别是公差为 和 的 比数列,它们的公比分别为 , 。 若 和 分别是公比为 和 的等 , 仍是等 的公差为 ,若 、 、 8、性质 4 的等差数列,则数列 ( , 是常数) 是公差为 等差数列。 比数列,则数列 9、 等差 (比) ①若 数 列 的 单 调 ②若 性 ③若 ,则 ,则 ,则 为递增数列; 为递减数列; 为常数列。 ①当 时, 为常数列; ②当 时, 为摆动数列; ③当 , 时, 为递增 数列; ④当 , 时, 为递减 数列; ⑤当 , 时, 为 递减数列; ⑥当 , 时, 为 递增数列。 当 时, 时 , ; 或 10、 等差 (比) ① 数列的前 n ② 项和公式 ①当 时, ,是关于 的 一个缺少常数项的一次函数,数列 图象是直线 上一群孤立 的点; ② 当 11、 前 n 项和 的性质 1 时 , ,是关于 的一个缺少常数 项的二次函数,数列 线 的点。 等差数列前 项和的性质 2: 等差数列 的公差为 ,前 项和为 ,那么 数列 , , , ( )是等差数列,其公差等于 。 等差数列 ( 的前 项和为 , 项数为 )项,则① 图象是抛物 上一群孤立 当 ①当 时, 图象是函数 点; ②当 ,设 时, ,数列 的 上的一群孤立的 ,则 , 此时,数列 的图象是函数 的图象上一群孤立的点。 12、 前 n 项和 的性质 2 等比数列 的公比为 ,前 项和为 , 那么数列 , , , ( )是等比数列,其公比等 于 。 在等比数列中,若项数为 13、 前 n 项和 的性质 3 , ② 奇 偶 偶 奇 , ③ ( ) ,则 偶 奇 ; 的前 项和为 , 项数为 ) 项 , 则 ① ,② ,③ 奇 偶 等差数列 ( 奇 偶 . 三、典型题型小结 已知三个数成等比数列,且已知三个 数之积时,一般设此三个数分别为 , 1、三(四) , , , 公差为 。 个数成等差 一般不设为 , , 若三个数成等差数列常设为 , 这个四个数的积时, (比) 的设法 , ,公差为 。 , ,因为这种设法使得四个数 的公比为 ,就漏掉了公比为负数的 情形,造成漏解。 四个数成等差数列常设为 , , ,其中 为公比。 若已知四个数成等比数列及 ;或 2、求数列最 一般方法——解不等式 大 (小) 值的 特别地,若 为等差数列, 为它的前 n 项的和时,求 的最大(小)值 方法 可以利用①二次函数的性质;② 中项的符号。 ①观察法:根据数列的前几项归纳出数列的通项公式; ②公式法:利用 ③根据递推公式求通项公式: (1)迭代法:对于形如 数值的反复迭代方式, 最终使 3、求数列通 法. 项的常用方 (2) 累加法: 形如 法 求出通项; ( 3 )累乘法:形如 的递推公式可用 求出通项; (4)形如 求通项公式 型的递推公式,采取逐次降低“下标” 与初始值 (或 )建立联系的方法就是迭代 的递推公式可用 , 形式可用待定系数法。 ①公式求和法: 公式法是数列求和的最常用方法之一, 可直接利用等差数列、 等比数列的求和公式,也可利用常见的求前 项和的公式,如: ; ②错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应 项的乘积构成,则求此数列的前 项和时一般采用(乘公比 )错位相减法.如 若公比是字母,须对 或 进行讨论. ③裂项相消法:把数列

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