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高中数学第一章立体几何初步1.2点、线、面之间的位置关系测试新人教B版必修2

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1.2 点、线、面之间的位置关系

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共 150 分.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代

号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分).

1.以下命题正确的是

()

A.两个平面可以只有一个交点

B.一条直线与一个平面最多有一个公共点

C.两个平面有一个公共点,它们可能相交

D.两个平面有三个公共点,它们一定重合

2.下面四个说法中,正确的个数为

()

(1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合

(2)两条直线可以确定一个平面

(3)若 M∈α ,M∈β ,α ∩β =l,则 M∈l

(4)空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内

A.1

B.2

C.3

D.4

3.ABCD-A1B1C1D1 是正方体,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则下列结论中

错误的是

()

A.A、M、O 三点共线

B.M、O、A1、A 四点共面

C.A、O、C、M 四点共面

D.B、B1、O、M 四点共面

4.已知平面α 内有无数条直线都与平面β 平行,那么

()

A.α ∥β

B.α 与β 相交 C.α 与β 重合 D.α ∥β 或α 与β 相交

5.两等角的一组对应边平行,则

()

A.另一组对应边平行

B.另一组对应边不平行

C.另一组对应边也不可能垂直

D.以上都不对

6.如图所示,点 S 在平面 ABC 外,SB⊥AC,SB=AC=2,

E、F 分别是 SC 和 AB 的中点,则 EF 的长是( )

A.1

B. 2

C. 2 2

D. 1 2

7.平面α ∥平面β ,AB、CD 是夹在α 和β 间的两条线段,E、F 分别为 AB、CD 的中点,

则 EF 与α 的关系是

()

1

A.平行

B.相交

C.垂直

D.不能确定

8.经过平面外两点与这个平面平行的平面

()

A.只有一个

B.至少有一个 C.可能没有

D.有无数个

9.已知 ABCD 是空间四边形形,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,如果对

角线 AC=4,BD=2,那么 EG2+HF2 的值等于

()

A.10

B.15

C.20

D.25

10.若三个平面把空间分成 6 个部分,那么这三个平面的位置关系是 A.三个平面共线; B.有两个平面平行且都与第三个平面相交; C.三个平面共线,或两个平面平行且都与第三个平面相交; D.三个平面两两相交。 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分).

11.如图所示,平面 M、N 互相垂直,棱 l 上有两点 A、B,

()

AC ? M,BD ? N,且 AC⊥l,AB=8cm,AC=6 cm,

BD=24 cm,则 CD=_________.

12.如图所示,A 是△BCD 所在平面外一点,M、N 分别是

△ABC 和△ACD 的重心,若 BD=6,则 MN=___________.

13.已知平面α ∥平面β ,P 是α 、β 外一点,过 P 点的两条直

线 PAC、PBD 分别交α 于 A、B,交β 于 C、D,且 PA=6,

AC=9,AB=8,则 CD 的长为___________.

14.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,D1 到 B1C 的

距离为_________, A 到 A1C 的距离为_______.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15.(12 分)设 P 是△ABC 所在平面外一点,P 和 A、B、C 的距离相等,∠BAC 为直角.
求证:平面 PCB⊥平面 ABC.

16.(12 分)如图所示,三个平面两两相交,有三条交线,求证这三条交线交于一点或互 相平行.
2

17.(12 分)如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点,G 为 DD1 上一点,且 D1G:GD=1:2,AC∩BD=O,求证:平面 AGO//平面 D1EF.
18.(12 分)如图所示,已知空间四边形 ABCD,E、F 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别
是边 BC、CD 上的点,且 CF ? CG ? 2 ,求证直线 EF、GH、AC 交于一点. CB CD 3
19.(14 分)如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,M、N 分 别是 AB、PC 的中点,PA=AD=a.
(1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求证:平面 PMC⊥平面 PCD.
3

20.(14 分)如图 2-72,棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 B1C1、C1D1 的 中点,
(1)求证:E、F、B、D 四点共面; (2)求四边形 EFDB 的面积.

一、CADDD BACAC

参考答案(四)

二、11.26 cm;12.2;13.20 或 4;14. 6 a , 6 a;

2

3

三、15.证明:如答图所示,取 BC 的中点 D,连结 PD、AD,

∵D 是直角三角形 ABC 的斜边 BC 的中点

P

∴BD=CD=AD,又 PA=PB=PC,PD 是公共边

∴∠PDA=∠PDB=∠POC=90°

∴PD⊥BC,PD⊥DA,PD⊥平面 ABC

∴又 PD ? 平面 PCB

A

∴平面 PCB⊥平面 ABC. 16.证明:如答图所示,设已知平面α 、β 、γ ,
α ∩β =l1,β ∩γ =l2,α ∩γ =l3,如果 l1、 l2、 l3 中有任意两条交于一点 P,设 l1∩ l2=P,即 P ∈l1, P∈l2,那么 P∈α ,P∈γ ,则点 P 在平面α 、γ 的

B D
P

l1

l2

β

αγ

(a) l3

C
αγ l1 l3 β
l2
(b)

交线 l3 上,即 l1、 l2、 l3 交于一点如(a)图;

如果 l1、

D1

C1

l2、 l3 中任何两条都不相交,那么,因为任意两条都共

面,所以 l1∥ l2∥ l3 如(b)图. 17.如答图所示,设 EF∩BD=H,在△DD1H 中,

A1

G

B1

DO ? 2 ? DG ,
DH 3 DD1
∴GO//D1H,又 GO ? 平面 D1EF,D1H ? 平面 D1EF,
∴GO//平面 D1EF,

D O

H

AE

B

C F

在△BAO 中,BE=EF,BH=HO,∴EH//AO

AO ? 平面 D1EF,EH ? 平面 D1EF,∴AO//平面 D1EF,

4

AO∩GO=O,∴平面 AGO//平面 D1EF.

18.如答图所示,∵AE=EB,AH=HD,∴EH//BD,且 EH= 1 BD, 2



CF CB

?

CG CD

?

2 3

,∴FG//BD,且

FG=

2 3

BD,

∴EH//FG,且 EH≠FG,

故四边形 EFGH 为梯形,则 EF 与 GH 必相交,

A

H

E

D

G

设交点为 P,P∈平面 ABC,又 P∈平面 DAC,

又平面 BAC∩平面 DAC=AC,故 P∈AC,

B

F

C

即 EF、GH、AC 交于一点.

19.证明:如答图所示,⑴设 PD 的中点为 E,连结 AE、NE,

由 N 为 PD 的中点知 EN ?//

1 2

DC,



ABCD

是矩形,∴DC ?// AB,∴EN ?//

1 2

AB

又 M 是 AB 的中点,∴EN ?// AN,

P

∴AMNE 是平行四边形

N

∴MN∥AE,而 AE ? 平面 PAD,NM ? 平面 PAD

E

∴MN∥平面 PAD 证明:⑵∵PA=AD,∴AE⊥PD,

D

C

又∵PA⊥平面 ABCD,CD ? 平面 ABCD,
∴CD⊥PA,而 CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD

A

M

B

∴CD⊥AE, ∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面 PCD,

∵MN∥AE,∴MN⊥平面 PCD,

又 MN ? 平面 PMC,

∴平面 PMC⊥平面 PCD.

20. ⑴证明:如答图所示,连结 B1D1,在△C1B1D1 中,C1E=EB1,C1F=FD1 ,∴EF//B1D1,且

EF= 1 2

B1D1,又

A1A ?// B1B,A1A ?// D1D,∴B1B ?// D1D,∴四边形

BB1D1D

是平行四边形.



B1D//BD,EF//BD,∴E、F、D、B 四点共面

⑵由 AB=a,知 BD=B1D1= 2 a,EF= 2 a, 2

DF=BE= BB12 ? B1E 2 = a 2 ? ?? a ??2 ? 5 a ,
?2? 2

过 F 作 FH⊥DB 于 H,则 DH= DB ? EF ? 2 a

2

4

D1 F

C1

A1

B1 E

D A

GC
H B

∴FH= DF 2 ? DH 2 ? 5 a 2 ? 2 a 2 ? 18 a 2 ? 3 2 a

4 16

16

4















S EFBD

?

1 (EF 2

? BD) ? FH

?

1( 2

2 2

a?

2a) ? 3 2 a 4



5

1 ? 3 2 ? 3 2 a2 ? 9 a2

22 4

8

6


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