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2014年全国高中数学联赛天津赛区初赛试题及答案

时间:2018-01-18


2014 年高中数学联赛天津市预赛参考答案与评分标准
一. 选择题 (每小题 6 分, 共 36 分) 1. 在平面直角坐标系中, 方程 x + 2x sin(xy) + 1 = 0 所表示的图形是 (A). 直线 (B). 抛物线 (C). 一个点 (D). 以上都不对 ? 2 ),
2

解: 易知 x = ?1 且 sin xy = 1, 从而该方程所表示的图形由点列 (?1; 2k k ∈ Z 构成. 选 (D). 2. 圆柱的底面半径为 r, 高为 h, 体积为 2, 表面积为 24, 则 r + h 的值是 (A). 6
2 1 1

(B). 8
2

(C). 12

(D). 24
1 1

解: 由条件可知 r h = 2, 2 r + 2 rh = 24, 两式相比即得 r + h = 6. 选 (A). 3. 等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 并且对任意正整数 n 成立 Sn+2 = 4Sn + 3, 则 a2 的值是 (A). 2 (B). 6 (C). 2 或 6
2

(D). 2 或 ?6

··+ an+1, 所以 解: 设公比为 q. 由于 qSn = q(a1 + a2 + ···+ an) = a2 + a3 + · Sn+1 = qSn + a1. 进而 Sn+2 = q(qSn + a1) + a1 = q Sn + a1(q + 1). 与已知条件 2 比较可知 q = 4, a1(q + 1) = 3. 所以 q = 2, a1 = 1, 或 q = ?2, a1 = ?3. 相应地, a2 = 2 或 6. 选 (C). 4. 若关于 x 的不等式 (A). 0; 3
4x a

+ x ≥ 4 在区间 [1; 2] 上恒成立, 则实数 a 的取值范围是

1

(

4

]

(B). 1; 3

(

4

]

(C). 1; 3

[

4

]

(D).

[16

7;3

4

]

解: 取 x = 1, 得 4/a ≥ 3, 可知 0 < a ≤ 4/3, a 是正数. 这样原不等式变为 4x a ≤ 4 1/x ; ?x ∈ [1; 2]: ? 从而只需求函数 f(x) = 4x/(4 ? 1/x) 在区间 [1; 2] 的最小值. 易知 f (x) = 8x(2x ? 1)/(4x ? 1) 在 [1; 2] 上恒为正数, 即 f(x) 在 [1; 2] 上单调增, 故 f(x) 的 最小值为 f(1) = 4/3. 选 (A). 5. 直线 l 在平面 上. 直线 m 平行于平面 , 并与直线 l 异面. 动点 P 在平面上, 且到 l 和 m 的距离相等. 则 P 点的轨迹是 (A). 直线 (B). 椭圆
′ ′ 2 ′

(C). 抛物线

(D). 双曲线

解: 设 m 在平面 上的投影为 m , m 交 l 于 O 点. 在平面 上, 以 O 为原点, l 为 y 轴建立直角坐标系, 则可设 m 的方程为 y = kx. 又设 P 点的坐标为 (x; y), 参考答案与评分标准第 1 页


√ 2 则 P 到 l 的距离为 |x|; 它到 m 的距离为 |y ? kx|/ 1 + k , 从而 P 到 m 的距离平方等于


(y ? kx)2
2

+ a2;

1+k 其中 a 为直线 m 到平面 的距离. 因此, P 点的轨迹方程是

(y ? kx)2
1+k
2

+ a2 = x2:

可见轨迹是双曲线. 选 (D). 6. 如果 △ABC 中, tan A, tan B, tan C 都是整数, 且 A > B > C, 则以下说法错误的是 (A). A < 80
? ?

(B). B < 60

? ?

(C). C < 50 (D). A > 65 解: 由于 A > B > C, 所以 B, C 都是锐角, tan B, tan C 都是正整数, 这样 tan B + tan C tan A = ? tan(B + C) = tan B tan C ? 1 > 0; 可见 A 也是锐角. 这时, tan C ≥ 1, tan B ≥ 2, tan A ≥ 3. 我们有 tan A + tan B A B 1 = tan C ≥ 1; tan tan ? 即 (tan A ? 1)(tan B ? 1) ≤ 2. 但是 tan A ? 1 ≥ 2, tan B ? 1 ≥ 1, 比较 可知只可能 tan A = 3, tan B = 2, tan C = 1. 因此, C = 45 , 选项 (C) 正确. 由 tan B >
? ?



3 可知 B > 60 , 选项 (B) 是错误的.


?

至于选项 (A) 和 (D), 由
?

tan 75 = 2 +

3 > tan A 可知 A < 75 , 选项 (A) 正确; 由 A + B = 135 和
?

?

A > B 可知 A > 65 , 选项 (D) 正确. 综上可知, 本题答案为 (B). 二. 填空题 (每小题 9 分, 共 54 分) 1. 若正实数 a, b 满足 log8 a + log4 b = 5 和 log8 b + log4 a = 7, 则 log4 a + log8 b 的值是 . 解: 令 a = 2 , b = 2 , 则 x/3 + y = 5, y/3 + x = 7, 从而解得 x = 6, y = 3. 因此 4 log4 a + log8 b = x/2 + y/3 = . 2. 设 x = sin 的是 解: 由于
(

2

2

x

y

2

+ sin( + .

2 3

) sin( + ), 当 =
3

67 2014

时, x 的小数点后第一位数字

+2

1
=1?2 sin

sin

3 )

+ √

√ 3 2 cos
3

;

sin + 3 ) = 2 sin + 2 cos ; 参考答案与评分标准第 2 页

(

这两式相乘得 sin( +

2

3 ) sin( + 3 ) =

3

4 cos

2

? 4 sin

1

2

. 因此 x =

3

4 ,

小数点后第一位数字是 7 . 3. 数列 {an} 满足 an+1 = an + an?1, n ≥ 2. 若 a7 = 8, 则 a1 + a2 + ···+ a10 等 于 .

解: 由条件可知 a7 = 8a2 + 5a1, 所以 a1 + a2 + ··· + a10 = 88a2 + 55a1 = 11a7 = 88 . 4. 若 a = 1 + i, b = 2 + i, c = 3 + i, x = 2 (?1 + .
2 3

1



3 i), 则 |a + bx + cx | 的值是

2

解: 注意 x 满足 x + x + 1 = 0, 从而 x = 1, |x| = 1, xx = 1. 又注意 a, b, c 的 虚部相等, 结合 x
2

+ x + 1 = 0 可知, 只需针对 a = 1, b = 2, c = 3 进行计算即可.

这时我们有 |a + bx + cx | = (a + bx + cx )(a + bx + cx ) = a + b + c + ab(x + x) + bc(xx + xx ) + ac(x + x ) = a + b + c ? ab ? bc ? ca: 将 a = 1, b = 2, c = 3 代入, 得 |a + bx + cx |
x y z 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2

√ = 3, 故本题答案为

3

.

5. 将集合 {2 + 2 + 2 | x; y; z ∈ N; x < y < z} 中的数从小到大排列, 第 100 个是 (用数字作答). 解: 使得 0
3 2

≤ x < y < z ≤ n 的 (x; y; z) 组合共有 Cn +1 个. 注意 C9 = 84 <
3 2

3

3

100 < 120 = C10 , 因此第 100 个数满足 z = 9. 使得 0 ≤ x < y ≤ m 的 (x; y) 组 合共有 Cm +1 个, 注意 C9 + C6 = 99, 因此第 100 个数满足 y = 6, x = 0. 即第 9 6 0 100 个数是 2 + 2 + 2 = 577.

6. 函数 f(x) 满足 f(x) = x ? 3; x ≥ 1000;
解: 记 f
(n )
f(f(x + 5)); x < 1000:

则 f(84) 的值是

.

(x) = f(f(

f(x) ···
(184)

)), 其中等号右端有 n 个 f. 那么 ···
(185) (184) (183)

f(84) = f(f(89)) = ···= f f
(184)

(999) = f

(1004) = f

(1001) = f

(998) =

(1003) = f

(183)

(1000) = f

(182)

(997) = f

(183)

(1002) = f

(182)

(999):

注意从 f 可知 f f
(2)

(184)

(999) 到 f

(182)

(999) 这个过程中, f 的个数减少了 2. 同样的推理
(2)

(182)

(999) = f
(3)

(180)

(999) = ··· = f
(2)

(999). 继续此过程, 就有
(2)

(999) = f

(1004) = f

(1001) = f(998) = f

(1003) = f(1000) = 997:

参考答案与评分标准第 3 页

因此本题答案为

997

.

三. 解答题 (每小题 20 分, 共 60 分. 每小题只设 0 分, 5 分, 10 分, 15 分, 20 分五档) 1. A, B ,O . 2 +y =1 , ?→ ·??→ 2



是椭圆

x

2

上两个动点

是坐标原点 且 OA OB = 0
?

又设

P 点在 AB 上, 且 OP ⊥ AB.
:
:

?→ · ??→

求 |OP | 的值.
, ,

.

| |

解 方法一
2

由 OA OB = 0 不妨设 A(a; ka) B( kb; b)
2 2

这样 OA = (1 + k )a

2

2 2

,

|OB| = (1 + k )b . 由 A, B 在椭圆上, 有

a2
2

2 +k a 因此 a
2

2 2 2

k2b2
= 1; 2

+ b = 1:

2

= 1/(k

2

+ 1/2), b = 1/(1 + k /2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)

现在, 在 Rt△OAB 中, |OP | |OP | =


2

2

(1 + k )a b 2 2

2 2 2

= |OA| |OB| /|AB| , 所以
1+k 2
2

2

2

2

2 =3 :

a +b

= (1 + k /2) + (k + 1/2)

2

因此 |OP | =

6 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分)

方法二: 不妨设 OA 与 x 轴正向的夹角为 , OB 与 x 轴正向的夹角为 可进一步设 A(a cos ; a sin ), B(?b sin ; b cos ). 代入椭圆方程可得 a
2(1
2

+ 2 . 这样,

2 cos
)

2

+ sin

2 )

= 1; b2(12 sin2

+

cos

=

= 1: 由 此 1 3 + 2 可1 = 2 见
a 1

, 也即 a +b a b
2

2

2

3 =2:
2

2 2

2 在 Rt△OAB 中, |OP | · |AB| = |OA| ·|OB|, 因此 |OP |



= a b /(a

2 2

+ b ) = 2/3. 这样

2

|OP | = 3 . b 2. 在四面体 ABCD 内部有一点 O, 满足 OA = OB = OC = 4, OD = 1, 求四面体 1 ABCD 体积的最大值.
2

6

+

解: 首先, 固定 A, B, C, O 四点时, 要使 ABCD 的体积最大, 则 D 点到平面 ABC 的 距离应最大. 但 D 点在以 O 为球心, 1 为半径的球面上运动, 故取最大值时, OD ⊥ 平

面 ABC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分) 参考答案与评分标准第 4 页

设 O 在平面 ABC 的投影点为 E, 且 |OE| = x. 那么, D 到 ABC 的距离为 1 + x. 而

EA = EB = EC =



16 ? x , 可知 △ABC 的面积 ≤

2


3 4 3

(16 ? x ). (注: 这里用到,
2

2

若 A, B, C 是半径为 R 的圆上三点, 则 △ABC 的面积 ≤ 4 R .) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)

3

3√ 3

因此, ABCD 的体积 ≤ x ∈ (0; 4), 易知

4

(16 ? x )(1 + x). 考虑函数 f(x) = (16 ? x )(1 + x), f (x) = ?3x ? 2x + 16;
′ 2

2

2

可见 f(x) 在 (0; 3) 上有唯一的临界点 x = 2. f(x) 在 (0; 3) 的最大值为 f(2) = 36. 从而所求最大值为 9 3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分)



3. 设函数 f(x) = 1 ? e . (1) 证明: 当 x > 0 时, f(x) > x+1 ; (2) 数列 {an} 满足 a1 = 1, ane
?an+1

?x

x

= f(an), 证明: 数列 {an} 递减且 an < 2
?x 1

1
n

.

< x+1 , 即 ?x < ? ln(x + 1). 令 h(x) = x ? ln(x + 1), ′ 1 则 h (x) = 1 ? x+1 , 可见 h(x) 在 [0; ∞) 上单调增, 因此当 x > 0 时, h(x) > h(0) = 0. 解: (1) 待证式等价于 e
.............................................. ( x (5 分) {an} 递减, 只需证明当 x > 0 时, 2, 则 an+1 = g(an). 要证明 ) g 记 ( x g ?x ) 事实上, g(x) < x 等价于 ln((1 ( ? e )/x) > ?x, 也即 < x ?x ?x ) x 1 ? e > xe ; = . ? ?x

注意 f(x) = 1 ? e , 可见上式也等价于 f(x) > x(1 ? f(x)), 即 f(x) > x/(x + 1), 这 由 (1) 即证.
l n
1 ? e
n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)

要证明 an < 2

1

, 只需证明当 x > 0 时, g(x) < 2 . 这等价于 x

x

1 ? e?x

x x/2 ?x/2 x/2 ?x/2 ′ 1 x/2 也即 e ? e > x. 为证此式, 令 F (x) = e ? e ? x, 则 F (x) = 2 (e +

> e?x/2;
?x/2

e

?x/2

) ? 1 ≥ 0, 且等号成立当且仅当 e

x/2

=e

= 1, 即 x = 0. 因此 F (x) 在 [0; ∞) > x 得证.

上单调增, F (x) > F (0) = 0. 于是 e

x/2

? e

?x/2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分)

.

参考答案与评分标准第 5 页


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