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分段函数、抽象函数和复合函数

时间:2015-03-08


选择题

1、若函数

在点

处连续,则

的值为(



A.10

B.20

C.15

D.25

【答案】C.

【解析】 试题分析:根据函数在 处连续,有等式 然后直接代入即可得到结论. 考点:函数的性质及应用. 成立,即可求出 的值为 4,

选择题

函数

的单调递增区间是(



D

本题考查对数函数以及复合函数的单调性,中档题. ,解得 . 或 .由复合函数的单调性知 的单调递增区间为

选择题



,若



的最小值,则 a 的取值范围为(



A.[﹣1,2] B.[﹣1,0] C.[1,2] D.[0,2]

D

本题考查分段函数、二次函数、分式函数以及函数最小值求解,具有一定的综合性.若 a

大于 0,则





依题意得

,解得



若 a 不大于 0, a=0, 综上:选 D.



,最小值在

处取得,依题意,

选择题

将函数

的图象向右平移

个单位长度,所得图象对应的函数(



A.在区间

上单调递减

B.在区间

上单调递增

C.在区间

上单调递减

D.在区间

上单调递增

B

本题考查了函数图象的平移,考查了复合函数单调性的求法,复合函数的单调性满足“同 增异减”原则,是中档题.

把函数

的图象向右平移

个单位长度,得到的图象所对应的解析式为

,即





,得

,取



,所以图象对应的函数在区间

上单调递增.选 B.

选择题

已知函数

,若

,则





A.

B. C.1 D.2

A

本题考查指数函数、分段函数,已知函数值求参数,中档题。



,所以

解得

选择题

已知函数

,则下列结论正确的是(



A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞)

D

本题考查分段函数的性质,涉及三角函数的性质. 当 x≤0 时,函数的值域为[﹣1,1],当 x>0 时,函数的值域为(1,+∞),故函数 f (x)的值域为[﹣1,+∞).

选择题

已知函数



,若

,则





A.1 B. 2 C. 3 D. -1

A

本题考查指数函数、二次函数以及复合函数,知函数值求参数,简单题.

选择题

函数

的定义域为(



A.

B.

C.

D.

C

本题考查对数函数、复合函数的定义域、一元二次不等式,简单题.

选择题

下列函数中,满足“

”的单调递增函数是(



A.

B.

C.

D.

B

本题考查幂函数、指数函数的单调性,考查抽象函数的理解,中档题.只有 D 不是单调递 增函数,对于 B: ,满足条件.

选择题

下列函数中,满足“

”的单调递增函数是(



A.

B.

C.

D.

D

本题考查幂函数、指数函数的单调性,考查抽象函数的理解,中档题。只有 C 不是单调递 增函数,对于 D: ,满足条件。

选择题

将函数

的图象向右平移

个单位长度,所得图象对应的函数(



A.在区间

上单调递减

B.在区间

上单调递增

C.在区间

上单调递减

D.在区间

上单调递增

B

本题考查了函数图象的平移,考查了复合函数单调性的求法,复合函数的单调性满足“同 增异减”原则,是中档题.

选择题

设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时 f′(x)·g(x)+f(x)·g′ (x)>0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)·g(x)<0 的解集是( ).

A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)

D

构造函数 F(x)=f(x)·g(x),则 F′(x)=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x),由已知当 x<0 时,F′(x)>0,函数 F(x)在(-∞,0)上为增函数,又 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇 函数和偶函数,从而 F(x)为奇函数,F(x)在(0,+∞)上也为增函数且 F(-3)=F(3)= 0.根据题意提供的信息作出大致图象如图所示,由图象不难得到 f(x)·g(x)<0 的解集为 (-∞,-3)∪(0,3),故选 D.

选择题

设偶函数 f(x)满足 f(x)= 2 -4(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=(

x

).

A. {x|x<-2 或 x >4} B. {x|x<0 或 x >4} C. {x|x<0 或 x >6} D. {x|x<-2 或 x >2}

B

当 x≥0 时,由 f(x)=2 -4>0,得 2 >4=2 .因为当 a>1 时,y=a 单调递增,所以 x>2.又 f(x) 为偶函数,所以 f(x)>0 时,x>2 或 x<-2,故由 f(x-2)>0 可得 x-2>2 或 x-2<-2,即 x>4 或 x<0,因此选 B.

x

x

2

x

选择题

函数 y=a +1(a>0,且 a≠1)的图象必经过点( ).

x-2

A.(0,1) B.(1,1) C.(2,0) D.(2,2)

D

当 x-2=0,即 x=2 时,y = a +1 = 2,所以无论 a 取何值,函数恒过点(2,2).

0

选择题

设不等式 x -x≤0 的解集为 M,函数 f(x)=ln(1-|x|)的定义域为 N,则 M∩N 为().

2

A.[0, 1) B. (0,1) C. [0,1] D. (-1,0)

A

M=[0,1],N=(-1,1),则 M∩N=[0, 1),故选 A.

选择题

已知 y=loga(2-ax)在[0,1]上为 x 的减函数,则 a 的取值范围为(

)。

A.(0,1) B.(1,2) C. (0,2) D.[2,+∞)

B

题目中隐含条 a>0, 当 a>0 时,2- ax 为减函数, 故要使 y = loga (2 - ax)在[0,1 ]上是减函数, 则 a>1,且 2 – ax 在 x∈[0,1 ]时恒为正数, 即 2-a >0,故可得 1 <a<2.

选择题

已知函数 y=f(2 )的定义域为[1,2],则函数 y=f(log2x)的定义域是(

x

).

A.[2,4] B.[4,16]

C.[0,1] D.[1,2]

B

本题是两个方面的问题:①已知 f[g(x)]的定义域,求 f(x)的定义域;②已知 f(x)的 定义域,求 f[φ (x)]的定义域. 解:∵函数 y=f(2 )的定义域是[1,2], ∴1≤x≤2. ∴2≤2 ≤4,即 y=f(x)的定义域是[2,4]. ∴2≤1og2x≤4,即 4≤x≤16. ∴函数 y=f(log2x)的定义域是{x|4≤x≤16}. 【点拨】求定义域一般是根据条件列出不等式组求之,但求复合函数的定义域要切实 把握好内外函数的定义域与值域的关系.
x x

选择题

已知 f(x)=x +2xf′(1),则 f′(0)的值为(

2

).

A.0 B.-2 C.2 D.-4

D

∵f′(x)=2x+2f′(1),∴f′(1)=2+2f′(1),即 f′(1)=-2,∴f′(0)=-4.

选择题

已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当 x>0 时,有 f′(x)>0, 则当 x<0 时,有( ).

A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0

B

由题意知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数.根据奇偶函数图象的特点知,当 x<0 时,f(x) 的单调性与 x>0 时相同,g(x)的单调性与 x>0 时恰好相反.因此,当 x<0 时,有 f′(x) >0,g′(x)<0.

选择题

设函数

则当 x>0 时,

表达式的展开式中常数项为(

)

A.-20 B.20 C.-15 D.15

A

当 x>0 时,f

,所以

,其展开式的通项

为 以展开式中常数项为

,所以由题意知, .

,即

,所

选择题

设函数 的解的个数为 ( )

,若



,则关于 的方程

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】C.

【解析】

试题分析:由 时, 然有一个解 ,故选 C. 考点:分段函数.



可得 有两个解,当

,当 时, 显

选择题

若函数

,则

(其中 为自然对数的底数)(



A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】 试题分析:依题意可得 考点:分段函数. ,故选 C.

选择题

已知函数 g(x)=1-2x,f[g(x)]=

(x≠0),则 f(

)等于(

)

A.1

B.3

C.15

D.30

【答案】C

【解析】令 1-2x=

,得 x=

,∴f(

)=

=15,故选 C.

选择题

已知 为偶函数,当 解集为( )

时,

,则不等式



A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】 试题分析:先画出当 时,函数 的图象,又 为偶函数,故将 轴右侧的函

数图象关于

轴对称,得

轴左侧的图象,如下图所示,直线

与函数

的四个

交点横坐标从左到右依次为

,由图象可知,



,解得

,选 A.

考点:1、分段函数;2、函数的图象和性质;3、不等式的解集.

选择题

已知函数

则下列结论正确的是(



A.

是偶函数

B.

是增函数

C.

是周期函数

D.

的值域为

【答案】D

【解析】 试题分析:由于分段函数的左右两边的函数图象不关于 y 轴对称,所以 A 不正确.由于图象 左边不单调,所以 B 不正确.由于图象 x>0 部分的图象不是没有周期性,所以 C 不正确.故选 D. 考点:1.分段函数.2.函数的性质.

选择题





的最小值,则 的取值范围为(

).

A.[-1,2]

B.[-1,0]

C.[1,2]

D.

【答案】D

【解析】由于当 时,

时, 应该是递减的,则



时取得最小值

,由题意当 ,因此

,此时最小值为

,解得 ,选 D. 【考点】分段函数的单调性与最值问题.

选择题

已知函数

,若

,则 的取值范围是(



A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】函数

的图像如下图所示:

由图知, 率, 因为

成立的临界条件是:过原点作函数

的切线的切线斜

,所以

满足 成立的 取值范围为 故选 D 【考点】分段函数;导数的几何意义;数形结合.

选择题

已知 范围是(

,若函数 )

只有一个零点,则 的取值

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】 试题分析:可将问题转化为函数 变形为 上是增函数,且 。当 和 的图像只有一个交点。将 。 在 时,函数 在

,可知直线过定点 ;当 时,函数

上单调递减,且

时,显然成立;当 即在直线

时,直线与函数 上又在函数

相切时,因定点

图像上,则此点

即为切点,因为

,由导数的几何意

义可得

,有数形结合分析可知

时两函数图像只有一个交点;当

时,直线与函数 ,所以

相切时点 即此时切线的斜率 或

即为切点。因为此时 ,由数形结合分析可知 。故 D 正确。

时两函数图像只有一个交点。综上可得 考点:1 函数的单调性;2 数形结合思想。

填空题

已知函数 值范围为_______

若函数

恰有 4 个零点,则实数 的取

(1,2)

本题主要考查函数零点个数的应用,利用数形结合是解决本题的关键,综合性较强,难度 较大.由 y=f(x)﹣a|x|=0 得 f(x)=a|x|, 作出函数 y=f(x),y=a|x|的图象, 当 a≤0,不满足条件, ∴a>0, 当 a=2 时,此时 y=a|x|与 f(x)有三个 交点, 当 a=1 时,此时 y=a|x|与 f(x)有五个 交点, ∴要使函数 y=f(x)﹣a|x|恰有 4 个零点, 则 1<a<2, 故答案为(1,2)

填空题

函数

的单调递减区间是________.

(﹣∞,0)

本题考查对数函数以及复合函数的单调性,中档题.因为 y=lgx =2lg|x|, ∴当 x>0 时,f(x)=2lgx 在(0,+∞)上是增函数; 当 x<0 时,f(x)=2lg(﹣x)在(﹣∞,0)上是减函数. ∴函数 f(x)=lgx 的单调递减区间是(﹣∞,0). 故填(﹣∞,0).
2

2

填空题

设 f(x)= _________ .

,若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围为



时,则

时, ;



时,



依题意得

若 a 小于 0 时,则 符合题意,a<0, 综上 。

时,



时,

,最小值在

处取得,

本题考查分段函数、分式函数、考查基本不等式求函数最值求解,具有一定的综合性。

填空题



是定义在

上的周期为 的函数,当

时,

,则

____________。

1

本题考查函数的表示方法、函数的解析式、分段函数、求函数值等基础知识,简单

题. 故答案为 1

填空题

设函数



,则实数 的取值范围是

本题考查分段函数及函数的表示,解不等式(组),不等式的性质等基础知识,中档题.







填空题



是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当

时,

,则



本题考查函数的表示方法、函数的解析式、分段函数、求函数值等基础知识,简单

题.

填空题

设函数

则使得

成立的 的取值范围是________.

本题考查函数及其表示、解析式、幂函数、指数函数、分段函数、指数不等式等基础知 识,考查分类讨论思想,考查综合运用知识解决问题的能力。中档题。 当 x <1 时,由 可得 x -1? ln 2,即 x ? ln 2+1,故 x <1;

当 x ?1 时,由 f (x) =

? 2 可得 x ? 8,故 1? x ? 8,综上可得 x ? 8

填空题

设函数

,若

,则 =_________;

本题主要考查分段函数的应用,利用换元法分别进行讨论即可.设 t=f(a),则 f(t) =2, 若 t>0,则 f(t)=﹣t =2,此时不成立, 若 t≤0,由 f(t)=2 得,t +2t+2=2, 即 t +2t=0,解得 t=0 或 t=﹣2, 即 f(a)=0 或 f(a)=﹣2,
2 2 2 2 2 2

若 a>0,则 f(a)=﹣a =0,此时不成立,或 f(a)=﹣a =﹣2,即 a =2,解得 a= 若 a≤0,由 f(a)=0 得,a +2a+2=0,此时无解, 由 f(a)=﹣2 得,a +2a+4=0,此时无解,
2 2



综上:a=



故答案为



填空题

函数

的零点个数是_________

2

,2x-6+lnx=0 画出 y=lnx,y=6-x 图象便知 2x-6+lnx=0 有一个正根.

填空题

若函数

是周期为 4 的奇函数,且在

上的解析式为

,则



本题考查函数的值的求法,分段函数的应用,考查计算能力.函数 f(x)(x∈R)是周期

为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为





故答案为



填空题

已知函数 取值范围是________.

若关于 的方程

有两个不同的实根,则实数 的

【答案】

【解析】 试题分析:画出分段函数 f(x)的图象如图所示,结合图象可以看出,若 不同的实根,即函数 的图象与 f(x)=k 有两个

有两个不同的交点, 的取值范围为(0,1).

考点:分段函数.

填空题



是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当

时,

,则

.

【答案】1

【解析】

试题分析: 【考点定位】周期函数及分段函数.

.

填空题



是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当

时,





.

【答案】1

【解析】

试题分析: 【考点定位】周期函数及分段函数.

.

填空题

设函数

,若对任意给定的 ,则正实数 的最小值是 .

,都存在唯一的

,满足

【答案】

【解析】 试题分析:当 时, 当 时,对应唯一的 所以 时, 对 恒成立,即 当 时, ,因此当

,正实数 的最小值是 考点:分段函数值域

填空题

填空题

设函数

,若对任意给定的 ,则正实数 的最小值是 .

,都存在唯一的

,满足

【答案】

【解析】 试题分析:当 时, 当 时,对应唯一的 所以 时, 对 恒成立,即 当 时, ,因此当

,正实数 的最小值是 考点:分段函数值域

填空题

已知

, ,则 的最大值等于

, .



【答案】2

【解析】 试题分析:设 ,则

,所以

考点:分段函数

填空题

已知

, ,则 的最大值等于

, .



【答案】2

【解析】 试题分析:设 ,则

,所以

考点:分段函数

填空题

[2014·合肥模拟]f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数,满足 f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,当 f(x)+f(x-8)≤2 时,x 的取值范围是________.

【答案】(8,9]

【解析】2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由 f(x)+f(x-8)≤2,可得 f[x(x-8)]≤f(9), 因为 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,所以有 x>0,x-8>0,且 x(x-8)≤9,解得 8 <x≤9.

解答题

如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米. 某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y= kx- (1+k )x (k>0)表本的曲线上, 其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3. 2 千米,试问它的横坐 标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.
2 2

见解析.

(1)在 y= kx-

(1 +k )x (k>0)中,令 y=0,得 kx -

2

2

(1 +k )x =0.

2

2

由实际意义和题设条件知 x>0,k >0.

∴x=

=



= 10,当且仅当 k = 1 时取等号.(

≥2k· =2)

∴炮的最大射程是 10 千米.

(2)∵ a>0,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k >0,使 kx即关于 k 的方程 a k -20ak + a +64=0 有正根. 由 ? = ( -20a) -4a (a + 64)≥0 得 a≤6.
2 2 2 2 2 2

(1 +k )a =3.2 成立,

2

2

此时, ∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标.

(不考虑另一根).

解答题

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速 度ν (单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度ν 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数ν (x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小 时)f(x)= x·ν (x) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

(1)ν (x) = ;(2)当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可 以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时.

(1)由题意:当 0≤x≤20 时,ν (x) =60;当 20≤x≤ 200 时,设 ν (x) =ax + b, 显然ν (x)= ax + b 在[20,200 ]是减函数,由已知得

解得

故函数ν (x) 的表达式为

ν (x) = (2)依题意并由(1)可得

f(x) = f(x)在[20,200]上是连续函数,当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值
为 60×20 =1 200;

当 20≤x≤200 时,f(x)= x=100 时,等号成立.

x(200 -x) =-

( x-100) +

2



.当且仅当

所以,当 x = 100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值

.

综上,当 x = 100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333,即当车流密 度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时.

解答题

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑 物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能 源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:

,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热 层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式;

(2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.

见解析

(1)设隔热层厚度为 xcm,由题意,每年能源消耗费用为



再由 C(0)=8,得 k=40,因此 而建造费用为 C1(x)=6x,



所以可得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为



(2)

,令 f′(x)=0,即

,解得 x=5 或

(舍去).

当 0<x<5 时,f′(x)<0;当 5<x<10 时,f′(x)>0.故 x=5 是 f(x)的最小值点,对

应的最小值为



故当隔热层修建 5cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元.

解答题

将连续正整数 位数(如 时,此数为

从小到大排列构成一个数



为这个数的 ),现

,共有 15 个数字, 为恰好取到 0 的概率.

从这个数中随机取一个数字,

(1)求



(2)当

时,求

的表达式;

(3)令

为这个数字 0 的个数, ,

为这个数中数字 9 的个数, ,求当 时 的最大

值.

(1)当 n=100 时,这个数中总共有 192 个数字,其中数字 0 的个数为 11,所以恰好取到 0

的概率为 p(100)=

;

(2)

(3)当 n=b(

),g(n)=0;

当 n=10k+b

g(n)=k;

n=100 时 g(n)=11,即

同理有 由 h(n)=f(n)-g(n)=1,可知 n=9,19,29,29,49,59,69,79,89,90

所以当

时,S=

当 n=9 时,p(9)=0,

当 n=90,p(90)=

=

当 n=10k+9(

)时,p(n)=

由 y=

关于 k 单调递增,故当当 n=10k+9(

)时,

P(n)的最大值为 p(89)=

,又

,所以最大植为

.

本题考查概率、函数的表示、分段函数、函数的性质、排列等知识,考查分类 讨论思想、转化与化归思想,本题为信息题,也是本卷的压轴题,综合考查认 识问题、分析问题、解决问题的能力,难题。

解答题

已知函数

,设



的导数,



(1)求

的值;

(2)证明:对任意的

,等式

都成立。

(1)

;(2)证明见解析.

本题主要考查简单的复合函数的导数,考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力。 难题。

由已知,

所以,

所以,

所以,

(Ⅱ)由已知:

,等式两边分别对 求导,得



类似可得:

由此猜想:

对任意

都成立

下面用数学归纳法进行证明: (1)当 时,由上面的猜想过程,知等式成立

(2)假设

时等式成立,即

因为

所以, 所以, 时,等式成立

综合(1)(2),可知等式

对任意

都成立



,可得

所以,

.

解答题

已知函数

,其中



为自然对数的底数。

(Ⅰ)设

是函数

的导函数,求函数

在区间

上的最小值;

(Ⅱ)若

,函数

在区间

内有零点,证明:



(1)因为

所以



因为



所以:

①若

,则





所以函数

在区间

上单增,

②若

,则



于是当 ,



,当



所以函数

在区间

上单减,在区间

上单增,

③若

,则



所以函数

在区间

上单减,

综上:

在区间

上的最小值为

(2)由

,又

若函数

在区间

内有零点,则函数

在区间

内至少有三个单调区间

由(1)知当 “函数 在区间



时,函数



在区间

上单调,不可能满足

内至少有三个单调区间”这一要求.



,则









.由

所以

在区间

上单增,在区间

上单减



恒成立

于是,函数

在区间

内至少有三个单调区间



所以

本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理 论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与 转化等数学思想与方法,并考查思维的严谨性.难题.

解答题

已知函数 f(x)= (1)求实数 m 的值;

是奇函数.

(2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.

(1)m=2;(2)(1,3]

解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x) +2(-x)=-x -2x. 又 f(x) 为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x +2x=x +mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
2 2 2 2

结合 f(x)的图象知 所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3].

解答题

某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价为 60 元.该厂为鼓励销售商订 购,决定当一次订购量超过 100 件时???每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就 降低 0.02 元.根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 500 件. (1)设一次订购量为 x 件,服装的实际出厂单价为 P 元, 写出函数 P=f(x)的表达式. (2)当销售商一次订购 450 件服装时,该服装厂获得的利润是多少元?

(1)P =

;(2)5850.

(1)当 0<x≤100 时,P=60; 当 100 <x≤500 时,

P=60 - 0.02(x-100) =62-

.

所以 P= (2)设销售商一次订购量为 x 件,工厂获得??利润为 L 元,则有

L = (P-40)x=
当 x=450 时,L= 5 850. 因此,当销售商一次订购 450 件服装时,该服装厂获得的利润是 5 850 元. 【点评】分段函数是实际问题中经常遇到的一类函数,在处理分段函数时需注意值域是各 段上值域的并集,最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的.

解答题

设函数 f(x)=x +ax +2x +b(x∈R),其中 a,b∈R.

4

3

2

(1)当

时,讨论函数 f(x)的单调性;

(2)若对于任意的 a∈[-2,2],不等式 f(x)≤1 在[-1,1]上恒成立,求 b 的取值范围.

见解析

解:(1)f′(x)=4x +3ax +4x=x(4x +3ax+4).

3

2

2



时,f′(x)=x(4x -10x+4)=2x(2x-1)(x-2).

2

令 f′(x)=0,解得 x1=0,

,x3=2.

当 x 变化时 f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′ (x) f(x )

(-∞,0) -

0 0 极 小 值 + 0 极大值 -

2 0 极 小 值 内是减函数.

(2,+∞) +

所以 f(x)在

,(2,+∞)内是增函数,在(-∞,0),
2 2

(2)由条件 a∈[-2,2]可知△=9a -64<0,从而 4x +3ax+4>0 恒成立. 当 x<0 时,f′(x)<0;当 x>0 时,f′(x)>0. 因此函数 f(x)在[-1,1]上的最大值是 f(1)与 f(-1)两者中的较大者. 为使对任意的 a∈[-2,2],不等式 f(x)≤1 在[-1,1)上恒成立,当且仅当



在 a∈[-2,2]上恒成立.

所以 b≤-4,因此满足条件的 b 的取值范围是(-∞,-4].

解答题

已知函数 f(x)对任意实数 x 均有 f(x)=kf(x+2),其中常数 k 为负数,且 f(x)在区 间[0,2]上有表达式 f(x)=x(x-2).

(1)求 f(-1),f(2.5)的值; (2)写出 f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数 f(x)在[-3,3]上的单调性; (3)求出 f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.

见解析

(1)f(-1)=kf(1)=-k,∵f(0.5)=kf(2.5),

∴ (2)∵对任意实数 x,f(x)=kf(x+2),



∴f(x-2)=kf(x),∴



当-2≤x<0 时,0≤x+2<2,f(x)=kf(x+2)=kx(x+2); 当-3≤x<-2 时,-1≤x+2<0,f(x)=kf(x+2)=k (x+2)(x+4);
2

当 2≤x≤3 时,0≤x-2≤1,



故 ∵k<0,∴f(x)在[-3,-1]与[1,3]上为增函数,在[-1,1]上为减函数; (3)由函数 f(x)在[-3,3]上的单调性可知,f(x)在 x=-3 或 x=1 处取得最小值 2 f(-3)=-k 或 f(1)=-1,而在 x=-1 或 x=3 处取得最大值 f(-1)=-k 或 . 故有 ①k<-1 时,f(x)在 x=-3 处取得最小值 f(-3)=-k ,在 x=-1 处取得最大值 f(-1)=-k.
2

②k=-时,f(x)在 x=-3 与 x=1 处取得最小值 f(-3)=f(1)=-1,在 x=-1 与 x =3 处取得最大值 f(-1)=f(3)=1. ③-1<k<0 时,f(x)在 x=1 处取得最小值 f(1)=-1,在 x=3 处取得最大值 .

解答题

已知函数 f(x)对任意实数 x,y 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)<0,又 f(1) =-2. (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)求证:f(x)是 R 上的减函数; (3)求 f(x)在区间[-3,3]上的值域; 2 (4)若? x∈R,不等式 f(ax )-2f(x)<f(x)+4 恒成立,求 a 的取值范围.

【答案】(1)奇函数 (2)见解析 (3)[-6,6]

(4)(

,+∞)

【解析】解:(1)取 x=y=0,则 f(0+0)=2f(0),∴f(0)=0. 取 y=-x,则 f(x-x)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 恒成立,∴f(x)为奇函数. (2)证明: 任取 x1,x2∈(-∞,+∞),且 x1<x2,则 x2-x1>0,f(x2)+f(-x1)=f(x2- x1)<0, ∴f(x2)<-f(-x1),又 f(x)为奇函数, ∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)是 R 上的减函数. (3)由(2)知 f(x)在 R 上为减函数, ∴对任意 x∈[-3,3],恒有 f(3)≤f(x)≤f(-3), ∵f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=-2×3=-6, ∴f(-3)=-f(3)=6,f(x)在[-3,3]上的值域为[-6,6]. 2 (4)f(x)为奇函数,整理原式得 f(ax )+f(-2x)<f(x)+f(-2), 2 则 f(ax -2x)<f(x-2), 2 ∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,∴ax -2x>x-2, 当 a=0 时,-2x>x-2 在 R 上不是恒成立,与题意矛盾;

当 a>0 时,ax -2x-x+2>0,要使不等式恒成立,则Δ =9-8a<0,即 a> 2 当 a<0 时,ax -3x+2>0 在 R 上不是恒成立,不合题意.

2



综上所述,a 的取值范围为(

,+∞).

解答题

已知函数 y=2

-x2+ax+1

在区间(-∞,3)内递增,求 a 的取值范围.

【答案】[6,+∞)

【解析】解:函数 y=2

-x2+ax+1

是由函数 y=2 和 t=-x +ax+1 复合而成.

t

2

因为函数 t=-x +ax+1 在区间(-∞, t 且函数 y=2 在 R 上单调递增,

2

]上单调递增,在区间[

,+∞)上单调递减,

所以函数 y=2

-x2+ax+1

在区间(-∞,

]上单调递增,在区间[

,+∞)上单调递减.

又因为函数 y=2-x +ax+1 在区间(-∞,3)内单调递增,所以 3≤ 即 a≥6.故 a 的取值范围为[6,+∞).

2



解答题



,求

的值。

【答案】

【解析】

试题分析:先求出 义域选择好解析式.

来,再由

求出

,一定要注意定



,而

考点:分段函数的求值


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