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2.1点线面的位置关系 教师

时间:2015-10-27


2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
基础自测
1.下列命题: (1)书桌面是平面;(2)8 个平面重叠起来要比 6 个平面重叠起来厚; (3)有一个平面的长是 50 m,宽是 20 m;(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念. 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
[答案] A

2.如图所示, 平面 ABEF 记作平面 ? , 平面 ABCD 记作平面 ? , 根据图形填写: (1)

A ?? , B

? E
,

? C
,

? D
,

?

.

(2) ? ? ? ? (3) (4)
[答案]

A? ?, B AB
(1)∈ ∈

?,C
? , AB
? ? (2)AB (3)∈

?, D
? CD
,
∈ ∈ ? ?

? E
,

?, F

?.

? , CD
(4)? ? ? ?

? BF
,
? ?

? , BF

?

.

3.已知直线 m? 平面α ,P?m,Q∈m,则( ) A.P?α ,Q∈α B.P∈α ,Q?α C.P?α ,Q?α D.Q∈α [答案] D [解析] ∵Q∈m,m? α ,∴Q∈α . ∵P?m,∴有可能 P∈α ,也可能有 P?α . 4.三点可确定平面的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.1 或无数个 [答案] D [解析] 当这三点共线时,可确定无数个平面;当这三点不共线时,可确定一个平面. 5.如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( ) A.没有其他公共点 B.仅有这一个公共点 C.仅有两个公共点 D.有无数个公共点 [答案] D 6.已知空间两个角α ,β ,且α 与β 的两边对应平行,α =60°,则β 为( ) A.60° B.120° C.30° D.60°或 120° [解析] ∵α 与β 的两边对应平行,∴α 与β 相等或互补,故β 为 60°或 120°.[答案] D 7. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,则: (1)AA1 与 C1D1 所成的角的度数为________. (2)AA1 与 B1C 所成的角的度数为________. (3)A1B 与 B1C 所成的角的度数为________. [解析] (1)∵AA1∥DD1, ∴∠DD1C1 即为所求的角. ∵∠DD1C1=90°, ∴AA1 与 C1D1 所成的角为 90°. (2)∵AA1∥BB1,∴∠BB1C 即为所求的角. ∵∠BB1C=45°, ∴AA1 与 B1C 所 成的角为 45°. (3)∵易证 A1D∥B1C, ∴∠BA1D(或其补角)即为所求, ∵易知△BA1D 为正三角 形,∴∠BA1D=60°,故 A1B 与 B1C 所成的角为 60°.

8.直线 m∥平面α ,则 m 与α 的公共点有( )[答案] A A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 9.直线 l 与平面α 有两个公共点,则( )[答案] A A.l? α B.l∥α C.l 与α 相交 D.l∈α 10.已知两个不同的平面α ,β ,若 M∈平面α ,M∈平面β ,则α 与β 的位置关系是( A.平行 B.相交 C.重合 D.不确定

)[答案] B

常见题型
题型一:证明多线共面问题
例 1、求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面.

[解析]

已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.

求证:直线 a,b,c 和 l 共面. 证明:如图所示,因为 a∥b,由公理 2 可知直线 a 与 b 确定一个平面,设为α . 因为 l∩a=A,l∩b=B,所以 A∈a,B∈b,则 A∈α ,B∈α .又因为 A∈l,B∈l,所以由公理 1 可知 l? α . 所以由公理 2 可知直线 b 与 c 确定一个平面β ,同理可知 l? β . 因为平面α 和平面β 都包含着直线 b 与 l,且 l∩b=B,而由公理 2 的推理 2 知:经过两条相交直线,有且只有一个平面,所 以平面α 与平面β 重合,所以直线 a,b,c 和 l 共面. 因为 b∥c,

例 2、证明:空间不公点且两两相交的四条直线在同一平面内.

变式练习 1、过直线 l 外一点 P,引两条直线 PA,PB 和直线 l 分别交于 A,B 两点,求证:三条直线 PA,PB,l 共面.

[证明] 如右图所示, ∵PA∩PB=P,∴过 PA,PB 确定一个平面α . ∴A∈α ,B∈α .∵A∈l,B∈l,∴l? α .∴PA,PB,l 共面.

题型二、证明多点共线问题
例 1、已知△ABC 在平面α 外,AB∩α =P,AC∩α =R,BC∩α =Q,如图.求证:P、Q、R 三点共线.

方法一:∵AB∩α =P,∴P∈AB,P∈平面α . 又 AB? 平面 ABC,∴P∈平面 ABC. ∴由公理 3 可知: 点 P 在平面 ABC 与平面α 的交线上, 同理可证 Q、R 也在平面 ABC 与平面α 的交线上. ∴P、Q、R 三点共线. 方法二:∵AP∩AR=A,∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α =P,AC∩α =R, ∴平面 APR∩平面α =PR. ∵B∈面 APR,C∈面 APR,∴BC? 面 APR. 又∵Q∈面 APR,Q∈α , ∴Q∈PR.∴P、Q、R 三点共线.

例 2、如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,设线段 A1C 与平面 ABC1D1 交于点 O,求证:B,Q,D1 三点共线.

变式练习 1、如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC,BD 交于点 M,求证: C1,O,M 三点共线.
[证明] 由 AA1∥CC1,则 AA1 与 CC1 确定一个平面 A1C. ∵A1C? 平面 A1C,而 O∈A1C,∴O∈平面 A1C. 又 A1C∩平面 BC1D=O,∴O∈平面 BC1D. ∴O 点在平面 BC1D 与平面 A1C 的交线上. 又 AC∩BD=M,∴M∈平面 BC1D 且 M∈平面 A1C. 又 C1∈平面 BC1D 且 C1∈平面 A1C, ∴平面 A1C∩平面 BC1D=C1M,∴O∈C1M,即 C1,O,M 三点共线.

题型三、证明三线共点问题
例 1、已知:如图,空间四边形 ABCD 中,E,H 分别为 AB,AD 的中点,F 在 BC 上,G 在 CD 上,且有 CF∶CB=CG∶CD=2∶3,求证:(1)E、F、G、H 四点共面(2)三条直线 EF,AC,HG 交于一点.

变式练习 1、三个平面α 、β 、γ 两两相交,交于三条直线,即α ∩β =c,β ∩γ =a,γ ∩α =b,已知直线 a 和 b 不平行.求证:a、b、c 三条直线必过同一点.

[证明] ∵α ∩γ =b,β ∩γ =a, ∴a? γ ,b? γ , ∵a、b 不平行, ∴a、b 必相交,设 a∩b=P, ∵P∈a,a? β , ∴P∈β ,同理 P∈α , 而α ∩β =c,∴P∈c. ∴a、b、c 相交于一点 P, 即 a、b、c 三条直线过同一点.

题型四、空间两条直线位置关系的判定
例 1、已知 a,b,c 是空间三条直线,下面给出四个命题: ①如果 a⊥b,b⊥c,那么 a∥c;②如果 a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,那么 a,c 也是异面直线;③ 如果 a,b 是相交直线,b,c 是相交直线,那么 a,c 也是相交直线;④如果 a,b 共面,b,c 共面,那么 a, c 也共面. 在上述命题中,正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D .3
[解析] ①a 与 c 可能相交,也可能异面; ②a 与 c 可能相交,也可能平行; [答案] A ③a 与 c 可能异面,也可能平行; ④a 与 c 可能不在一个平面内. 故①②③④均不正确.

例 2、已知 ? ? ? ? a, b ? ? , a ? b ? A, 且c ? ? , c // a. 求证:b,c 为异面直线.

例 3、如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,MN 分别是 A1B1,B1C1 的中点.问:

(1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由 (2)DB 和 CC 是否是异面直线?说明理由
解:(1)不是异面直线. 理由:∵M、N 分别是 A1B1、 又∵A1A D1D,而 D1D C1C, B1C1 的中点, ∴A1A ∴MN∥A1C1.

C1C,A1ACC1 为平行四边形. 故 AM 和 CN 不是异面直线.

∴A1C1∥AC,得到 MN∥AC.

∴A、M、N、C 在同一个平面内.

(2)是异面直线.证明如下: 假设 D1B 与 CC1 在同一个平面 D1CC1 内, 则 B∈平面 CC1D1,C∈平面 CC1D1, ∴BC 平面 CC1D1. 这与 BC 是正方体的棱相矛盾,∴假设成立?故 D1B 与 C C1 是异面直线.

变式练习 1、分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面 [解析] 画出图形,得到结论.

)

如图①,分别与异面直线 a,b 平行的两条直线 c,d 是相交关系; 如图②,分别与异面直线 a,b 平行的两条直线 c,d 是异面关系. 综上可知,应选 D. 2、下列命题正确的是 ( ) C A.没有公共点的两条直线是平行直线 B.互相垂直得两条直线是相交直线 C.既不平行又不相交的两条直线是异面直线 D.不在同一平面内的两条直线是异面直线 3、一条直线与两条异面直线中的一条相交,那么它与另一条直线之间的位置关系是( D ) A.平行 B.相交 C.异面 D.可能平行,可能相交,也可能异面

题型五、公理 4、等角定理的应用
例 1、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,E1,F1 分别是棱 AB,AD,B1C1,C1D1 的中点.求证:

(1)EF // E1F1;

(2)∠EA1F=∠E1CF1.
(2)取 A1B1 的中点 M,连接 F1M,BM,则 MF1 綊 B1C1. 又 B1C1 綊 BC,所以 MF1 綊 BC, 所以四边形 BMF1C 为平行四边形, 所以 BM∥CF1. 1 1 因为 A1M=2A1B1,BE=2AB,且 A1B1 綊 AB,

[解析] (1)如图,连接 BD,B1D1,在△ABD 中,因为 E, 1 F 分别为 AB,AD 的中点,所以 EF 綊2BD.

所以 A1M // BE,所以四边形 BMA1E 为平行四边形,所以 BM∥A1E,所以 CF1∥A1E. 同理可证 A1F∥CE1.因为∠EA1F 与∠E1CF1 的两边分别对应平行, 且方向都相反, 所以∠EA1F=∠E1CF1.

例 2、如图,E、F 分别是长方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 A1A,C1C 的中点,求证:四边形 B1EDF 是平行四边 形.

变式练习 1、已知 E、E1 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AD、A1D1 的中点,求证:∠BEC=∠B1E1C1.

∵E、E1 分别是 AD、A1D1 的中点, ∴AE∥A1E1,且 AE=A1E1. ∴四边形 AEE1A1 是平行四边形. ∴AA1∥EE1,且 AA1=EE1. 又∵AA1∥BB1,且 EE1=BB1. ∴四边形 BEE1B1 是平行四边形. 又∠BEC 与∠B1E1C1 的两边方向相同, ∴∠BEC=∠B1E1C1. ∴BE∥B1E1.同理可证 CE∥C1E1.

2、如图,△ABC 和△A’B’C’的对应顶点的连线 AA’,BB’,CC’交于同一点 O,且 求证(1)AB//A’B’, AC//A’C’, BC//B’C’ (2)求

AO BO CO 2 ? ' ? ' ? ' AO BO C O 3

S ?ABC 的值. S ?A' B 'C '

(1)证明:由 同理 (2)由

与 , ,

相交于点 O,故 Α、 . ,且 AB 和

、B、

四点共面,由

,可知



,AC 和

方向相反.故



同理

于是△ ABC∽△

相似比为





题型六、求异面直线所成的角
例 1、如图,P 是平面 ABC 外一点,PA=4,BC= 2 5 ,D,E 分别为 PC 和 AB 的中点,且 DE=3,求异面直线 PA 和 BC 所成角的大小.
[解析] 如图,取 AC 中点 F,连接 DF,EF,在△PAC 中, ∵D 是 PC 中点,F 是 AC 中点, ∴DF∥PA,同理可得 EF∥BC, ∴∠DFE 为异面直线 PA 与 BC 所成 的角(或其补角). 在△DEF 中,DE=3, 1 1 又 DF=2PA=2,EF=2BC= 5, ∴DE2=DF2+EF2. ∴∠DFE=90° ,即异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90° .

例 2、如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1: (1)求 A1B 与 B1D1 所成的角; (2)求 AC 与 BD1 所成的角.

(2)设 AC 与 BD 交于点 O,取 DD 的中点 E,连接 EO,EA,EC.因为 O 为 BD 的中点,所以 OE//BD. 因为∠EDA=90°=∠EDC,AD=DC,DE=DE,所以△EDA≌△EDC,所以 EA=EC.在等腰三角形 EAC 中,因为 O 是 AC 的中点,所以 EO⊥AC,所以∠EOA=90°,因为∠EOA 是异面直线 AC 与 BD1 所成的角,所以 AC 与 BD1 所成的角为 90°. 例 3、在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2a,E、F 分别是 AB、CD 的中点,EF= 3a ,求异面直线 AD、BC、 所成的角.

变式练习 1、四面体 A-BCD 中,AB=CD,AB 与 CD 成 30°角,E,F 分别是 BC,AD 的中点,求 EF 和 AB 所成 的角.
∵E,F,G 分别是 BC,AD,BD 的中点, 1 1 ∴EG 綊2CD,GF 綊2AB, ∴∠EGF(或∠EGF 的补角)为 AB 与 CD 所成的角, 即∠EGF=30° 或 150° . ∵AB=CD,∴EG=GF, 故由等腰△EGF 知∠GFE=75° 或 15° . 而由 FG∥AB 知,∠GFE 就是 EF 和 AB 所成的角. 从而 EF 和 AB 所成的角为 75° 或 15° .

2、在空间四边形 ABCD 中,已知 AD=1,BC= 3 ,且 AD⊥BC,BD=

13 3 ,AC= ,求 AC 与 BD 所成的角. 2 2

题型七、截面四边形形状的判定
例 1、 如图, E、 F、 G、 H 分别是四面体 A-BCD 的棱 AB、 BC、 CD 上的点, 且 求证:(1)当 ? ? ? 时,四边形 EFGH 是平行四边形. (2)当 ? ? ? 时,四边形 EFGH 是梯形

AE AH CF CG ? ? ?, ? ? ?, AB AD CB CD

AE AH [证明] 在△ABD 中,AB=AD=λ, ∴EH∥BD,且 EH=λBD. CF CG 在△CBD 中,CB=CD=μ, ∴FG∥BD,且 FG=μBD,∴EH∥FG, ∴顶点 E、F、G、H 在由 EH 和 FG 确定的平面内. (1)当 λ=μ 时,EH=FG,故四边形 EFGH 为平行四边形; (2)当 λ≠μ 时,EH≠GF,故四边形 EFGH 是梯形.

.

拓展 [1] 若 E、F、G、H 分别是四面体 A-BCD 的棱 AB、BC、CD、DA 上的中点,且 AC=BD,则四边形 EFGH 为菱形. [2] 若 E、F、G、H 分别是四面体 A-BCD 的棱 AB、BC、CD、DA 上的中点,且 AC⊥BD,则四边形 EFGH 为矩形. [3] 若 E、F、G、H 分别是四面体 A-BCD 的棱 AB、BC、CD、DA 上的中点,且 AC=BD,AC⊥BD, 则四边形 EFGH 为正方形.

变式练习 1、正方体 ABCD-ABCD 中,P,Q,R 分别是 AB、AD、BC 的中点,那么正方体的过 P、Q、R 的截面图 形是( D ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形

题型八、直线与平面、平面与平面的位置关系
例 1、下列五个命题中正确命题的个数是( ) ①如果 a、b 是两条直线,a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面; ②如果直线 a 和平面α 满足 a∥α ,那么 a 与平面α 内的任何一条直线平行; ③如果直线 a、b 满足 a∥α ,b∥α ,那么 a∥b; ④如果直线 a、b 和平面α 满足 a∥b,a∥α ,b?α ,那么 b∥α ; ⑤如果 a 与平面α 上的无数条直线平行,那么直线 a 必平行于平面α . A.0 B.1 C.2 D.3 解:①错;在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,AA′∥BB′,AA′却在过 BB′的平面 ABB′A′内 ②错 AA′∥平面 BB′C′C,BC? 平面 BB′C′C,但 AA′不平行于 BC ③错 AA′∥平面 BB′C′C,A′D′∥平面 BB′C′C,但 AA′与 A′D′相交 ④对 A′B′∥C′D′,A′B′∥平面 ABCD,C′D′?平面 ABCD,则 C′D′∥平面 ABCD ⑤错 AA′显然与平面 ABB′A′中的无数条直线平行,但 AA′? 平面 ABB′A′

例 2、已知:直线 a//b, a ? 平面? ? P ,求证:直线 b 与平面 ? 相交. [解析] 如右图,∵a∥b,∴a 和 b 确定平面β ,∵a∩α =P, ∴平面α 和平面β 相交于过 P 点的直线 l. ∵在平面β 内 l 和两条平行直线 a,b 中的一条直线 a 相交, ∴l 必和 b 相交于 Q,即 b∩l=Q, 又因为 b 不在平面α 内(若 b 在 α 内,则α 和β 都过两相交直线 b 和 l, 因此α 和β 重合),l 在α 内,故直线 b 和平面α 相交. 例 3、α ,β 是两个不重合的平面,下面说法正确的是( ) A.平面α 内有两条直线 a,b 都与平面β 平行,那么α ∥β B.平面α 内有无数条直线平行于平面β ,那么α ∥β C.若直线 a 与平面α 和平面β 都平行,那么α ∥β D.平面α 内所有的直线都与平面β 平行,那么α ∥β
选项 正误 A, B × 当 a∥α,a∥β 时,α 与 β 可能相交.如图 C × 平面 α 内所有直线都与平面 β 平行, 说明 α, β 一定无公共点,则 α∥β 理由 不能保证 α,β 无公共点.如图

D



变式练习 1、下列命题中的真命题是( ) A.若点 A∈α ,点 B?α ,则直线 AB 与平面α 相交 B.若 a? α ,b?α ,则 a 与 b 必异面 C.若点 A?α ,点 B?α ,则直线 AB∥平面α D.若 a∥α ,b? α ,则 a∥b 对于选项 B,如图(1)显然错误.对于选项 C,如图(2)显然错误. 对于选项 D,如图(3)显然错误,故选 A.

2、如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不能确定 解析:由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行.解答本题可逆向考虑画两平行面, 看是否能在此两面内画两条平行线.同样画两相交面,看是否能在此两面内画两条平行线,再作出选择(如 图所示).[答案] C

易错题
1、空间中四点,如果任意三点都不共线,那么由这四个点可以确定多少个平面?
解: 空间中任意三点都不共线的四点有两种位置关系: 一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点, 此时, 这四个点只能确定一个平面;另一种是任意不共面的三点所确定的平面不过第四个点,此时,这四个点可确定四 个平面. 答案: 一个或者是四个.

2、已知 A,B,C,D,E 五点中,A,B,C,D 共面,B,C,D,E 共面,则 A,B,C,D,E 五点一定 共面吗?
解:(1)如果 B,C,D 三点不共线,则它们确定一个平面α .因为 A,B,C,D 共面,所以点 A 在平面α 内,因 为 B,C,D,E 共面,所以点 E 在平面α 内,所以点 A,E 都在平面α 内,即 A,B,C,D,E 五点一定共面. (2)如果 B,C,D 三点共线于 l,若 A,E 都在 l 上,则 A,B,C,D,E 五点一定共面; 若 A,E 中有且只有一个在 l 上,则 A,B,C,D,E 五点一定共面; 若 A,E 都不在 l 上,则 A,B,C,D,E 五点可能不共面.

3、设点 P 是直线 a 外一定点,过点 P 与 a 成 30°角的异面直线有( A.无数条 B.两条 C.至多有两条 D.一条 解:如图,与α 成 30°角的圆锥面上的母线有无数条.[正解] A

)

4、已知∠AOB=30°,过点 O 与直线 OA、OB 成等角的直线有( A.无数 B.2 C.1 D.至多 2 5、 (1)一个平面可将空间分成几部分? (2)两个平面可将空间分成几部分? (3)三个平面可将空间分成几部分?
解:(1)一个平面将空间分成 2 部分

)条[答案] A

(2)两个平面平行时,将空间分成三部分;两个平面相交时将空间分成四部分 (3)情况一:三平面互相平行 情况二:两平面平行,第三平面与两平行平面相交 情况三:三平面两两相交,三交线重合 情况四:三平面相交,三交线共点,但不重合 情况五:三平面两两相交,交线平行 4 部分 6 部分 6 部分 8 部分 7 部分

1 总结:n 个平面最多能将空间分成 (n 3 ? 5n ? 6) 部分. 6


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