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习题课:等差数列前n项和习题课_图文

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2.3 等差数列及前n项和 及其性质 知识回顾 ?一、等差数列的通项及图象特征 –等差数列的通项是关于n的1次形式,反之成立, –图像为落在一条直线上的点 ?二、等差数列的性质 性质1:对称项,成等差? 等间隔,成等差 性质2:下标和相等,对应项和相等 性质3:等距项,和相等 性质4:等差数列平均分组,各组之和仍等差, 且公差为k d. 即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列 (1)a1+a2+a3=5,a4+a5+a6=10,则a7+a8+a9=_ 15 35 a19+a20+a21=_____ (2)Sn=25,S2n=100,则S3n=____ 225 三、等差数列前n项和公式 2 新课:等差数列的性质: 引入 Sn =na1 + n ? n-1? 2 d 2 ? d? d= n + ? a1 - ? n 2 2? ? 可见d≠0时,Sn是关于n的缺常数项的 二次函数,其二次项系数是公差的一半。 一、求和公式的性质: 性质1、若数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn (p,q为常数),则数列{an}是等差数列。 {an}是等差数列 性质2、等差数列{an}的前n项和为Sn,则 ?n a n+1 =n a中 (n为奇数) ? 2 ? Sn = ? ? ? n ? ? a n +a n ? (n为偶数) +1 2 ? ? ? 2 2 ? a1 +a17 如:S17 = 17=17a9 ;S18 =9 ? a 9 +a10 ? 2 ?Sn=pn2+qn(p,q为常数,d=2p) 如:两个等差数列{an},{bn}的前n项和为Sn,Tn S11 23 a6 23 若 = ,则 = T11 37 b6 37 反之呢? P27-8,11 性质3、若等差数列{an}共有2n-1项, S奇 n S奇 ? S偶 ? a中 ? an , = S偶 n-1 若等差数列{an}共有2n项,则S偶-S奇=nd, S 奇 an = 测评:P27—13 S偶 an+1 如{an}为等差数列,项数为奇数,奇数项和为44, 偶数项和为33,求数列的中间项和项数。 a中 =11,n=7 性质4、{an}为等差数列,求Sn的最值。 ? an ? 0 若a1 >0,d<0且 ? ,则Sn最大。 ?an+1 ? 0 ? an ? 0 若a1 <0,d>0且 ? ,则Sn最小。 ?an+1 ? 0 或利用二次函数求最值。 二、常用数列的求和方法: 1 ?1? 1 +2 +3 + +n = n ? n+1?? 2n+1? 6 2 ? n ? n+1? ? 3 3 3 3 ? 2 ? 1 +2 +3 + +n = ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 1 1 1 + + + a1a2 a2a3 a3a4 (3)裂项法:设{an}是等差数列,公差d≠0 1 n + = anan+1 a1an+1 ? 1 1 ? 1 1 ?? ? ? 其中 a a = d ? a - a ? ? ? n n+1 ? n n+1 ? ? ? 1 1 1 1 求和Sn = + + + + 13 35 57 ? 2n-1?? 2n+1? 1? 1 1 1 1 1 1 1 ? Sn = ? 1- + - + - + + 2? 3 3 5 5 7 2n-1 2n+1 ? ? 1? 1 ? n = ? 1= ? 2 ? 2n+1 ? 2n+1 (4)倒序相加法:用于与首末两端等距离的和 相等。 三、项数有限的等差数列的设法 ? 1.项数为奇

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