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河北省石家庄市第一中学2016_2017学年高二数学下学期期中试题理

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2016—2017 学年度第二学期期中考试高二年级数学理试题
第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ? ? x x ? 3? , B ? ? x log 2 x ? 1? ,则 A ? B ? A. ? 那么 ? ? A. 1 B. 2 C. B. ? x 0 ? x ? 3? C. ? x 1 ? x ? 3? D. ? x 2 ? x ? 3? 2.已知函数 y ? 2sin ?? x ? ? ? ?? ? 0? 在区间[0,2π ]的图像如图:

1 2

D.

1 3

3.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 10 2

A. 3 2 B. 4 2 C. 3 3 D. 4 3 4.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为

Sn ,则

S4 ? a2
B. 4 C.

A. 2

15 2

D.

17 2
1 4

5.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点 报时,则他等待时间不多于 10 分钟的概率为 A.

5 2 4 正视图 3 侧视图

6.若 a、b、c ? R, a ? b ,则下列不等式成立的是 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

a b 1 1 ? 2 B. a 2 ? b 2 C. 2 D. a | c |? b | c | ? c ?1 c ?1 a b
俯视图

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A.54 B.60 C.66 D.72

8. 已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形, 点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点, 连接 DE 并延长到点 F , 使得 DE ? 2 EF ,则 AF ?BC 的值为 A. ?

??? ? ??? ?
1 8

9.阅读如下程序框图,如果输出 i ? 5 ,那么在空白矩形框中应填入的语句为

5 8

B.

C.

1 4

D.

11 8

A. S ? 2* i

B. S ? 2* i ? 1

C. S ? 2* i ? 2

D. S ? 2* i ? 4

? x ? 2 ? 0, ? 10.已知点 P(x,y)在不等式 组 ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域上运动,则 z=x-y 的取值范围 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
是 A.[-1,2] 11.已知函数 f ( x) ? ? 数为 A.2 B.[-2,1] C.[-2,-1] D.[1,2]

? 1? | x |, x ? 1 4 ,函数 g ( x) ? ? f (1 ? x) ,则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的零点的个 2 5 ?( x ? 1) , x ? 1
C.4 D.5

B.3

12 .已知平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? ? l ,点 A ? ? , A ? l ,直线 AB ∥ l ,直线 AC ? l ,直线

m ∥?,m ∥ ? ,则下列四种位置关系中,不一定 成立的是 ...
A. AB ∥ m B. AC ? m C. AB ∥ ? D. AC ? ?

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、非选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.如果复数 (m2 ? i)(1 ? mi) 是实数,则实数 m ? 14.在 ? x ? .

? ?

1 ? 2 ? 的展开式中, x 的系数为 4x ?

6

.

A(1, cos ? ), B(sin ? ,1), ? ? (0, 15. 在△OAB 中, O 为坐标原点,
16.平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1 :

?
2

], 则△OAB 面积的最小值为

.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 a 2 b2


C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 交于点 O,A,B,若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请将解答过程书写在答题纸上,并写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 2, an?1 ? Sn ? 2 (n ? N*) . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; 18. (本小题满分 12 分) 某校随机调查了 110 名不 同性别的学生每天在校的消费情况,规定: 50 元以下为正常消费, 大于或等于 50 元为非正常.统计后,得到如下的 2 ? 2 列联表,已知在调查对象中随机抽取 1 人为非 正常的概率为 (Ⅱ)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn .

3 . 11

正常 男 女 合计 (Ⅰ)请完成上面的列联表; 30

非正常 10

合计

110

(Ⅱ)根据列联表的数据,能否有 99%的把握认为消费情况与性别有关系? 附临界值表及参考公式:

P( K 2 ? k0 )

0.100 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

k0
K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) ,其中 n ? a ? b ? c ? d .

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 四 棱 锥 P ? A B C D 中 , 底 面 A B C D为 平 行 四 边 形 , ?DAB ? 60? , AB ? 2 AD , PD ? 底面 ABCD . (Ⅰ)证明: PA ? BD ; (Ⅱ)若 PD ? AD ,求二面角 A ? PB ? C 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)已知 ? M : ( x ? 1) ? y ?
2 2

49 1 2 2 的圆心为 M , ? N : ( x ? 1) ? y ? 的圆 4 4

心为 N ,一动圆与圆 M 内切,与圆 N 外切. (Ⅰ)求动圆圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)过点 (1, 0) 的直线 l 与曲线 P 交于 A, B 两点. 若 OA? OB ? ?2 , 求直线 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? ( x ? a)e
2 1? x

??? ? ??? ?

,a?R .

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 时,总有 x2 f ( x1 ) ? ?[ f ?( x1 ) ? a(e
1? x1

? 1)](其中

f ?( x ) 为 f ( x) 的导函数) ,求实数 ? 的值.
请考生在第 22、2 3 题中任选一道作答,多答、不答按本选考题的首题进行评分. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 | . (Ⅰ)求 f ( x) ? 11 的解集;

(Ⅱ)设函数 g ( x) ? k ( x ? 3) ,若 f (x) ? g (x) 对任意的 x ? R 都成立,求实数 k 的取值范围.

2016—2017 学年度第二学期期中考试高二年级数学理 一、选择题: DBDCACBBAACD 二、非选择题: 13. -1 三、解答题: .14.

15 16

.15.

1 4

.16.



解法一:an ?1 ? Sn ? 2 ? Sn ?1 ? Sn ? Sn ? 2 ? Sn ?1 ? 2Sn ? 2 ? Sn ?1 ? 2 ? 2( S n ? 2) ?
17 .

S1 ? 2 ? 4,? 数列{Sn +2}是以2为首项以2为公比的等比数列, ? S1 ? 2, n ? 1, Sn +2=2n ?1 ? Sn =2n ?1 ? 2, an ? ? n ?1 n n ? Sn ? Sn ?1 ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? 2 , n ? 2.

an ? 2n .
?an ?1 ? Sn ? 2, 解法二:由已知可知 ? 两式相减得an ? 2 ? 2an ?1 , ?an ? 2 ? Sn ?1 ? 2, 由a1 ? 2 ? a2 ? 4,? 数列{an }是以2为首项,以2为公比的等比数列, an ? 2n.
(Ⅱ)解法一:

Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ? ? n?2n , ?1? 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? 4 ? 25 ? ? ? n?2n ?1 , (2) (1) ? (2), 得-Tn ? 1? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n ? n?2n ?1 2(1 ? 2n ) ? ? n?2n ?1 ? ?n?2n ?1 ? 2n ?1 ? 2, 1? 2 n ?1 Tn ? (n ? 1)?2 ? 2.
解法二:设数列 {xn } 是等差数列,首项为 x1 ,公差为 d0 且满足

nan ? xn an ? xn ?1an ?1 ? [ x1 ? (n ? 1)d 0 ]?2n ? ( x1 ? nd 0 )?2n ?1 ? n?2n ? ? x1 ? (n ? 1)d 0 ? n ?d 0 ? ?1, 即(d 0 ? 1)n ? d 0 ? x1 ? 0 ? ? ? xn ? x1 ? (n ? 1)d 0 ? ? n ? 2 ? x1 ? 1, ?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ? ? n?2n ? x1a1 ? x2 a2 ? x2 a2 ? x3a3 ? x3a3 ? x4 a4 ? ? ? xn an ? xn ?1an ?1 ? x1a1 ? xn ?1an ?1 ? 2 ? (?n ? 1)?2n ?1 ? (n ? 1)?2n ?1 ? 2.
上面我们分析得到:此题是一道容易题,可是根据学生的得分情况来看却成为了一道难题,问题到 底出现在什么地方? 我想:问题应该在于学生遇到的等式 an?1 ? Sn ? 2 (n ? N*) 是一个既含有 Sn 又含有 an 的等式,从而 不知道利用 Sn 与 an 的关系,实现转化,从而第一问就没能够正确进行解答. 18. (本小题满分 12 分)

【解析】 : (I) ; 正常 男 女 合计 30 50 80 30 非正常 20 10 合计 50 60 110

???6 分 (Ⅱ)假设消费情况与性别无关,根据列联表中的数据,得到

k?

110(10 ? 30 ? 50 ? 20) 2 ? 7.487 ? 6.635 60 ? 50 ? 80 ? 30

因此按 99% 的可靠性要求,能认为“消费情况与 性别有关系”. ????12 分. 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ )因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD +AD = AB ,故 BD ? AD
2 2 2

又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标 系 D- xyz ,则

A ?1,0,0 ? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0,0,1? 。
??? ? ??? ? ??? ? AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1,0,0)

?

? ?

?

设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 即

?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取 n= ( 3,1, 3)

设平面 PBC 的法向量为 m,则

??? ? m ? PB ? 0 ??? ? m ? BC ? 0 cos m, n ?
2 7 7

可取 m=(0,-1, ? 3 )

?4 2 7 ?? 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为

?

20. (本小题满分 12 分) 已知 ? M : ( x ? 1) ? y ?
2 2

49 1 ? N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 的圆心为 N , 的圆心为 M , 一动圆与圆 M 内 4 4

切,与圆 N 外切. (Ⅰ)求动圆圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)过点 (1, 0) 的直线 l 与曲线 P 交于 A, B 两点. 若 OA? OB ? ?2 , 求直线 l 的方程. 试题分析:第(Ⅰ)问考查了圆与圆的位置关系,轨迹方程的求法: (Ⅰ)设 P( x, y) ,动圆 P 的半径为 r ,则有

??? ? ??? ?

7 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ? r ? x2 y 2 ? 2 2 2 2 2 ? ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? y ? 4 ? ? ? 1. ? 1 4 3 2 2 ? ( x ? 1) ? y ? ? r ? ? 2
H F P E M O N

解题分析.当直线的斜率不存在时,易知 BE 不合题意,舍去; (Ⅱ)设直线(Ⅰ)的方程为

? x2 y 2 ? + =1 y ? kx ? k , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 联立方程组 ? 4 3 ? ? y ? kx ? k ? 2 2 2 2 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4(k ? 3) ? 0, ??? ? ??? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 ( x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2 4(k 2 ? 3)(k 2 ? 1) 8k 4 4k 4 ? 8k 2 ? 12 ? 8k 4 ? 3k 2 ? 4k 4 ?5k 2 ? 12 2 ? ? k ? ? ? ?2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 5k 2 ? 12 ? 6 ? 8k 2 , k ? ? 2.

本题得分

率低的原因是:学生不能正确利用圆与圆的位 置关系找到动圆圆心所应满足的条件;动圆的圆心在 动,圆的半径也在变化,这样学生就产生了畏难情绪从而缺乏了解答此题的信心;即使有的学生能 够解答第(Ⅰ)问,但第(Ⅱ)问运算量有比较大一些解题再次受挫,使得成绩好的学生也不能够 将此题完整的解答下去了. 21. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? ( x2 ? a)e1? x , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 时,总有 x2 f ( x1 ) ? ?[ f ?( x1 ) ? a(e
1? x1

? 1)](其中

f ?( x ) 为 f ( x) 的导函数) ,求实数 ? 的值.
解: (Ⅰ) f ?( x) ? (? x ? 2x ? a)e
2 1? x

. ? ? 4 ? 4a ,
2

当 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? ?1 时, ? x ? 2 x ? a ? 0 恒成立,即函数 f ( x) 是 R 上的减函数. 当 ? ? 4 ? 4a ? 0 , 即 a ? ?1 时, 设 ? x ? 2 x ? a ? 0 的两根 x1 ? 1 ? 1 ? a ,x2 ? 1 ? 1 ? a . 可
2

得函数 f ( x) 是 (??, x1 ) 、 ( x2 , ??) 上的减函数,是 (x1 , x2 ) 上的增函数.
2 (Ⅱ)根据题意,方程 ? x ? 2 x ? a ? 0 有两个不同的实根 x1,x2 ( x1 ? x2 ) ,



? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? ?1 ,且 x1 ? x2 ? 2, ? x1 ? x2, ? x1 ? 1.
1? x1

由 x2 f ( x1 ) ? ?[ f ?( x1 ) ? a(e

?1)] ,得

1? x1 2 2 ? (2 ? x1 ) ? x12 ? a ? e1? x1 ? ? ? ?? 2 x1 ? x1 ? e ? a ? ,其中 ? x1 ? 2x1 ? a ? 0 ,

∴ 上式化为 (2 ? x1 )(2 x1 )e

1? x1

1? x1 2 2 ? ??? ?? 2 x1 ? x1 ? e ? ? 2 x1 ? x1 ?? ,整理

x1 (2 ? x1 )[2e1?x1 ? ?(e1?x1 ?1)] ? 0 ,其中 2 ? x1 ? 3 ,即
不等式 x1 ? 2e

?

1? x1

? ? ? e1? x1 ? 1? ? 1) 恒成立. ? ? 0 对任意的 x1 ? (??, ?
1? x1

①当 x1 ? 0 时,不等式 x1 ? 2e ②当 x1 ? (0, 1) 时, 2e
1? x1

? ? ? e1? x1 ? 1? ? ? ? 0 恒成立, ? ? R ;

? ? ? e1? x1 ? 1? ? 0 恒成立,即 ? ?

2e1? x1 , e1? x1 ? 1

令函数 g ? x ? ?

2e1? x 2 ? 2 ? 1? x ,显然,函数 g ? x ? 是 R 上的减函数, 1? x e ?1 e ?1
2e 2e ,即 ? ? . e ?1 e ?1

∴ 当 x ? (0, 1) 时, g ? x ? ? g ? 0 ? ? ③当 x1 ? (??, 0) 时,2e 时, g ? x ? ? g ? 0 ? ?
1? x1

? ? ?e

1? x1

2e1? x1 ? 1? ? 0 恒成立, 即 ? ? 1? x , 由②可知, 当 x ?( ? ? , 0) e 1 ?1

2e 2e ,即 ? ? . e ?1 e ?1 2e 综上所述, ? ? . e ?1

23.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 | . (Ⅰ)求 f ( x) ? 11 的解集; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? k ( x ? 3) ,若 f (x) ? g (x) 对任意的 x ? R 都成立,求实数 k 的取值范围.

??2 x ? 1, x ? ?4, ? 解: (Ⅰ) f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 |? ?7, ? 4 ? x ? 3, , ?2 x ? 1, x ? 3 ?


? x ? ?4, ??4 ? x ? 3, ? x ? 3, ① 或? ② 或? ③ ? ?3 ? x ? x ? 4 ? 11 ?3 ? x ? x ? 4 ? 11 ? x ? 3 ? x ? 4 ? 11,

解得不等式①: x ? ?6 ;②:无解;③: x ? 5 , 所以 f ( x) ? 11 的解集为 {x | x ? ?6 或 x ? 5} . (5 分)

??2 x ? 1, x ? ?4, ? (Ⅱ)作 f ( x) ? ?7, ? 4 ? x ? 3, 的图象, ?2 x ? 1, x ? 3 ?
而 g ( x) ? k ( x ? 3) 图象为恒过定点 P(3, 0) ,的一条直线,如图:其中 kPB ? 2,

A(?4, 7) ,∴ kPA ? ?1
由图可知,实数 k 的取值范围应该为 ?1 ? k ? 2 . (10 分)


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