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高中数学圆的方程典型例题

时间:2013-01-06


高中数学圆的方程典型例题
类型一:圆的方程

1.已知点 A(3,-2),B(-5,4),以线段 AB 为直径的圆的方程为 2.过点 A(1,-1) 、B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是 3.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程 4.圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? c ? 0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若∠APB=120°,则实数 c 值为_ _

5 求半径为 4,与圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y ? 0 相切的圆的方程.

6

求经过点 A(0 , 5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程.

7 设方程 x2 ? y 2 ? 2(m ? 3) x ? 2(1 ? 4m2 ) y ? 16m4 ? 9 ? 0 , 若该方程表示一个圆, m 的取 求 值范围及这时圆心的轨迹方程。

8 方程 ax2 ? ay 2 ? 4(a ?1) x ? 4 y ? 0 表示圆,求实数 a 的取值范围,并求出其中半径最小 的圆的方程。

9 过点 P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4)三点的圆的圆心坐标是 10,已知圆心为点(2,-3) ,一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上,则这个圆的 方程是

11,.圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 2 关于直线 x ? y ? 0 的对称圆的方程是 12.直线 y=3x+1 与曲线 x2+y2=4 相交于 A、B 两点,则 AB 的中点坐标是

1

类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程

1

已知圆 O:x 2 ? y 2 ? 4 ,求过点 P?2,? 与圆 O 相切的切线. 4

2. 一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 ,求此 圆的方程
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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3,若直线 4x-3y-2=0 与圆 x2+y2-2ax+4y+a2-12=0 总有两个不同交点,则 a 的取值范围是

4,过点 P(2,1)且与圆 x2+y2-2x+2y+1=0 相切的直线的方程为 5.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3 )处的切线方程为

.

( 0) 6.已知直线 l 过点 ? 2, ,当直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范

围是

7.圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点有个数为 1 8.若圆 x 2 ? y 2 ? mx ? ? 0 与直线 y ? ?1 相切,且其圆心在 y 轴的左侧,则 m 的值为 4 .
2 2 9:求与圆 x ? y ? 5 外切于点 P(?1,2) ,且半径为 2 5 的圆的方程.

10、 过圆 x 2 ? y 2 ? 1 外一点 M (2,3) , 作这个圆的两条切线 MA 、MB , 切点分别是 A 、B , 求直线 AB 的方程。

11、已知直线 5 x ? 12 y ? a ? 0 与圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 相切,则 a 的值为

.

12.求过点 M (3,1) ,且与圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 4 相切的直线 l 的方程.

2

13、过坐标原点且与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? .

5 ? 0 相切的直线的方程为 2

14、 设圆满足:(1)截 y 轴所得弦长为 2;(2)被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为 3 : 1 , 在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线 l:x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程.

类型三:弦长、弧问题

1、求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长.

2、直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 得的劣弧所对的圆心角为

3、求两圆 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 2 ? 0 和 x2 ? y 2 ? 5 的公共弦长 4, 已知 P(3, 0)是圆 x2+y2-8x-2y+12=0 内一点则过点 P 的最短弦所在直线方程是 过点 P 的最长弦所在直线方程是 ,

5.直线 x-y+4=0 被圆 x2+y2+4x-4y+6=0 截得的弦长等于 6,.直线 3 x+y-2 3 =0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角为

7. 已知圆 C: (x-1)2+(y-2)2=25,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m ∈R).(1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.

类型四:直线与圆的位置关系 1、已知直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 和圆 x ? y ? 4 ,判断此直线与已知圆的位置关系.
2 2

3

2、若直线 y ? x ? m 与曲线 y ?

4 ? x 2 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范围.

3, 圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 上到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 1 的点有几个?

,4:直线 x ? y ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是

5 , 若 直 线 y ? kx ? 2 与 圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 有 两 个 不 同 的 交 点 , 则 k 的 取 值 范 围 :
2 2



.

6、

2 2 圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 的点共有( ) .

(A)1 个

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

7、

? 过点 P?? 3, 4? 作直线 l ,当斜率为何值时,直线 l 与圆 C: ?1? ? ? y ? 2? ? 4 有公共点, ?x
2 2

如图所示. y

O 类型五:圆与圆的位置关系 1 、 判 断 圆 C1 : x ? y ? 2x ? 6 y ? 26 ? 0 与 圆
2 2

x

E

C2 : x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的位置关系,

P

2:圆 x ? y ? 2 x ? 0 和圆 x ? y ? 4 y ? 0 的公切线共有
2 2 2 2

条。

4

3:若圆 x 2 ? y 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4my ? 4m 2 ? 8 ? 0 相切,则实数 m 的取 值集合是 .

4, 两圆 C:x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 C2:x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交于 A 、B 两 1 点,求它们的公共弦 AB 所在直线的方程.

类型六:圆中的对称问题 1、圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 对称的圆的方程是

2

自点 A?? 3, 发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,反射光线所在的 3?
2 2

y

直线与圆 C:x ? y ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切 M (1)求光线 l 和反射光线所在的直线方程. (2)光线自 A 到切点所经过的路程. A C N

G O

B

x

类型七:圆中的最值问题
2 2 1:圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离

A’

与最小距离的差是

图 3

2

P (1)已知圆 O: ? 3) ? ( y ? 4) ? 1 , ( x , y) 为圆 O 上的动点, d ? x ? y 的最大、 求 最小值. (2) 1 (x
2 2 2 2 2 2

已知圆 O2: ? 2) ? y ? 1 ,P( x , y) 为圆上任一点. 求 (x 最小值.

y?2 的最大、 最小值, x ? 2 y 的最大、 求 x ?1

5

3:已知 A(?2,0) , B(2,0) ,点 P 在圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 上运动,则 PA ? PB 的最小值
2 2



.

4:已知点 P ( x, y ) 在圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 上运动. (1)求

y ?1 的最大值与最小值; (2)求 2 x ? y 的最大值与最小值. x?2

5 设点 P( x , y) 是圆 x ? y ? 1 是任一点,求 u ?
2 2

y?2 的取值范围. x ?1

6、已知点 A(?2,?2), B(?2,6), C (4,?2) ,点 P 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上运动,求 PA ? PB ? PC 的
2 2 2

最大值和最小值.

7.设 P 为圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为

类型八:轨迹问题 1、基础训练:已知点 M 与两个定点 O(0,0) , A(3,0) 的距离的比为

1 ,求点 M 的轨迹方程. 2

2、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动,求线段 AB 的
2 2

中点 M 的轨迹方程.

6

2 2 3 如图所示, 已知圆 O:x ? y ? 4 与 y 轴的正方向交于 A 点, B 在直线 y ? 2 上运动, B 做 点 过

圆 O 的切线,切点为 C ,求 ?ABC 垂心 H 的轨迹.

2 2 2 4 已知圆的方程为 x ? y ? r ,圆内有定点 P(a , b) ,圆周上有两个动点 A 、 B ,使 PA ? PB ,

求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.

5、由动点 P 向圆 x ? y ? 1 引两条切线 PA 、 PB ,切点分别为 A 、 B , ?APB =600,则动点 P
2 2

的轨迹方程是

.

6、已知两定点 A(?2,0) , B (1,0) ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围的面积等于 解 : 设 点 P 的 坐 标 是 ( x, y ) . 由 PA ? 2 PB , 得

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 , 化 简 得

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ,∴点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆,∴所求面积为 4? .

2 2 7、已知定点 B(3,0) ,点 A 在圆 x ? y ? 1 上运动, M 是线段 AB 上的一点,且 AM ?

1 MB , 3

问点 M 的轨迹是什么?

类型九:圆的综合应用
2 2 例 25、 已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P 、 Q 两点, O 为原点,且

7

OP ? OQ ,求实数 m 的值.

例 26、已知对于圆 x 2 ? ( y ?1) 2 ? 1 上任一点 P( x , y) ,不等式 x ? y ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的 取值范围.

例 27 有一种大型商品, A 、 B 两地都有出售,且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回 的费用是:每单位距离 A 地的运费是 B 地的运费的 3 倍.已知 A 、 B 两地距离为 10 公里,顾客选 择 A 地或 B 地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.求 A 、 B 两地的售货区域 的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.

8


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