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如东县掘港高级中学高三数学期末考试试卷

时间:2011-01-24


如东县掘港高级中学高三数学期末考试试卷 如东县掘港高级中学高三数学期末考试试卷
一、填空题 1. 计算 3 log 9 25 + log
2 ?1

( 2 + 1) =
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

2. 已知样本 9,10,11, x, y 的平均数是 10 ,标准差是 2 ,则 xy =

?0 ≤ x ≤ 2 ? 2 2 3.若x、y满足 ?0 ≤ y ≤ 2, 则( x ? 1) + ( y ? 1) 的取值范围是 ?x ? y ≥ 1 ?
4. 关于 x 的方程 x 2 ? ( 2 + i ) x + 1 + mi = 0( m ∈ R ) 有一实根为 n ,则



1 = m + ni

5. "| x ? 1 |< 1" 是 " log 2 x < 1" 的 条件。 6. a1 , a 2 , a 3 , a 4 是各项不为零的等差数列且公差 d ≠ 0 ,若将此数列删去某一项得到的数列 (按原来的顺序)是等比数列,则

a1 的值为 d



7.已知 O 为坐标原点, OA = ( ?3,1) , OB =(0,5) ,且 AC ∥ OB , BC ⊥ AB ,则点 C 的坐标为 . 。
开始 s:=0 i:=1

8.已知:函数 y = f ( x ? 1) 的图象关于直线x=1对称,当 x > 0时, f ( x ) = x 2 ? 2 x , 则当 x < 0时, f ( x) = 9.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可 以构成三角形的概率是________。 10.三棱锥A—BCD的三条侧棱两两互相垂直,且AB=2,AD= 3 ,AC=1,则 三棱锥的外接球的球面的表面积
2

。 12


11.过抛物线 y = 4 x 焦点的直线交抛物线于A、B两点,过B点作抛物线的 准线 l 的垂线, 垂足为C, 已知点A (4, , 4) 则直线AC的方程为

s := s +
i : = i+1

1 2i

1 1 1 1 .右图给出的是计算 + + + ? + 的值的一个流程图,其中判断 2 4 6 20
框内应填入的条件是____________。 13.对于函数 f ( x ) = sin(ωx + ? ) ( ?

π
2

<? <

π
2



) ,以下列四个命题中的两个为

输出 s 结束

条 件 , 余 下 的 两 个 为 结 论 , 写 出 你 认 为 正 确 的 一 个 命 题 (序号表示) 。 ①函数f (x)图像关于直线 x = 函数f (x)图像关于点 (

π
12

对称; ②函数f (x)在区间 [ ? ④函数f (x)周期为 π .

π
6

,0] 上是增函数;③

π
3

,0) 对称;

1

14.平面几何中有命题 “正三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值, 大小为边长的 倍” ,请你写出此命题在立体几何中类似的真命题____________________________. 二、解答题 15、已知向量 m = ( 3 sin 2 x + 2, cos x), n = (1,2 cos x), 设函数f ( x) = m ? n.

3 2

(II)在△ABC 中,a、b、c、分别是角 A、B、C (I)求 f (x ) 的最小正周期与单调递减区间。

的对边,若 f ( A) = 4, b = 1, △ABC 的面积为

3 ,求 a 的值。 2

16、何体 ABCDE 中, ∠BAC =

π
2

(I) , DC⊥平面 ABC,EB⊥平面 ABC,AB=AC=BE=2,CD=1,

求证: DC ⊥ 平面 ABE; ; (II)设平面 ABE 与平面 ACD 的交线为直线 l,求证:l // 平面 BCDE; (III)设 F 是 BC 的中点,求证:平面 AFD⊥平面 AFE。
E

D

C

B

A

2

17、已知圆 C 方程为: x 2 + y 2 = 4 . (Ⅰ)直线 l 过点 P (1, 2 ) ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |= 2 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量

OQ = OM + ON ,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

18、某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注 意力指数 p 与听课时间 t 之间的关系满足如图所示的曲线.当 t ∈ (0,14] 时,曲线是二次函数 图象的一部分,当 t ∈ [14,40] 时,曲线是函数 y = log a ( x ? 5) + 83 ( a > 0 且 a ≠ 1 )图象的一 部分.根据专家研究,当注意力指数 p 大于80时听课效果最佳. (1) 试求 p = f (t ) 的函数关系式; 老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最 (2) p 佳?请说明理由.
82 81

O

12 14

40

t

3

19、将数列 {an } 中的所有项按第一行排 3 项,以下每一行比上一行多一项的规则排成如下 数表: a1

a2 a6

a3 a7

a4 a8 a9
……

a5 a10

a11

a12

通项公式; (Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列 {bn } ,若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成 公比为 q ( q > 0)

若 b1 = 1 , 对于任何 n ∈ N , 都有 bn > 0 , (n + 1)bn +1 ? nbn + bn +1bn = 0 . 且 求数列 {bn } 的
?

记表中的第一列数 a1 , a 4 , a8 ,… ,构成数列 {bn } . (Ⅰ)设 b8 = a m ,求 m 的值; (Ⅱ)
2 2

20、已知二次函数 y = g ( x ) 的导函数的图像与直线 y = 2 x 平行,且 y = g ( x ) 在 x = ?1 处取 得极小值 m ? 1( m ≠ 0) .设 f ( x ) =

g ( x) . (1)若曲线 y = f ( x) 上的点 P 到点 Q (0, 2) 的距 x

离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k ( k ∈ R ) 如何取值时,函数 y = f ( x ) ? kx 存在零点, 并求出零点.

4

如东县掘港高级中学高三数学期末考试参考答案 如东县掘港高级中学高三数学期末考试参考答案 考试
一、选择题

1 1 ? i ;5:充要条件;6:.-4 或 1;7:1;8: x 2 + 2 x ;9: 2 2 12.4 13.③④ ? ①②或①④ ? ②③;14. 正四面体 0.75;10: 32π ;11. i > 10 6 倍. 内任意一点到四个面的距离之和是一个定值,大小为棱长的 3
1. 4:2:196; ? ,? ;4: 2 二、解答题 15 解解: (I)∵ m = ( 3 sin 2 x + 2, cos x), n = (1,2 cos x),

?1 ? ?2 ?

∴ f ( x) = m ? n = 3 sin 2 x + 2 + 2 cos 2 x = 3 sin 2 x + cos 2 x + 3 π = 2 sin(2 x + ) + 3 6 2π ∴T = =π 2
∴ f ( x )的单调减区间为[kπ +
(II)由 f ( A) = 4 得

…………4 分 …………5 分

π

2 , kπ + π (k ∈ Z )] 6 3

…………7 分

∴A=

π 3
=2

…………10 分

3 ,b =1 ∴c 2 1 3 ∴ bc sin A = 2 2 ∵ S ?ABC =

…………12 分

∴ a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = 4 + 1 ? 2 × 2 × 1 ×

1 = 3 ∴ a = 3 …14 分 2

16、略; (II)∵CD⊥平面 ABC,BE⊥平面 ABC,∴CD∥BE ∴CD∥平面 AB,又 l=平面 ACD∩平面 ABE ∴CD∥l 又 l ? 平面 BCDE,CD ? 平面 BCDE ∴l∥平面 BCDE (III) 在△DEF 中, FD =

3 , FE = 6 , DE = 3 ∴FD⊥FE

∵CD⊥平面 ABC ∴CD⊥AF 又 BC⊥AF∴AF⊥平面 BCDE ∴AF⊥FD ∴FD⊥平面 AFE 又 FD ? 平面 AFD ∴平面 AFD⊥平面 AFE

17、 Ⅰ) ①当直线 l 垂直于 x 轴时, 则此时直线方程为 x = 1 ,l 与圆的两个交点坐标为 1, 3

(

)
5

和 1,? 3 ,其距离为 2 3

(

)

满足题意

………

1分

②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 = k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k + 2 = 0 设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 = 2 4 ? d ,得 d = 1
2

…………3 分

∴1 =

| ?k + 2 | k 2 +1

,k =

3 , 4

故所求直线方程为 3 x ? 4 y + 5 = 0 综上所述,所求直线为 3 x ? 4 y + 5 = 0 或 x = 1 …………7 分

, (Ⅱ)设点 M 的坐标为 ( x0 , y 0 ) ( y0 ≠ 0 ) Q 点坐标为 ( x, y ) 则 N 点坐标是 (0, y 0 ) ∵ OQ = OM + ON , ∴ ( x, y ) = ( x0 , 2 y0 )
2 2

…………9 分

即 x0 = x ,
2

y0 =

y 2

…………11 分

又∵ x 0 + y 0 = 4 ,∴ x +

y2 = 4( y ≠ 0) 4
…………13 分 …………14 分

∴ Q 点的轨迹方程是

x2 y 2 + = 1( y ≠ 0) , 4 16

轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆,除去短轴端点。

18 、 解 : 1 ) t ∈ (0,14] 时 , 设 p = f (t ) = c (t ? 12) 2 + 82 ( c < 0 ) , 将 (14,81) 代 入 得 (

1 c = ? ………………2 分 4 1 t ∈ (0,14] 时, p = f (t ) = ? (t ? 12) 2 + 82 4
………………5 分

t ∈ [14,40] 时,将 (14,81) 代入 y = log a ( x ? 5) + 83 ,得 a =

1 3

………………7 分

? 1 2 ?? 4 (t ? 2) + 82 ∴ p = f (t ) = ? ?log 1 (t ? 5) + 83 ? 3

(0 < t < 14) (14 ≤ t ≤ 40)
. ………………9 分

6

(2) t ∈ (0,14] 时, ? ∴ t ∈ [12 ? 2 2 ,14]

1 (t ? 12) 2 + 82 ≥ 80 解得 12 ? 2 2 ≤ t ≤ 12 + 2 2 ,……11 分 4
………………13 分

t ∈ [14,40] 时, log 1 (t ? 5) + 83 ≥ 80 解得 5 < t ≤ 32 ,………………14 分
3

∴ t ∈ [14,32] , ∴ t ∈ [12 ? 2 2 ,32] ,………………15 分 即老师在 t ∈ [12 ? 2 2 ,32] 时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳.…………16 分 19. [解](Ⅰ)由题意, m = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 = 43 ………………4 分 解 (Ⅱ)由 (n + 1)bn +1 ? nbn + bn +1bn = 0 , bn > 0
2 2

bn +1 2 得 t > 0 ,且 ( n + 1)t + t ? n = 0 ………………6 分 bn b n 即 (t + 1)[(n + 1)t ? n] = 0 , 所以 n +1 = ………………8 分 bn n +1 b b 1 b 2 n ?1 因此 2 = , 3 = ,., n = .. b1 2 b2 3 bn ?1 n
令t = 将各式相乘得 bn =

1 ………………10 分 n

(Ⅲ)设上表中每行的公比都为 q ,且 q > 0 .因为 3 + 4 + 5 + ? ? ? + 11 = 63 ,………12 分 所以表中第 1 行至第 9 行共含有数列 {bn } 的前 63 项,故 a 66 在表中第 10 行第三 列,………………14 分 因此 a 66 = b10 ? q =
2

2 1 .又 b10 = ,所以 q = 2 .则 5 10

S (k ) =

bk (1 ? q k + 2 ) 1 k + 2 = (2 ? 1) . k ∈ N ? ………………16 分 1? q k

20、(1)依题可设 g ( x ) = a ( x + 1) 2 + m ? 1 ( a ≠ 0 ),则 g ' ( x ) = 2a ( x + 1) = 2ax + 2a ; 又 g ′ ( x ) 的图像与直线 y = 2 x 平行

∴ 2a = 2
g ( x) x

a = 1 ………3 分

∴ g ( x) = ( x + 1) 2 + m ? 1 = x 2 + 2 x + m , f ( x ) =

= x+
m 2 ) x0

m +2, x

设 P xo , yo ,则 | PQ | = x 0 + ( y 0 ? 2) = x 0 + ( x 0 +
2 2 2 2

(

)

7

m2 = 2 x + 2 + 2m ≥ 2 2m 2 + 2m = 2 2 | m | +2m ………6 分 x0
2 0

m2 2 当且仅当 2 x = 2 时, | PQ | 取得最小值,即 | PQ | 取得最小值 2 x0
2 0

当 m > 0 时, ( 2 2 + 2) m = 当 m < 0 时, ( ?2 2 + 2) m =

2

解得 m =

2 ? 1 ………8 分

2 解得 m = ? 2 ? 1 ………9 分 m 2 (2)由 y = f ( x ) ? kx = (1 ? k ) x + + 2 = 0 ( x ≠ 0 ),得 (1 ? k ) x + 2 x + m = 0 x m m 当 k = 1 时,方程 (*) 有一解 x = ? ,函数 y = f ( x ) ? kx 有一零点 x = ? ; 2 2
当 k ≠ 1 时,方程 (*) 有二解 ? ? = 4 ? 4m (1 ? k ) > 0 , 若 m > 0 , k > 1? 即x =

( *)

? 2 ± 4 ? 4m(1 ? k ) 1 ,函数 y = f ( x ) ? kx 有两个零点 x = , m 2(1 ? k )

1 ± 1 ? m(1 ? k ) ;………12 分 k ?1
? 2 ± 4 ? 4m(1 ? k ) 1 , 函 数 y = f ( x ) ? kx 有 两 个 零 点 x = ,即 m 2(1 ? k )

若 m < 0 , k < 1?

x=

1 ± 1 ? m(1 ? k ) ;………14 分 k ?1
k = 1? 1 , m

当 k ≠ 1 时,方程 (*) 有一解 ? ? = 4 ? 4m (1 ? k ) = 0 , 函数 y = f ( x ) ? kx 有一零点 x =

1 = ? m ………15 分 k ?1 m 综上,当 k = 1 时, 函数 y = f ( x ) ? kx 有一零点 x = ? ; 2 1 1 当 k > 1 ? ( m > 0 ),或 k < 1 ? ( m < 0 )时, m m
函数 y = f ( x ) ? kx 有两个零点 x = 当 k = 1?
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1 ± 1 ? m(1 ? k ) ; k ?1

1 1 时,函数 y = f ( x ) ? kx 有一零点 x = = ? m .………16 分 m k ?1

8


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