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高考数学学困生专用精品复习资料(12)(教师版)

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2013 年高考数学 学困生专用精品复习资料(12) (教师版)
(1)理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: ① a ? b ? a ? b; ② a ? b ? a ? c ? c ? b; (2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:

ax ? b ? c ax ? b ? c x ?c ? x ?b ? a
(3)会用不等式①和②证明一些简单问题。能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值 (4)了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法

【专题知识网络】 解答绝对值不等式

证明不等式(比较法、综合法、分析法、放缩法)

【剖析高考真题】 ( 2012 年高考陕西卷)若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围 是 .

( 2012 年 高 考 山 东 卷 ) 若 不 等 式 kx ? 4 ? 2 的 解 集 为 x 1 ? x ? 3 , 则 实 数

?

?

k ? __________.
【答案】2 【解析】由 | kx ? 4 |? 2 可得 2 ? kx ? 6 ,所以 1 ?

k k x ? 3 ,所以 ? 1 ,故 k ? 2 . 2 2

(2012 年高考江西卷)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6 的解集为___________。 【答案】 ? x ? R | ?

? ?

3 3? ?x? ? 2 2?

【解析】本题考查绝对值不等式的解法以及转化与划归、分类讨论的数学思想.

1 1 ? ? 1 ?x ? ? , ?? ? x ? , 原 不 等 式 可 化 为 ? . ① 或 ? 2 ② 或 2 2 ? ? ?1 ? 2 x ? 2 x ? 1 ? 6, ?2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 6,
1 ? ?x ? , ③ 2 ? ? ?2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 6,
由①得 ?

3 1 1 1 1 3 ? x ? ? ;由②得 ? ? x ? ;由③得 ? x ? , 2 2 2 2 2 2

综上,得原不等式的解集为 ? x ? R | ?

? ?

3 ?x? 2

3? ?. 2?

(2012 年高考湖南卷)不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为_______. 【答案】 ? x x ?

? ?

1? ? 4?

1 ? ? ?3, ( x ? ? 2 ) ? 1 ? 【解析】令 f ( x) ? 2x ? 1 ? 2 x ?1 ,则由 f ( x ) ? ? 4 x ? 1, (? ? x ? 1) 得 f ( x ) ? 0 的解集 2 ? 3, ( x ? 1) ? ? ?
为 ?x x ?

? ?

1? ?. 4?

(2012 年高考天津卷)已知集合 A={x ? R||x+2|<3} ,集合 B={x ? R|(x ? m)(x ? 2)<0} , 且A

B=( ? 1,n) ,则 m=

, n=

.

【答案】 ?1 , 1 【解析】 本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质, 同时考查绝对值不等式与一元 二 次 不 等 式 的 解 法 以 及 分 类 讨 论 思 想 . ∵ A={x ? R||x+2|<3} = {x|| ? 5<x<1} , 又 ∵

A

m = ? 1 , n=1 . B= (? 1,n ,画数轴可知 )

? 1 | (a ? R ( 2012 年 高 考 辽 宁 卷 ) 已 知 f ( x)? | a x ,) 不 等 式 f ? x? ? 3 的 解 集 为

? x -2 ? x ? 1?
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 | f ( x) ? 2 f ( ) |? k 恒成立,求 k 的取值范围. 【解析】本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用,考查分类讨 论思想在解题中的灵活运用. 第(Ⅰ)问,要真对 a 的取值情况进行讨论,第(Ⅱ)问要真对

x 2

x f ( x) ? 2 f ( ) 的正负进行讨论从而用分段函数表示,进而求出 k 的取值范围。本题属于中 2
档题,难度适中.平时复习中,要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用。

【解析】本题主要考查含绝对值不等式的解法,是简单题. 【答案】(1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? ? 或? ? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ? 1或 x ? 4
(2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?3 ? a ? 0

【考点梳理归纳】

一、绝对值不等式 1.绝对值三角不等式 定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立。 注: (1 )绝对值三角不等式的向量形式及几何意义:当 a , b 不共线时,| a + b | ≤ | a |+| b |,它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。 (2)不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是:不等式|a|-|b|≤ |a+b|≤|a|+|b|,在侧“=”成立的条件是 ab≥0,左侧“=”成立的条件是 ab≤0 且|a|≥ |b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是 ab≤0,左侧“=”成立的 条件是 ab≥0 且|a|≥|b|。 定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时,等号 成立。 2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集 不等式 |x|<a |x|>a a>0 {x|-a<x<a} {x|x>a 或 x<-a } a=0 a<0

?
{x|x∈R 且 x≠0}

?
R

注:|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义(|x|表示数轴上的点 x 到原点 O 的距离;| x-a |±|x-b|)表示数轴上的点 x 到点 a,b 的距离之和(差) (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c ? -c≤ax+b≤c; ②| ax+b|≥c ? ax+b≥c 或 ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想。

二、证明不等式的基本方法 1.比较法 (1)作差比较法

①理论依据:a>b ? a-b>0;a<b ? a-b<0. ②证明步骤:作差→变形→判断符号→得出结论。 注:作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与 0 的大小关系。 (2)作商比较法 ①理论依据: b ? 0,

a ? 1 ? a ? b; b a b ? 0, ? 1 ? a ? b; b

②证明步骤:作商→变形→判断与 1 的大小关系→得出结论。 2.综合法 (1)定义:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、 论证而得到命题成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。 (2)思路:综合法的思索路线是“由因导果” ,也就是从一个(组)已知的不等式出发, 不断地用必要条件代替前面的不等式,直至推导出要求证明的不等式。 3.分析法 (1)定义:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知 条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等) ,从而得出要证的命题 成立,这种证明方法叫做分析法。 (2)思路:分析法的思索路线是“执果索因” ,即从要证的不等式出发,不断地用充分 条件来代替前面的不等式,直到打到已知不等式为止。 注:综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程,其表述简单、条理 清楚。 当问题比较复杂时, 通常把分析法和综合法结合起来使用, 以分析法寻找证明的思路, 用综合法叙述、表达整个证明过程。 4.放缩法 (1)定义:证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式, 从而达到证明的目的,这种证明方法称为放缩法。 (2)思路:分析证明式的形式特点,适当放大或缩小是证题关键。

【考点典型例题】 考点:解绝对值不等式 (2013 届山东省实验中学高三第一次诊断性测试)不等式 | 5 ? 2 x |? 9 的解集是 A. (一∞,-2)U(7,+co) B.[-2,7] C.

(?2, 7)

D. [-7,2] 【答案】C 【解析】由 | 5 ? 2 x |? 9 得 ?9 ? 2 x ? 5 ? 9 ,即 ?4 ? 2 x ? 14 ,所以 ?2 ? x ? 7 ,选 C. 考点:用比较法、综合法证明不等式 已知 a>0,b>0,求证:

a b + ≥ a+ b. b a

法二:(作商比较法)



a b + b a a+ b



a ab

3



b a+ b

3


2

a+ b ab

a+b- ab a+ b



a+b- ab ab+ = ab

a- b ab

=1+ ∴

a- b ab

2

≥1,

a b + ≥ a+ b. b a

法四:(综合法) ∵

a b + b+ + a≥2 b a

a b+2 b

b a a

=2 a+2 b, ∴

a b + ≥ a+ b. b a

或∵?

?a+b? ?( a+ b) a? ? b
a a b b + ≥a+b+2 b a
2

=a+b+

a a b b · b a

=a+b+2 ab=( a+ b) , ∴

a b + ≥ a+ b. b a

考点:用分析法、放缩法证明不等式 已知 a>0,求证:

a2+ 2- 2≥a+ -2. a a

1

1

【解析】当从条件直接去推证不等式的方向不明确时,可考虑用分析法证明.

【考点强化训练】 一、选择题 1.(2011 年高考山东卷)不等式|x-5|+|x+3|≥10 的解集是( A.[-5,7] B.[-4,6] C.(-∞,-5]∪[7,+∞) D.(-∞,-4]∪[6,+∞) 【答案】D 【解析】|x-5|+|x+3|≥10 当 x≤-3 时,5-x+(-x-3)≥10,∴x≤-4 当-3<x<5 时,5-x+x+3≥10,8≥10 无解,舍去. 当 x≥5 时,x-5+x+3≥10,∴x≥6 综上 x∈(-∞,-4]∪[6,+∞). 另解用特殊值检验,取 x=5 不符合题意,删除 A、B,取 x=6 符合,排除 C. )

二、填空题 2.(2013 届山东省实验中学高三第二次诊断性测试)已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ?a .若不等 式 f ( x) ? 6 的解集为 ?x | ?2 ? x ? 3?,则实数 a 的值为 .

【答案】 a ? 1 【解析】 因为不等式 f ( x) ? 6 的解集为 ?x | ?2 ? x ? 3?, 即 ?2 ,3 是方程 f ( x) ? 6 的两个根, 即 6 ? a ? a ? 6, a ? 4 ? a ? 6 ,所以 6 ? a ? 6 ? a, a ? 4 ? 6 ? a ,即 6 ? a ? a ? 4 ,解 得 a ? 1。

三、解答题 5.(2013 届云南省玉溪一中高三第四次月考) 已知函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? a | (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (Ⅱ)如果 ?x ? R, f ( x) ? 2, 求 a 的取值范围. 【答案】 (1) {x | x ? ? 或x ? } (2) | a ? 1 |? 2 ? a ? ?1或a ? 3 【解析】

3 2

3 2

? ? 2 x , x ? ?1 ? (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x ) ? ?2,?1 ? x ? 1 ? 2 x, x ? 1 ?

? x ? ?1 ?- 1 ? x ? 1 ? x ? 1 3 3 f ( x) ? 3 ? ? 或? 或? ? x ? ? 或?或x ? 2 2 ?? 2 x ? 3 ? 2 ? 3 ?2 x ? 3
所以,原不等式的解集为 {x | x ? ? 或x ? } (Ⅱ) f ( x) ?| x ? 1 ? a ? x |?| a ? 1 | 由题意知 | a ? 1 |? 2 ? a ? ?1或a ? 3

3 2

3 2

6. (2011 年高考全国新课标卷) 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x, a ? 0 (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集;(2)如果 不等式 f ( x) ? 0 的解集为 x x ? ?1 ,求 a 的值。

?

?

7.(2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试) 设函数 f ( x) ? | x ?1| ? | x ? 2 | ?a . ⑴ 当 a ? 5 时,求函数 f ( x) 的定义域;

⑵ 若函数 f ( x) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围.


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