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高考数学易错题解题方法大全06

时间:2013-02-02


高考数学易错题解题方法大全(06)
【范例 1】若函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 1 在定义域 A 上的值域为[-3,1],则区间 A 不可能为 ( ) A.[0,4] B.[2,4] C.[1,4] D.[-3,
2

5] 答案:D 【错解分析】此题容易错选为 B,C,D,错误原因是没有借助图象很好的掌握定义域和值域 的关系。 【解题指导】注意到 f ( x ) ? x ? 4 x ? 1 ? ( x ? 2 ) ? 3 ?? ( 0 ) ? f ( 4 ) ? 1 ,结合函数 ,f
y ? f ( x ) 的图象不难得知 f ( x ) 在[0,4]、 [2,4]、 [1,4]上的值域都为[-3,1], 而在[-3,
2 2

5]上的值域不是[-3,1]. 【练习 1】已知函数 y
f ? f

? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且

f ?1 ? ? 2

,对任意 x ? R ,都有

?x ? 2?

? f

?x? ?

f (2)

成立,则 f ? 2 0 0 7 ? ? ( B.4014

) C.2007 D.2006

A.4012

【 范 例 2 】 已 知 全 集 I ? { 大 于 ? 3 且 小 于 10 的 整 数 } , 集 合 A ? {0 ,1, 2 , 3} ,
B ? { ? 4 , ? 2 , 0 , 2 , 4 , 6 , 8} ,则集合 ( C I A ) ? B 的元素个数有 (

)

A.3 个 答案:B

B.4 个

C.5 个

D.6 个

【错解分析】此题容易错选为 C,错误原因是看清全集 I ? {大于 ? 3 且小于 10 的整数},而 不是大于等于 ? 3 。
C 【解题指导】I ? { ? 2 , ? 1, 0 , ? , 8, 9} , U A ? ?? 2 , ? 1, 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ? , C U A ? B ? ?? 2 , 4 , 6 , 8 ,? ,

故集合 C U A ? B 的元素个数有 4 个. 【练习 2】设全集 U 是实数集 R, M = ? x | x 2 所表示的集合是( A. ? x | ? 2 C. ? x | 1 ?
? x ? 1?

? 4?

,N

?

? x | lo g 2 ( x

? 1) ? 1?

,则图中阴影部分

) B. ? x | ? 2 D. ? x | x
? x ? 2? ? 2?

x ? 2?

【范例 3】下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( A. y ? x , x ? R
3

)

B. y ? s in x , x ? R
? 3? D. y ? ? ? ? 2? x ,x? R

C. y ? lg x , x ? 0

第 1 页 共 12 页

答案:A 【错解分析】 此题容易错选为 B, D, C, 错误原因是没看清楚题目考查的是函数的两个性质。 【解题指导】本题主要考查三角函数、对数函数、指数函数、幂函数的基本性质.其中 B 在 其定义域内是奇函数但不是减函数;C 是非奇非偶函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函 数. 【练习 3】函数 f ( x ) ? 1 ? log
2

x 与 g (x) ? 2

? x ?1

在同一直角坐标系下的图象大致是(



A

B

C

D

【范例 4】已知等差数列{an}的前 n 项和是 S n ? ? 小正整数 n 为( A.2009 答案: B ) B.2010 C.2011

1 2

n

2

?

a8 2

n ,则使 a n ? ? 2006

成立的最

D.2012

【错解分析】此题容易错选为 A,C,D,错误原因主要是不能准确的根据等差数列求和公式 的性质求出 d ? ? 1 且 a 1 ? 2 。 【解题指导】设数列 ?a n ? 的公差是 d ,则 S n ? na 1 ?
? ? 1 2
2

n ( n ? 1) 2

d ?

d 2

n

2

? ( a1 ?

d 2

)n

n

?

a8 2

n ,

d 2

? ?

1 2

且 a1 ?

d 2

? ?

a8 2

? ?

a1 ? 7 d 2

, d ? ?1且 a1 ? 2 ,

a n ? 2 ? ( n ? 1 ) ? 3 ? n ? ? 2006 , n ? 2009

因此使 a n ? ? 2006 成立的最小正整数 n=2010,选 B. 【练习 4】无穷数列 1, 10. A.99 【范例 5】若 ? ? (
15 16

1 3



1 3



1 3



1 5



1 5



1 5



1 5



1 5

,?的前(

)项和开始大于

B.100
?
4 ,

C.101
1 16

D.102 )
15 4

?
2

), s in 2 ? ?

, 则 c o s ? ? s in ? 的值是(

A.

B.

15 4

C. ?

15 4

D. ?

答案:C

第 2 页 共 12 页

【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是没有弄清楚 ? ? ? 小。 【解题指导】? ? ? (
? 4 , ? 2
15 4

? ? ? 4

,

? ? ? 时,s in ? , 与 co s? 的大 2 ?

) ? cos ? ? sin ? , 又 (cos ? ? sin ? )

2

? 1 ? 2 sin ? cos ? ?

15 16

,

所以 c o s ? ? s in ? = ? 【练习 5】若 0 ? ? ? ? ? A. m ? n
? 4

, sin ? ? cos ? ? m , sin ? ? cos ? ? n , 则(

) D. mn ? 2

B. m ? n

C. mn ? 1

2 2 【范例 6】直线 x ? m , y ? x 将圆面 x ? y ? 4 分成若干块,现用 5 种颜色给这若干块

涂色, 每块只涂一种颜色, 且任意两块不同色, 共有 120 种涂法, m 的取值范围是 则 ( A. ( ? 2 , 2 ) C. ( ? 2 , ? 2 ) ? ( 2 , 2 ) 答案:A 【错解分析】此题容易错选为 B,C,D,错误原因是没有能够 耐心的分类讨论去计算到底. 【解题指导】如图,①当 m ? ?2 或 m ? 2 时,圆面
x
2



B. ( ? 2 , 2 ) D. ( ?? , ? 2 ) ? ( 2 , ?? )

x=-2

y

x=2 y=x

O

x

? y

2

? 4 被 分 成 2 块 , 涂 色 方 法 有 20 种 ; ② 当

x=- 2

x= 2

? 2 ? m ? ? ? 2 ? m ?

2 或

2 ? m ? 2 时,圆面 x
2

2

? y

2

? 4 被分成 3 块,涂色方法有 60 种;③当

2 时,圆面 x

? y

2

? 4 被分成 4 块,涂色方法有 120 种,所以 m 的取值范

围是 ( ? 2 , 2 ) ,故选 A. 【练习 6】 已知单位正方体 ABCD
? ?
— A 1 B 1 C 1 D 1 的对棱 BB1、 1 上有两个动点 E、 BE=D1F= DD F,

λ ?0 ? ? ?

1? 设 与 则 ( ? , EF 与 AB 所成的角为 ? , BC 所成的角为 ? , ? + ? 的最小值 2?



A.不存在

B.等于 60°
? ?

C.等于 90°
?
? ?

D.等于 120°
? ? ?
? ?

?

【范例 7】若向量 a 与 b 不共线,且 a ? b ? 0 , c ? ( ?

a? b
?

) a ? b ,则向量 a , c 的夹角

a? a

为 . 答案:90° 【错解分析】此题容易错填的答案很多,主要是不能很好地领悟两向量我们主要研究了共线

第 3 页 共 12 页

和垂直两种情况,所以应该联想到借助数量积解决。
? ?

【解题指导】 a ? c ? 0 . 【练习 7】 在平面直角坐标系中, 菱形 OABC 的两个顶点为 O,0, , 1, , OA ? OC ? 1 , ( 0)A ( 1)且 则 AB ? AC ? .
a x?2

【范例 8】已知函数 f ? x ? ? x ?

,则此函数的最小值 ( x ? 2 ) 的图象过点 A(3,7)

是 . 答案:6 【错解分析】此题主要考查创造条件利用均值不等式解题的能力,容易错在构造均值不等式 上。 【解题指导】 a ? 4 , f ( x ) ? x ? 【练习 8】下列结论中正确的有 (1)当 x ? 2 时, x
? 1 x

4 x ? 2

? x ? 2?

4 x ? 2

? 2 ? 2

4 ? 2 ? 6.

的最小值为 2
? 2

(2) 0 ? x ? 2 时, 2 x ? 2 ? x 无最大值 (4)当 x ? 1 时, lg x ? 关于直线
y ? 2x ? b

(3)当 x ? 0 时, x ? 【范例 9】若圆 是 . 答案: ? ? ,1 ? ?
2

1 x

1 lg x

? 2

x ? y

2

? 2x ? 4y ? a ? 0

成轴对称,则 a

?b

的范围

【 错 解 分 析 】 此 题 容 易错 填 为 ? ? ? ,1 ? , 错 误 原 因 是 对二 元 二 次 方 程表 示 圆 的充 要 条 件: D ? E ? 4 F ? 0 误以为 D ? E ? 4 F ? 0 。
2 2 2 2
2 2 【解题指导】圆心(-1,2)在直线 y ? 2 x ? b 上,所以 b=4,又 x ? y ? 2 x ? 4 y ? a ? 0

表示圆的充要条件是 4 ? 1 6 ? 4 a ? 0 所以 a ? 5 .
? ?

?

?

? ? ) 【练习 9】已知向量 a ? ( 2 c o s ? , 2 s i n? ) ,b ? ( 2 c o s , 2 s i n , 其向量 a 与 b 的夹角为

6 0 ,则直线 cos ? ? x ? sin ? ? y ? 0 与圆 ( x ? c os ? )
0

2

? ( y ? s in ? )

2

?

1 2

的位置关系

是 . 【范例 10】长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD=4,AB=3,则直线 A1B 与平面 A1B1CD 所成角 的正弦值是 . 答案:
2 5 2

【错解分析】此题容易错在线面角的寻找上。 【解题指导】由条件知,BC1 ? 平面 A1B1CD,设 BC1 ? B1C=O,则∠BA1O 为所求角, 其正弦值为
BO A1 B



2 5

2

D A F M B

C

第 4 页 共 12 页

D1 E C1

【练习 10】在棱长为 1 的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 A 1 B 1 C 1 D 1 内 取一点 E,使 AE 与 AB、AD 所成的角都是 60°,则线段 AE 的长为 .

【范例 11】由 1,2,3,4 这四个数,组成个位数字不为 2 的没有重复数字的四位数,共有 个 答案:18 【错解分析】此题容易错的地方是:没有优先考虑特殊情况。
3 【解题指导】先确定个位有三种情况,其余进行全排列, 3 A 3 ? 1 8



【练习 11】某机关的 2008 年新春联欢会原定 10 个节目已排成节目单,开演前又增加了两 个反映军民联手抗击雪灾的节目, 将这两个节目随机地排入原节目单, 则这两个新节目恰好 排在一起的概率是_____________. 【范例 12】下列说法:①当 x ? 0 且 x ? 1时,有 ln x ?
s in A ? s in B
x

1 ln x

? 2 ;② ? ABC 中, A ? B 是

x 成立的充要条件;③函数 y ? a 的图象可以由函数 y ? 2a (其中

平移得到; ④已知 S n 是等差数列 ? a n ? 的前 n 项和, S 7 ? S 5 , S 9 ? S 3 .; 若 则 a ? 0且 a ? 1 ) ⑤函数 y ? f (1 ? x ) 与函数 y ? f (1 ? x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称。 其中正确的命题的序号 为 . 答案:②③④ 【错解分析】此题容易错选为①⑤,而漏掉③。错选①主要是对均值不等式要是正数的前提 条件理解不好,漏掉③主要是对指数的化简没有考虑到。
x 【解题指导】①中③中将 y ? 2 a 可变形为 y ? a

log

a

2

?a

x

? a

x ? log

a

2



④中 S 7 ? S 5 ? a 6 ? a 7 ? 0 所以 S 9 ? S 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? a 7 ? a 8 ? a 9 ? 3 ( a 6 ? a 7 ) ? 0 【练习 12】给出下列四个结论: 2 2 ①“k=1” “是函数 y=cos k x-sin k x 的最小正周期为π ”的充要条件. ②函数 y=sin(2 x-
?
6

)沿向量 a=(

?
6

,0)平移后所得图象的函数表达式是:

y=cos2 x. 2 ③函数 y=lg(a x -2 a x+1)的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是(0,1).
④单位向量 a、b 的夹角是 60°,则向量 2a-b 的模是 其中不正确结论的序号是 【范例 13】已知函数 f ( x ) ? (1)求 f ( x ) 的极值;
1 ? a ? ln x x
3

.

.(填写你认为不正确的所有结论序号)
,a ? R.

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(2)若 ln x ? kx ? 0 在 ( 0 , ?? ) 上恒成立

, 求 k 的取值范围;

(3)已知 x 1 ? 0 , x 2 ? 0 , 且 x 1 ? x 2 ? e , 求证 : x 1 ? x 2 ? x 1 x 2 .

【错解分析】 (1)化归思想在此题的应用是容易出错的地方,求 k 的取值范围时先整理出参 数 k, (2)对函数 f ( x ) ?
ln x x

是近年来考查的热点,应引起注意。

解: (1)? f ( x ) ?
/
a

a ? ln x x
/

2

, 令 f (x) ? 0 得 x ? e
/

a

当 x ? ( 0 , e ) , f ( x ) ? 0 , f ( x ) 为增函数;当 x ? ( e , ? ? ), f ( x ) ? 0 , f ( x ) 为减函数,
a /

可知 f ( x ) 有极大值为 f ( e ) ? e
a

?a

(2)欲使 ln x ? k x ? 0 在 ( 0 , ? ? ) 上恒成立,只需
ln x x

ln x x

? k 在 ( 0 , ? ? ) 上恒成立,



g (x) ?

( x ? 0 ).

由(1)知, g ( x ) 在 x ? e 处 取 最 大 值

1 e

,? k ?

1 e

(3)? e ? x 1 ? x 2 ? x 1 ? 0 ,由上可知 f ( x ) ?
? ln ( x 1 ? x 2 ) x1 ? x 2 ? ln x 1 x1 即 x 1 ln ( x 1 ? x 2 ) x1 ? x 2 ? ln x 1

ln x x

在 ( 0 , e ) 上单调递增,
x 2 ln ( x 1 ? x 2 ) x1 ? x 2

①, 同理

? ln x 2



两式相加得 ln ( x 1 ? x 2 ) ? ln x 1 ? ln x 2 ? ln x 1 x 2 ? x 1 ? x 2 ? x 1 x 2 【练习 13】设函数 f ( x ) ? x ? b ln( x ? 1 ) ,其中 b ? 0 .
2

(1)若 b ? ? 1 2 ,求 f ( x ) 在 [1, 3 ] 的最小值; (2)如果 f ( x ) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; (3)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ? N 时,不等式 ln
n ?1 n ? n ?1 n
3

恒成立.
13 ,

0 【范例 14】 如图在三棱锥 S ? A B C 中 ? A C B ? 9 0 ,S A ? 面 A B C ,A C ? 2 ,B C ?

SB ?

29 .

(1)证明 S C ? B C 。 (2)求侧面 S B C 与底面 A B C 所成二面角的大小。 (3)求异面直线 SC 与 AB 所成角的大小。

S B

A

C

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【错解分析】对面面角,线面角的问题,我们应该先找出角,然后去证明,而不能只有计算 出的结果。 解: (1)∵∠SAB=∠SCA=900
? SA ? AB ? SA ? 面 ABC 由 于 ? AC B ? 90 即 BC ? AC
0

SA ? AC

AB ? AC ? A

由 三 重 线 定 理 得 SC ? BC

(2)? B C ? A C

BC ? SC

? ? S C A是 侧 面 S B C 与 底 面 A B C 所 成 二 面 角 的 平 面 角 在 R t ? S C B 中 ,由 于 B C ? 在 Rt? SA C中 由 于 A C ? 2 ? C O S ? SC A ? ? ? SC A ? 60
0

1 3 .S B ?

29

SC ? 4

SC ? 4

AC SC

?

1 2

即 侧 面 SBC与 底 面 ABC形 成 的 二 面 角 的 大 小 为 60

0

(3) 过 C 作 C D // B A .过 A 作 A D // B C 交 点 为 D .
则 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ? DC=AB= 又 SA ? AC ? BC SB
2 2 2

?

17 3 .S D ? 17 17
17 17

? AB

2

? 2

SA ? AD
2

2

? 5

故 在 ? S C D中 , C O S ? S C D =

? SC 与 A B 所 成 角 的 大 小 为 arc cos

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【练习 14】如图, 正方形 ABCD 和 ABEF 的边长均为 1,且它们所在的平面互相垂直,G 为 BC 的中点. F (1)求点 G 到平面 ADE 的距离; (2)求二面角 E ? GD ? A 的正切值. 【范例 15】 F 1 、F 2 分别是椭圆 设
x
2

+

y

2

E

= 1 的左、 右焦点.,

A

D

5

4
C

(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 1 ? PF 2 的最大值

B

G

和最小值; (2)是否存在过点 A(5,0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D,使得|F2C|=|F2D|? 若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 【错解分析】化归思想,消元思想是数学中的两大思想,要能彻底领悟,才是数学学习的最 高境界。 解: (1)易知 a ?
5 , b ? 2 , c ? 1 , ? F 1 ? ( ? 1 , 0 ), F 2 (1 , 0 )

设 P(x,y) ,则 PF 1 ? PF 2 ? ( ? 1 ? x , ? y ) ? (1 ? x , ? y ) ? x 2 ? y 2 ? 1
x
2

? 4?

4 5

x

2

?1 ?
5],

1 5

x

2

? 3

? x ? [?

5,

? 当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF 1 ? PF 2 有最小值 3;

当 x ? ? 5 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF 1 ? PF 2 有最大值 4 (2)假设存在满足条件的直线 l 易知点 A(5,0)在椭圆的外部,当直线 l 的斜率不存 在时,直线 l 与椭圆无交点,所在直线 l 斜率存在,设为 k 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 5 )
?x y ? ?1 ? 2 2 2 2 由方程组 ? 5 , 得 (5 k ? 4 ) x ? 5 0 k x ? 1 2 5 k ? 2 0 ? 0 4 ? y ? k ( x ? 5) ?
2 2

依题意 ? ? 2 0 (1 6 ? 8 0 k ) ? 0 , 得 ?
2

5 5

? k ?

5 5

当?

5 5

? k ?

5 5

时,设交点 C ( x 1 , y 1 )、 D ( x 2 , y 2 ) ,CD 的中点为 R ( x 0 , y 0 ) ,
2

则 x1 ? x 2 ?

50 k 5k
2

? 4

, x0 ?

x1 ? x 2 2

?

25 k 5k
2

2

? 4

第 8 页 共 12 页

? y 0 ? k ( x0 ? 5) ? k (

25 k 5k
2

2

? 4

? 5) ?

? 20 k 5k
R
2

? 4

.

又|F2C|=|F2D| ? F 2 R ? l ? k ? k F
20 k 5k 1?
2 2

? ?1

2

0 ? (? ? k ?kF
2

R

? k ?

? 4
2

) ?

20 k

2 2

25 k 5k

4 ? 20 k

? ?1

? 4

∴20k2=20k2-4,而 20k2=20k2-4 不成立, 综上所述,不存在直线 l,使得|F2C|=|F2D|

所以不存在直线 l ,使得|F2C|=|F2D|

【练习 15】已知椭圆 W 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

6 3

,两条准线间的距离

为 6,椭圆 W 的左焦点为 F ,过左准线与 x 轴的交点 M 任作一条斜率不为零的直线 l 与椭 圆 W 交于不同的两点 A 、 B ,点 A 关于 x 轴的对称点为 C . (1)求椭圆 W 的方程; (2)求证: C F ? ? F B ( ? ? R );
A

??? ?

??? ?

y

(3)求 ? M B C 面积 S 的最大值.
M

B F C O x

练习题参考答案: 1.B 2. C 3.C 交 10.
2

4.C 11.
1 6

5.A 12. ④

6.C

7 .1

8. (4)

9.相

13. 解: (1)由题意知, f ( x ) 的定义域为 ( ? 1, ?? ) ,
12 x ?1 2 x ? 2 x ? 12
2

b ? ? 1 2 时,由 f ( x ) ? 2 x ?
/

?

x ?1

? 0 ,得 x ? 2 ( x ? ? 3 舍去) ,

/ 当 x ? [1, 2 ) 时, f ( x ) ? 0 ,当 x ? ( 2 , 3 ] 时, f ( x ) ? 0 , /

所以当 x ? [1, 2 ) 时, f ( x ) 单调递减;当 x ? ( 2 , 3 ] 时, f ( x ) 单调递增, 所以 f ( x ) m in ? f ( 2 ) ? 4 ? 1 2 ln 3
b x ?1 2x ? 2x ? b
2

(2)由题意 f ( x ) ? 2 x ?
/

?

x ?1

? 0 在 ( ? 1, ?? ) 有两个不等实根,

第 9 页 共 12 页

即 2 x ? 2 x ? b ? 0 在 ( ? 1, ?? ) 有两个不等实根,
2

设 g ( x ) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 ?
2

? ? ? 4 ? 8b ? 0 ? g ( ? 1) ? 0

,解之得 0 ? b ?

1 2



2 (3)对于函数 f ? x ? ? x ? ln( x ? 1 ) ,

令函数 h ? x ? ? x ? f ( x ) ? x ? x ? ln( x ? 1 ) ,
3 3 2

则 h ?x ? ? 3 x ? 2 x ?
/ 2

1 x ?1
0

?

3x

3

? ( x ? 1) x ?1

2



? 当 x ? [ 0 , ?? )时, h

/

?x ? ?

所以函数 h ? x ? 在 [ 0 , ?? ) 上单调递增, h ( 0 ) ? 0 ,? x ? ( 0 , ?? ) 时, 又 恒有 h ? x ? ? h ( 0 ) ? 0 即 x ? x ? ln( x ? 1 ) 恒成立.
2 3

取x ?

1 n

? ( 0 , ?? ) ,则有 ln(

1 n

? 1) ?

1 n
2

?

1 n
3

恒成立.
1 n ? 1) ? 1 n
2

显然,存在最小的正整数 N=1,使得当 n ? N 时,不等式 ln( 14.解: (1)∵BC∥AD, AD ? 面 ADE, ∴点 G 到平面 ADE 的距离即点 B 到平面 ADE 的距离. 连 BF 交 AE 于 H,则 BF⊥AE,又 BF⊥AD. ∴BH 即点 B 到平面 ADE 的距离. 在 Rt△ABE 中, BH ?
2 2 2 2
E

?

1 n
3

恒成立



F

O H A D

∴点 G 到平面 ADE 的距离为



(2)过点 B 作 BN⊥DG 于点 N,连 EN, 由三垂线定理知 EN⊥DN. ∴ ? ENB 为二面角 E ? GD ? A 的平面角. 在 Rt△BNG 中, sin ? BGN
? sin ? DGC ? 2 5 1 2 2 5 5 5 5 5

B

G

C

∴ BN ? BG sin ? BGN

?

?

?

则 Rt△EBN 中, tan ? ENB ?

BE BN

?

5

所以二面角 E ? GD ? A 的正切值为 5 .

第 10 页 共 12 页

15.解: (1)设椭圆 W 的方程为
? c 6 ? , ? a 3 ? ? 2 2 2 ? a ? b ? c , 解得 a ? ? 2 a ? 2? ? 6, ? c ?

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ,由题意可知

6 ,c ? 2 ,b ?

2 ,

所以椭圆 W 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

6

2 a
2

(2) 解法 1: 因为左准线方程为 x ? ? 方程为 y ? k ( x ? 3 ) .

? ?3 , 所以点 M 坐标为 ( ? 3, 0 ) .于是可设直线 l 的

c

? y ? k ( x ? 3 ), ? 2 2 2 2 2 2 得 (1 ? 3 k ) x ? 1 8 k x ? 2 7 k ? 6 ? 0 . ? x y ? ?1 ? 2 ? 6

由直线 l 与椭圆 W 交于 A 、 B 两点,可知
? ? (1 8 k ) ? 4 (1 ? 3 k )( 2 7 k
2 2 2 2

? 6 ) ? 0 ,解得 k

2

?

2 3



设点 A , B 的坐标分别为 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,
?18k 1 ? 3k
2 2

则 x1 ? x 2 ?

, x1 x 2 ?

27k

2

?6
2

1 ? 3k

, y 1 ? k ( x1 ? 3 ) , y 2 ? k ( x 2 ? 3 ) .

因为 F ( ? 2 , 0 ) , C ( x 1 , ? y 1 ) , 所以 F C ? ( x1 ? 2 , ? y 1 ) , F B ? ( x 2 ? 2 , y 2 ) . 又因为 ( x 1 ? 2 ) y 2 ? ( x 2 ? 2 ) ( ? y 1 ) ? ( x 1 ? 2 ) k ( x 2 ? 3 ) ? ( x 2 ? 2 ) k ( x 1 ? 3 )
54k
2

??? ?

??? ?

? k [ 2 x1 x 2 ? 5 ( x1 ? x 2 ) ? 1 2 ] ? k [

? 12
2

1 ? 3k

?

?90k 1 ? 3k

2 2

? 12]

?

k (5 4 k

2

? 12 ? 90k 1 ? 3k

2 2

? 12 ? 36k )
2

? 0,

所以 C F ? ? F B .

??? ?

??? ?

第 11 页 共 12 页

解法 2:因为左准线方程为 x ? ?

a

2

? ? 3 ,所以点 M 坐标为 ( ? 3, 0 ) .

c

于是可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3 ) ,点 A , B 的坐标分别为 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , 则点 C 的坐标为 ( x 1 , ? y 1 ) , y 1 ? k ( x 1 ? 3 ) , y 2 ? k ( x 2 ? 3 ) . 由椭圆的第二定义可得
| FB | | FC | ? x2 ? 3 x1 ? 3 ? | y2 | | y1 |

,

所以 B , F , C 三点共线,即 C F ? ? F B . (Ⅲ)由题意知
S ? 1 2
?

??? ?

??? ?

| M F || y 1 | ?

1 2

| M F || y 2 | ?

1 2

| M F | ? | y1 ? y 2 | ?

1 2
1 3

| k ( x1 ? x 2 ) ? 6 k |

3|k | 1 ? 3k
2

?

3 1 |k | ?3|k |

? 2

3 3

?

3 2

,当且仅当 k ?
2

时“=”成立,

3 所以 ? M B C 面积 S 的最大值为 2 .

第 12 页 共 12 页


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