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双曲线的定义和标准方程_图文

时间:2018-11-15

双曲线及其标准方程

一、复习
前面我们学习了椭圆的有关概念:定义、标准方程、焦 点等,我们作一简要的回顾:

定 义 图 象

|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)

F1

··
o F2

y

x

F2 F1

方 程
焦 点 a.b.c 的关系

x2 a2

+

y2 b2

=1

y2 x2 + 2 =1 2 a b
F(0, ± c)

· o ·

y

x

F ( ±c,0) a2 = b2+c2

探求轨迹
平面内到两个定点F1、F2的距离 的差等于常数的动点的轨迹又是 怎样的?
| MF1 | ? | MF2 |? 2a 或 | MF2 | ? | MF1 |? 2a

合写成

| MF1 | ? | MF2 | ? 2a(a ? 0)

二、学习新课: 1、双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做 双曲线的焦点,两焦点之间的距 M 离叫做双曲线的焦距. · M 几点说明: · · F F 通常|F1F2|记为2c; 正常数记为2a. (1) 定义中为什么要这个常数2a是正数呢? ∵若常数2a=| | MF1|-|MF2| |=0, 则| MF1|=|MF2|,此时点的轨迹 F1 O F2 是线段F1F2的垂直平分线.(如图) M
1 2

∴2a>0,即 a>0 .

(2)定义中为什么要正常数2a<|F1F2|呢? ①2a能否等于|F1F2|? 2a= | | MF1|-|MF2| | =|F1F2 | 时,M 点一定在上图中的射线F1P,F2Q 上,此时点的 轨迹为两条射线F1P、F2Q。 ②2a能否大于|F1F2 |呢?
P F1 F2

Q

| | MF1|-|MF2| | >|F1F2 |是不可能的, 因为三角形两边之差小于第三边,此时无轨迹。 所以定义中的常数2a必须为正,且 2a<|F1F2|.

2.标准方程的推导
① 建系

y

y轴为线段 使 轴经过两焦点 F1 , F2 , 的垂直平分线。
② 设点

x

F1 , F2

M
F1
O

F2 x

设 M ( x, y )是双曲线上任一点, 焦距为 2c(c ? 0) ,那么 焦点 的差的绝对值等于常数 2 a 。 ③ 列式 即

F 1 (?c,0), F 2 (c,0)

又设点 M 与 F1 , F2

MF1 ? MF2 ? 2a

( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?2a

④化简



(c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c 2 ? a 2 )
(c 2 ? a 2 ) 得 x2 y2 ? 2 ?1 2 2 a c ?a
2

两边同除以 a

? 2c ? 2a ? c ? a ? c 2 ? a 2 ? 0

?令c 2 ? a 2 ? b 2 (b ? 0)
2 2

代入得

F 1 (?c, 0), F 2 (c, 0) c ? a ? b .
2 2 2

这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表 示的是焦点在 x轴上

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

2.双曲线的标准方程 建系时,焦点在x轴上
y
M(x,y) F1(-c,0)
F2(c,0)

若建系时,焦点在y轴上呢?
M(x,y)

y
F2(0,c)

x
O

x

F1(0,-c)

x y ? 2 ?1 2 a b
2 2 2

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
2 2 2

2

2

(a ? 0,b ? 0, c ? a ? b ) (a ? 0,b ? 0, c ? a ? b )

3.两种标准方程的比较

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
① 方程用“-”号连接。 ② 分母是 a
2

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

, b2 , a ? 0, b ? 0 但 a , b

大小不定。

c 2 ? a 2 ? b2 。 ④如果x2的系数是正的,则焦点在x 轴上;如果 的y2系数是正的,则焦点在y轴上。 由方程定焦点:


椭圆看大小

双曲线看符号

对双曲线定义和标准方程的认识 (1)一条双曲线由两支组成.
y

M
O

F1

·
y

·
F2

·x

当点M在右支上时, |MF1|-|MF2|=2a. 当点M在左支上时, |MF2|-|MF1|=2a.

·
M F1

·

O

· F
2

x

(2)c2=a2+b2,其中a,b大小不定. (3)如果x2的系数为正,那么焦点在x轴上. 如果y2的系数为正,那么焦点在y轴上.

3.小结:(1)双曲线的定义和标准方程:
定义 图象
||MF1|—|MF2||=2a (︱F1F2︱>2a ) y y F2 · F1 F2

· o

·x

x

· x2 方程 焦点

a2

-

y2

b2

=1

y2 a2

-

x2 b2

= 1

F(±c,0)

F(0,±c)

a.b.c 的关系

c2=a2+b2

(2)双曲线与椭圆之间的区别与联系:

定义 x2 a2 y2 a2

圆 y2
b2 =1 x2 a2 y2 a2

双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

+
+

-

y2

x2 =1 2 b

-

b2 x2 = 1 2 b

=1

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)

F(0,±c)

a.b.c 的关系 a>b>0,c2=a2-b2

a>0,b>0, 但a不一定大于b, c2=a2+b2

判断下列方程是否表示双曲线?若是,求出

a, b, c及焦点坐标。

x2 y 2 ?1? ? ? 1 4 2 x2 y 2 ? 3? ? ? 1 4 2
答案:

x2 y 2 ? 2? ? ? 1 2 2 x2 y 2 ? 4 ? ? ? 1(m ? 0, n ? 0) m n
(? 6,0).( 6,0)
(?2,0).(2,0)

?1?a ? 2, b ? 2, c ? 6 ?2?a ? 2, b ? 2, c ? 2

?4?a ?

m, b ? n , c ? m ? n ( m ? n ,0).(? m ? n ,0)

(1)先把非标准方程化成标准方程,再判断焦点所在的坐标轴。

x2 y 2 ? ? 1(m n ? 0) 是否表示双曲线? (2) m n

?m ? 0 ? ?n ? 0 ?m ? 0 ? ?n ? 0

表示焦点在

x 轴上的双曲线;

表示焦点在 y轴上的双曲线。

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,求 m的范围。 2 ? m m ?1
答案:m

? ?1或m ? ?2 。

变式: 方程 满足什么条件时表示椭圆? 表示双曲线?表示圆?
y2 + = 1 m n
x2

例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线 的标准方程. 解: 根据双曲线的焦点在 x 轴上,设它的标准方程为:

x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 2 a b ∵ 2a = 6, 2c=10 ∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52 - 32 =16

2

2

x2 y2 ? ?1 所以所求双曲线的标准方程为: 9 16
小结:求标准方程要做到先定型,后定量。

例题分析
例1. 已知 F1 (?5, 0), F2 (5, 0) , 动点 P 到 F 1、F2 的 距离之差的绝对值为6,求点 P 的轨迹方程. 所求轨迹的方程为:

x y ? ?1 9 16
x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) 9 16

2

2

1.若 PF1 ? PF2 ? 6呢?

2.若 PF1 ? PF2 ? 10呢?

两条射线 轨迹不存在

3.若 PF1 ? PF2 ? 12呢?

例2:求适合下列条件的双曲线的标准方程: a ? 2 5, 经过点A(2, ?5), 焦点在y轴上;
( 2) ? 焦点在 y轴上 . 解:

? 可设所求双曲线方程为
?a ? 2 5 由题意得:? ? 25 4 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

解得 b 2 ? 16

y2 x2 ? 所求双曲线方程为 ? ?1 20 16

x y 练习1.双曲线的标准方程为: ? ?1 9 16
焦点为F1 , F2。 如果双曲线上有一点P,

2

2

(1)若|PF1|=10, 则|PF2|=_______ 4或16
P

| |PF1| - |PF2| | = 6
10 (2)若|PF1|=4, 则|PF2|=_______

y2 ? 练习2、如果方程 m-1+2-m = 1 表示双曲线, x2
则m的范围是什么?

? 解:(m-1)(2-m)<0, ∴m>2或m<1 y2 ? 练习3、如果方程 表示椭圆, 1 + = m-1 2-m x2
则m的范围是什么?

1<m<2 且m ?

3 2

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