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数学奥林匹克高中训练题(41)

时间:2014-09-12


数学奥林匹克高中训练题(41) 第一试 一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
2 1.(训练题41)函数 y ? lg x ? 2 x ? a 的值域为 R,那么 a 的取值范围是 (D)

?

?

(A) ? ??, ?1?

(B)

? ??, ?1?

(C)

? ?1, ???

(D)

??1, ???
2.(训练题41) 已知 sin 2? ? m,cos2? ? n, m, n ? ?0,1? ,则 tan ? ? ? 案 ?1?

? ?

??

? 的四个答 4?

?? m ? n m ?1? n n 1? m ; ? 2? ; ? 3? ; ? 4? 中,正确的个数是 (D) 1? m ? n m ?1? n 1? m n

(A)0 (B)2 (C)3 (D)4 3.(训练题41) 下列4个命题: (1)有两个面互相平行,其余4个面都是全等的等腰梯 形的六面体是正四棱台; (2) 底面是正三角形, 其余各面都是等腰三角形的棱锥是正 三棱锥; (3)各侧面都是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥; (4)底面是正三角形,相 邻两侧面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中假命题的个数是(D) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 4 . ( 训 练 题 41) 对 于 互 不 相 等 的 实 数 a, b, c , 方 程

a2 ? b2 ? abx ? b2 ? c2 ? bcx ? c2 ? a2 ? cax 的解为(C)
(A) x ? ?2 (B) x ? ?1 (C) 仅当 a ? b ? c ? 0 时,方程有解

x ?1
(D) 当 a ? b ? c ? 0 时, x ? ?2 ;当 a ? b ? c ? 0 时,x 为全体实数 5.(训练题41)对 ? , ? ??0, 2? ? ,使 ? (D) (A) p ? 2 且 q ? 2 (C) 0 ? p ? q ? 4
2 2

?sin ? ? sin ? ? p 的 p, q 应满足的充要条件是 cos ? ? cos ? ? q ?

(B) 0 ? p ?
2 2

2 且0 ? q ? 2

(D) p ? q ? 4

6.(训练题41) 空间中有100个点,将每两点间所连线段的中点都染上红色,则红点 的个数最少有(A)个(重合的红点只统计一次) (A)197 (B)198 (C)199 (D)200 二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
1

1



(







41)


2











? A ? ?? , ?

?x

y 3 ? y ? x?2

1 ? ? , a ?

x ?? ?, ? ??
5 . 2

y ,? ? R ?

?, B

?

x1

?y ?

? a1

,若 A ? B ? ? ,则 a 的取值是 ?1 , ? 4 ,

2.(训练题)光线从点 A ? ?3, 4? 出发,经过 x 轴的 C 点反射到 y 轴的 D 点,再反设经 过点 B ? ?2,6? ,则直线 CD 的方程为 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 . 3 . ( 训练题 41) 如图,在单位正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点 E 在棱 AA 1 上,且

AE ?

3? 6 ,过 E, C, D1 作平面 ? ,则 ? 与面 DCC1D 1 的夹角度数为600. 3
D1 C1 A1 E D B B1 C

1 ? s ?i ?n i 4 . ( 训 练 题 41) 复 数 z ? 1 ? s ?i ?n i

? c o s 化 成 三 角 形 式 是 ? c o s

A

?? ? ?? ? cos ? ? ? ? ? i sin ? ? ? ? . ?2 ? ?2 ?
5.(训练题41)数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 loga ? Sn ? a ? ? n ?1? a ? 0 , a ? 1? ,则

lim

1 ? an 的值为 n ?? 1 ? a n

? 1? a ? ?1? 0? a ? 1 lim n ?? . n ?? 1 ? a ? 1 a ? 1 ? ? ? n ?
1999 中,能被1999整除的有 1998 个. , C1999

1 2 6.(训练题41)在组合数 C1999 , C1999 ,

三、解答题(本题满分60分,每小题20分) 1. (训练题41)(本题满分20分)已知地面上有一个篮球,在斜平行光线的照射下,其阴 影为一个椭圆. 试判断:篮球与地面的接触点是否为该椭圆的焦点,给出证明. 2. (训练题41)(本题满分20分)1998年,某地在抗洪抢险中接到预报,24小时后有一个
2

超历史最高水位的洪峰到达, 为保万无一失, 指挥部决定在24小时内筑起一道堤坝作 为第二道防线. 经计算,其工程量除动用现有军民连续奋战外,还需要20台大型翻斗 车同时作业24小时. 但是,除了第一辆车可以立即调入工作外,其余车辆需从各单位 紧急抽调,每隔20分钟有一辆车到达投入作业,已知指挥部最多能组织到25辆车. 问 24小时内能否完成第二道防线工程?说明理由. 3. (训练题)(本题满分20分)求证:方程 ? x ? 1?
log 3 2

? x 的正实数解存在且唯一.

第二试 (中等数学.1999.6) 一、(训练题41)(本题满分50分)在锐角三角形△ABC 中,R 为外接圆半径. (1)求证: AB ? BC ? CA ? 4 R ; (2)当去掉锐角三角形的条件时,讨论命题的真假. 二、(训练题41)(本题满分50分)空间中有不共面的 n 个点 ? n ? 3? . 求证:存在无穷个平面,恰好通过其中的两个点. 三、(训练题41)(本题满分50分)任意连结正六边形的6个顶点组成一条闭折线. 求证:折线当中必有两条边是平行的.

3


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