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--空间图形的基本关系与公理ppt_图文

时间:2013-04-16

第十一章 立体几何初步

第二节 空间图形的基本关系与公理

课前自主学案

知识梳理
1.平面? 平面是空间重要的元素,它是一个抽象的概念.? 平面的两个特征:无限延展 .? 平面的画法:通常画 平的(没有厚度) 来表示平面.平面 的表示:用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、 平面β;或用表示的?平行四边形 两个相对顶点的字母表示, 如平面AC. 2.平面的基本性质(公理及其推论)? 公理1.若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上 所有 的点都在这个平面内.? 用符号表示为:A∈l,B∈l,A∈α,B∈α?l α (如图(1)). ??

公理2: 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且 只有一条过该点的公共直线.用符号表示为:P∈α,且P∈β, 则α∩β=l,且P∈l (如图(2)). ? 公理3:过 不在同一直线上 的三点,有且只有一个平面(即 可以确定一个平面).? 用符号表示为:点A、B、C不共线? ?确定平面ABC(如图(3)).

推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个 平面.? 推论2:经过两条相交直线 ,有且只有一个平面.? 推论3:经过两条平行直线 ,有且只有一个平面.? 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 . 用符号表示为:a∥b,b∥c? a∥c? ? 3.空间图形的基本关系? (1)空间直线与直线的位置关系:相交,平行,异面 .? 相交直线——有且仅有一个公共点;平行直线——在同

一平面内,没有公共点;?
异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点.? 相交直线和平行直线也称为共面直线.?

(2)空间直线与平面位置关系:直线在平面内,直线与平面相交, 直线与平面平行.? 直线在平面内——无数个公共点(如图(1));直线和 平面相交——有且只有一个公共点(如图(2));直线 和平面平行——没有公共点(如图(3)).符号分别可表 示为a?α,a∩α=A,a∥α.? ?

(1)

(2)

(3)?

(3)空间平面与平面位置关系:平面与平面平行, 平面与平面相交. ? 两平面平行——没有公共点;? 两平面相交——有一条公共直线.? 符号分别可表示为α∥β,α∩β=l.?

4.空间等角定理? 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 相等或互补.

5.异面直线所成的角? (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O,如下

图所示,作直线a′∥a,b′∥b,把
角)

a′与b′所成的锐角(或直

? (2)异面直线所成的角的范围是:??(0, 2 ]

叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).?

.

基础自测
1. 若A表示点,a表示直线,α、β表示平面,则下列各项中,表 述错误的是( )? A.a ? ?α,A∈a? A∈α? ? ? B.a?α,A∈a? A?α? ? ? C.A∈α,A∈β,α∩β=a?A∈a? ? D.A∈a,A?α?a?α ? ??

解析:由公理一知.?答案:B?

2.空间四点A、B、C、D共面但不共线,则下列结论中成立的是 ( ) ?A?.四点中必有三点共线? ?B?.四点中必有三点不共线? ?C?.AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条直线平行? ?D?.直线AB与CD必相交

?解析:选项B。是一个存在性命题,反设“四点中任意三点 共线”,则四点共线与已知矛盾.?答案:B。

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,表面的对角线与AD1成60°角的 共有 8 条. 4.设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:? ①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;? ②若a、b是异面直线,b、c是异面直线,则a、c也是异面直线; ③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;? ④若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.? 其中真命题的个数是 0 ?.

课堂互动探究

空间图形的基本关系的判断 判断下列命题的真假: ①如果平面α与平面β相交,那么它们只有有限个公共点;? ②过一条直线的平面有无数多个;? ③两个平面的交线可能是一条线段;? ④两个相交平面有不在同一条直线上的三个公共点;? ⑤经过空间任意三点有且仅有一个平面;? ⑥如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面就重 合为一个平面.? 其中真命题序号是(把你认为正确的命题序号都填上).? 解析:根据公理可知,②和⑥为真命题,其余皆为假命题.? 答案:②⑥?

变式探究
1.已知E,F,G,H是空间中的四个点,设命题M:点E,F,G,H不共 面;命题N:直线EF和GH不相交. 那么( A )? ?A?.M是N的充分不必要条件? ?B?.M是N的必要不充分条件? ?C?.M是N的充分必要条件? ?D?.M不是N的充分条件,也不是N的必要条件 解析:若E,F,G,H不共面,显然有直线EF和GH不相交(否则,若 EF与GH相交,则EF,GH可确定一个平面,因而E,F,G,H共面,与已 知条件矛盾).反之,若EF,GH不相交,则EF,GH可能异面也可能 平行,当EF∥GH时,也有E,F,G,H共面.所以M是N的充分不必要 条件.? 答案:?A?

与空间四边形有关的问题 如右图所示,在空间四边形ABCD中,E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行 四边形.? 分析:由三角形的边的中点联想到中位线 平行底边的性质.再考虑到证明平行四边形 的方法——四边形中有一组对边平行且相 等、两组对边平行等方法.?

证明:连结BD,因为EH是△ABD的中位线,?
1 所以EH∥BD,且EH= BD.? 2 1 同理,FG∥BD.且FG= BD.? 2

因为EH∥FG且EH=FG,?

所以四边形EFGH为平行四边形.?
点评:空间四边形是立体几何中重要的一类模型.要注意 它的图形的画法以及图形的特征如对角线的概念等.若补 齐两条对角线,再将其看成封闭的空间图形,实际上, 已经变成三棱锥了.

变式探究
2.如右图所示,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、 BC、CD、DA的中点,试判断分别满足下列条件时四边形 EFGH的形状: (1)AC=BD;?(2)AC⊥BD;?(3)AC=BD且AC⊥BD. 答案: (1)菱形;

(2)矩形;
(3)正方形

点、线、面的有关问题 如右图所示,在空间四边形ABCD中,E、H分别 是AB、AD中点,F、G分别在BC、CD上,且

(1)判断四边形EFGH的形状;?
(2)求证:EF和GH的交点在直线AC上.?

分析:(1)由题设易证EH∥FG,且EH≠FG,故四边形EFGH 为梯形;?(2)欲证三线共点,可先证其中两条直线有交点, 再证交点也在第三条直线上.?

解析:(1)∵E,H分别是边AB,AD的中点? 1 ∴EH∥BD,且EH= BD,? CF CG 2 2 = = 又∵ CB CD 3 2 ∴FG∥BD且FG= BD,?
3

∴四边形EFGH为梯形.?

(2)证明:由(1)知,四边形EFGH为梯形,从而两腰 EF,GH相交,设交点为P,?

? ∵P∈直线EF,直线EF?平面ABC,∴P∈平面ABC? ? P∈直线GH,直线GH?平面ACD,∴P∈平面ACD? ∴P是平面ACD与平面ABC的公共点, 又平面ACD∩平面ABC=直线AC,∴P∈直线AC.? ∴直线EF,GH,AC交于一点.?
点评:欲证明若干点共线,先证明这些点都是某两个平面的 公共点,再运用公理2,得出这些点都在这两个平面的交线 上的结论.?

变式探究
3.(2009年湖南卷)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB 共面也与CC1共面的棱的条数为( )?

?A.3?
解析:

B.4

?C.5

?D.6

如右图,用列举法知符合要求的棱为:BC、 CD、C1D1、BB1、AA1,故选C?.? 答案:C

求异面直线所成角的大小 如右图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1

中,E,F分别是棱A1B1, B1C1 的中点.求EF与
AD1所成角的大小.? 分析:平移线段EF,也就是寻找一条EF的平行线

且恰与AD1相交,即可转化为两条相交直线所成
的平面角来求解. 解析:如右图所示,? 分别连结A1C1,AC.? ∵E,F分别是A1B1,B1C1的中 点.∴EF∥A1C1? // // 又∵在正方体AC1中,A1A = B1B = C1C,

∴A1C1∥AC.?∴∠D1AC的大小即为所求.? 连结CD1,△ACD1为正三角形. ∴∠D1AC=60°.? 故EF与AD1所成的角为60°.? 点评:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法.?

变式探究
4. 在棱长都相等的四面体A-BCD中(如右图), E,F分别为棱AD,BC的中点.连结AF,CE.求 异面直线AF,CE所成角的余弦值.

4.解析:连结DF,取DF的中点G,连结EG,EG∥AF.? ∴∠GEC是异面直线AF,CE所成的角.? 设四面体的棱长为a,连结CG.
3 则AF= 2
2

a,EG=

3 4

a.?

? 3 ? ? 1 ?2 7 CG= FG 2 +FC2 = ? a ? +? a ? = a. 在Rt△FCG中, ? 4 ? ?2 ? 4 ? ?

在△ EGC中,CE=

3 a ,EG= 2
2

7 3 a ,CG= a 4 4
2 2



3 2 3 2 7 2 a + a - a EC +EG -CG 4 16 16 = 2 . = 由余弦定理,得 cos ?GEC= 2EC ? EG 3 3 3 2? a? a 2 4

2 即异面直线AF,CE所成角的余弦值是 3

温馨提示

1.立体几何中的公理、定理及推论都有三种表达形式:文字 语言、图形语言、符号语言.注意三种语言准确表达与互译. ? 空间图形都是由点、线、面三种基本元素组成.对空间图形 要会画图和识图.图形对于分析空间元素的位置关系,展开 想象,探索解题思路是至关重要的.要注意点、线、面的符 号表示,并能正确的用集合语言描述它们之间的位置关系. 一般说来,点用大写字母表示,如点A,点P等;直线(或 线段)用小写字母或直线上两个点来表示,如直线l,直线 ? AB等.点、线、面间关系表示如下:点A∈直线l,点A?直 ? 线l,点A∈平面α,点A?平面α,直线l?平面α,直线l?平 ? ? 面α,相交关系用“∩”表示并指明交点(或交线),垂直 关系用“⊥”表示,平行关系用“∥”表示.?

2.公理的作用:公理1的作用是判断直线是否在某个平面内; 公理2的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线 共点”的理论依据;公理3及其3个推论给出了确定一个平 面或判断“直线共面”的方法.公理4是对初中平行线的传 递性在空间中的推广.(注:在将初中的一些平面几何的结 论推广到立体几何时,并非所有命题都成立,读者应注意 命题成立的条件.)空间等角定理是转化和求解空间角,如

异面直线所成角、线面角、二面角的理论依据,要注意它
的结论是相等或互补.?

3.正确理解异面直线的定义:异面直线不同在任何一个平 面内,没有公共点.不能错误地理解为不在某一个平面内的 两条直线就是异面直线.?

4.异面直线所成角的求法?
求异面直线所成角的方法主要有:①平移线段法:中点平 移与顶点平移;②补形法:把空间图形补成熟悉的或完整 的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,以便易于 发现两条异面直线间的关系)转化为相交两直线的夹角,进 而通过解三角形来实现.?

5.两直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况,而后者 常被人忽略.线面垂直是线面相交的一种特殊情形,面面垂 直是面面相交的一种特殊情形.而这两类垂直常被误以为是 线面(或面面)位置关系中的一种.

题型展示台

(2009年全国卷Ⅱ)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与

CD1所形成角的余弦值为(
10 A. 10 1 B. 5


3 10 C. 10 3 D. 5

解析:本题考查异面直线夹角求法: ①利用平移,CD1∥BA1,因此求△EBA1中∠A1BE即可,易知 EB= 2 , A1E=1,A1B= 5 ,故由余弦定理求cos∠A1BE= 3 10 ;
10

②向量法.?

答案:C

如下图所示,已知几何体的三视图(单位:cm).

(1)画出这个几何体的直观图(不要求 写画法);? (2)设异面直线A1Q、PD所成角为θ, 求cosθ.

解析: (1)这个几何体的直观图如右图所示.

(2)这个几何体可看成是由正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体.由PQ//CD,且PQ=CD,可知PD//QC,故 ∠A1QC为异面直线A1Q、PD所成的角(或其补角).由题 设知A1Q2=A1B12+B1Q2=22+ 2 2=6,A1C= 3×2=2 3 ,
取BC中点E,则QE⊥BC,且QE=3, QC2=QE2+EC2=32+12=10.? 由余弦定理,得cosθ=cos∠A1QC=
A1Q2 +QC2 -A1C2 6 ? 10 ? 12 15 = = 2A1Q ? QC 15 2 6 10

题型训练
1.如右图,ABCD为正方形,∠PAD=∠PAB =90°,且 PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点,求异 面直线EG与BD所成的角的余弦值. 解析:取BC的中点M,连结GM、AM、 EM,则GM//BD, ∴∠EGM(或其补角)就是异面直线 EG与BD所成的角.
1 在Rt?MAE中,EM= EA +AM = 6, 同理EG= 6,又GM= BD= 2, 2 2 2 2 EG +GM -ME 3 ? 在Rt?MGE中, ?EGM= cos = . 2EG ? GM 6
2 2

3 故异面直线EG与BD所成角的余弦值为 6

2.如右图所示,已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为 2 ,底面边 长为 3,E是SA的中点,则异面直线BE与SC所成角的大小为



)?

?A.90°? ?B.60°???C.45° ? D.30°?

解析:平移SC到S′B,运用余弦定理可算得 BE=S′E=S′B= 。2 答案:?B






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