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等比数列教案

时间:2011-09-09


§2.4 等比数列
授课类型:新授课 (第 1 课时) ●教学目标 知识与技能:掌握等比数列的定义;理解等比数列的通项公式及推导; 过程与方法:通过实例,理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质,能 在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力;体会等比数列与指数函数 的关系。 情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并 应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比数列的定义及通项公式 ●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 复习:等差数列的定义: an - a n ?1 =d , (n≥2,n∈N ) 等差数列是一类特殊的数列,在现实生活中,除了等差数列,我们还会遇到下面一类特殊的 数列。 课本 P41 页的 4 个例子: ①1,2,4,8,16,? ②1,
?

1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16
2
3

③1,20, 20 , 20 , 20 ,?
2 3 4 ④ 10000 ?1.0198 , 10000 ?1.0198 , 10000 ?1.0198 , 10000 ?1.0198 ,

4

10000 ?1.01985 ,??
观察:请同学们仔细观察一下,看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征? 共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课 1.等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个 常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表 示(q≠0) ,即:

an =q(q≠0) a n ?1

1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) { an }成等比数列 ?

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) an

2? 隐含:任一项 an ? 0且q ? 0 “ an ≠0”是数列{ an }成等比数列的必要非充分条件. 3? q= 1 时,{an}为常数。 2.等比数列的通项公式 1: an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) 由等比数列的定义,有:

a2 ? a1q ;

a3 ? a2 q ? (a1q)q ? a1q 2 ;
a4 ? a3 q ? (a1q 2 )q ? a1q 3 ;
? ? ? ? ? ? ?

an ? an?1q ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0)

王新敞
奎屯

新疆

3.等比数列的通项公式 2: an ? am ? q m?1 (a1 ? q ? 0) 4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 探究:课本 P56 页的探究活动——等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系: 等比数列 { an } 的通项公式 an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) ,它的图象是分布在曲线 y ? (q>0)上的一些孤立的点。 当 a1 ? 0 ,q >1 时,等比数列{ an }是递增数列; 当 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 ,等比数列{ an }是递增数列; 当 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 时,等比数列{ an }是递减数列; 当 a1 ? 0 ,q >1 时,等比数列{ an }是递减数列; 当 q ? 0 时,等比数列{ an }是摆动数列;当 q ? 1 时,等比数列{ an }是常数列。 [范例讲解] 课本 P57 例 1、例 2、P58 例 3 Ⅲ.课堂练习 课本 P59 练习 1、2 [补充练习] 解略。

a1 x q q

2.(1) 一个等比数列的第 9 项是

4 1 ,公比是- ,求它的第 1 项(答案: a1 =2916) 9 3

(2) 一个等比数列的第 2 项是 10, 第 3 项是 20, 求它的第 1 项与第 4 项 (答案:a1 =

a2 =5, q

a4 = a3 q=40)
Ⅳ.课时小结 本节学习内容:等比数列的概念和等比数列的通项公式. Ⅴ.课后作业 课本 P60 习题 A 组 1、2 题 ●板书设计 ●授后记

§2.4 等比数列
授课类型:新授课 (第2课时) ●教学目标 知识与技能:灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;熟悉等比数列 的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 过程与方法:通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。 情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并 应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比中项的理解与应用 ●教学难点 灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠ 0) ,即:

an =q(q≠0) a n ?1
n?1

2.等比数列的通项公式: an ? a1 ? q 3. { an }成等比数列 ? 列的必要非充分条件

(a1 ? q ? 0) , an ? am ? q n?m (am ? q ? 0)

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) “ an ≠0”是数列{ an }成等比数 an

4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 Ⅱ.讲授新课

1.等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=± ab (a,b 同号) 如 果 在 a 与 b 中 间 插 入 一 个 数 G , 使 a,G , b 成 等 比 数 列 , 则

G b ? ? G 2 ? ab ? G ? ? ab , a G
反之, 若 G =ab,则 ≠0) [范例讲解] 课本 P58 例 4 证明: 设数列 ?an ? 的首项是 a1 , 公比为 q1 ; ?bn ? 的首项为 b1 , 公比为 q2 , 那么数列 ?an ? bn ?的第 n 项与第 n+1 项分别为:
2

G b 2 b ? ,即 a,G,b 成等比数列。∴a,G,b 成等比数列 ? G =ab(a· a G

a1 ? q1

n?1

? b1 ? q2 与a1 ? q1 ? b1 ? q2 即为a1b1 (q1q2 ) n?1 与a1b1 (q1q2 ) n
n n

n?1

an?1 ? bn?1 a1b1 (q1q2 ) n ? ? ? q1q2 . an ? bn a1b1 (q1q2 ) n?1
它是一个与 n 无关的常数,所以 ?an ? bn ? 是一个以 q1q2 为公比的等比数列 拓展探究: 对于例 4 中的等比数列{ an }与{ bn },数列{

an }也一定是等比数列吗? bn an a ,则 cn ?1 ? n ?1 bn bn ?1

探究:设数列{ an }与{ bn }的公比分别为 q1和q2 ,令 cn ?

an ?1 cn ?1 bn ?1 a b a q ? ? ? ( n ?1 )?( n ?1 ) ? 1 ,所以,数列{ n }也一定是等比数列。 an cn an bn q2 bn bn
课本 P59 的练习 4
2 2 已知数列{ an }是等比数列, (1) a5 ? a3a7 是否成立? a5 ? a1a9 成立吗?为什么?

(2) an ? an?1an?1 (n ? 1) 是否成立?你据此能得到什么结论?
2 2 an ? an?k an?k (n ? k ? 0) 是否成立?你又能得到什么结

论? 结论:2.等比数列的性质:若 m+n=p+k,则 am an ? a p ak 在等比数列中,m+n=p+q, am , an , a p , ak 有什么关系呢?

由定义得: am ? a1q m?1

an ? a1q n?1
2

a p ? a1q p?1

ak ? a1 ? q k ?1

am ? an ? a1 q m?n?2
2

, a p ? ak ? a1 q p ? k ?2 则 am an ? a p ak

Ⅲ.课堂练习 课本 P59-60 的练习 3、5 Ⅳ.课时小结 1、若 m+n=p+q, am ? an ? a p ? aq 2、若 ?an ?, ?bn ?是项数相同的等比数列,则 ?an ? bn ? 、{ Ⅴ.课后作业 课本 P60 习题 2.4A 组的 3、5 题 ●板书设计 ●授后记

an }也是等比数列 bn


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