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2012年全国高中数学联赛四川赛区预赛试题及答案

时间:2012-10-23


2012 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、设集合 S ? ? x | x ? 5 x ? 6 ? 0 ? , T ? ? x | x ? 2 |? 3? ,则 S ? T =(
2



A、 { x | ? 5 ? x ? ? 1}

B、 { x | ? 5 ? x ? 5} C、 { x | ? 1 ? x ? 1}

D 、 { x | 1 ? x ? 5} )
?
2

2、正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中 B C 1 与截面 B B1 D1 D 所成的角是( A、
?
6
2

B、

?
4

C、

?
3

D、

3、已知 f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 , g ( x ) ? kx ? 1 ,则“ | k |? 2 ”是“ f ( x ) ? g ( x ) 在 R 上恒 成立”的( )

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形 ? 1 的面积为 S 1 ,作 ? 1 的内切圆,再作内切圆的内接正三角形,设为 ? 2 , 面积为 S 2 ,如此下去作一系列的正三角形 ? 3 , ? 4 , ? ,其面积相应为 S 3 , S 4 , ? ,设 S 1 ? 1 ,
T n ? S 1 ? S 2 ? ? ? S n ,则 lim T n =(
n ? ??

) C、
3 2

A 、

6 5
2

B 、

4 3

D 、2
| MO | | MF |

5、设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,顶点为 O , M 是抛物线上的动点,则 值为( A 、 )
3 3

的最大

B 、

2 3 3

C、

4 3

D 、 3

6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入半径为 r 的 一个实心球,此时球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为( ) A、 r B、 2 r C、 3 12 r D、 3 15 r

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、如图,正方形 A B C D 的边长为 3, E 为 D C 的 中点, A E 与 B D 相交于 F ,则 F D ? D E 的值是 8、 ( x ? x ?
2

A F

D E

???? ????

. . (用具体数字
B

1 x

) 的展开式中的常数项是

6

C

作答)
第 1 页 共 6 页

9、设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,满足 S n ?

( a n ? 1) 4

2

,则 S 2 0 的值为 . .



10、不超过 2012 的只有三个正因数的正整数个数为

11、已知锐角 A , B 满足 tan( A ? B ) ? 2 tan A ,则 tan B 的最大值是

12、从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数 a b cd e ,满足条件 “ a ? b ? c ? d ? e ”的概率是 .

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、设函数 f ( x ) ? sin x ? (I)求函数 f ( x ) 在 [0,
3 cos x ? 1 ,

?
2

] 上的最大值与最小值; b cos c a

(II)若实数 a , b , c 使得 af ( x ) ? bf ( x ? c ) ? 1 对任意 x ? R 恒成立,求

的值.

14、已知 a , b , c ? R ,满足 a b c ( a ? b ? c ) ? 1 , (I)求 S ? ( a ? c )( b ? c ) 的最小值; (II)当 S 取最小值时,求 c 的最大值.

?

第 2 页 共 6 页

15、直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1 的左支交于 A 、 B 两点,直线 l 经过点 ( ? 2, 0) 和 A B
2 2

的中点,求直线 l 在 y 轴的截距 b 的取值范围.

16、设函数 f n ( x ) ? x (1 ? x ) 在 [ ,1] 上的最大值为 a n ( n ? 1, 2, 3, ? ) .
n 2

1

2

(I)求数列 { a n } 的通项公式; (II)求证:对任何正整数 n ( n ? 2) ,都有 a n ?
1 (n ? 2)
2

成立;
7 16

(III)设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,求证:对任意正整数 n ,都有 S n ?

成立.

第 3 页 共 6 页

2012 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)参考解答
一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、 ?
3 2

6、D

8、 ? 5

9、0

10、14

11、

2 4

12、

2 15

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) ? 13、解: (I)由条件知 f ( x ) ? 2 sin ( x ? ) ? 1 ,
3

(5 分)

由0 ? x ? 所以 x ? 当x ?
?
6

?
2

知,

?
3

? x?

?
3

?

5? 6

,于是
1 2

1 2

? sin ( x ?

?
3

)?1

?
2

时, f ( x ) 有最小值 2 ?

?1 ? 2 ;

时, f ( x ) 有最大值 2 ? 1 ? 1 ? 3 .

(10 分)

(II)由条件可知 ?
2 a sin ( x ? 3

) ? 2 b sin ( x ?

?
3

? c ) ? a ? b ? 1 对任意的 x ? R 恒成立,

∴ 2 a sin ( x ?

?
3

) ? 2 b sin ( x ?

?
3

) ? co s c ? 2 b co s( x ?

?
3

) ? sin c ? ( a ? b ? 1) ? 0

∴ 2 ( a ? b co s c ) ? sin ( x ?
? a ? b co s c ? 0 ? ∴ ? b sin c ? 0 , ?a ? b ? 1 ? 0 ?

?
3

) ? 2 b sin c ? co s( x ?

?
3

) ? ( a ? b ? 1) ? 0

(15 分)

由 b sin c ? 0 知 b ? 0 或 sin c ? 0 。 若 b ? 0 时,则由 a ? b cos c ? 0 知 a ? 0 ,这与 a ? b ? 1 ? 0 矛盾! 若 sin c ? 0 ,则 cos c ? 1 (舍去) cos c ? ? 1 , , 解得 a ? b ?
1 2 , c ? ( 2 k ? 1)? ,所以, b cos c a 1 ab ? ?1.

(20 分) (5 分)

2 14、解: (I)因为 ( a ? c )( b ? c ) ? ab ? ac ? bc ? c ? a b ? ( a ? b ? c ) c ? a b ?

? 2 ab ?

1 ab

? 2 ,等号成立的条件是 a b ? 1 ,

当 a ? b ? 1, c ?

2 ? 1 时, S 可取最小值 2.

(10 分)

(II)当 S 取最小值时, a b ? 1 ,从而 c ( a ? b ? c ) ? 1 , 即 c ? ( a ? b ) c ? 1 ? 0 ,令 t ? a ? b ,则 t ? 2 a b ? 2
2

(15 分)

第 4 页 共 6 页

从而 c ?

?t ?

t ?4
2

或者 c ?

?t ?

t ?4
2

? 0 (舍去)

2

2
? 2 t ?4 ?t
2

故c?

?t ?

t ?4
2

在 t ? [ 2, ? ? ) 单减,

2

所以在 t ? 2 时, c 有最大值 2 ? 1 . 15、解:将直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1 方程联立得 ?
2 2

(20 分)
? y ? kx ? 1 ?x ? y ? 1
2 2

化简得 ( k ? 1) x ? 2 kx ? 2 ? 0 ①
2 2

(5 分)

? ? ? ? 4 k 2 ? 8( k 2 ? 1) ? 0 ? 2k ? 由题设知方程①有两负根,因此 ? x1 ? x 2 ? ? 2 ? 0 ,解得 1 ? k ? k ?1 ? 2 ? ?0 ? x1 ? x 2 ? 2 k ?1 ?

2 . (10 分)

设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则有 x1 ? x 2 ? ?
y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 ? ? 2k
2 2

2k k ?1
2



k ?1
1
2

?2? ?

2 k ?1
2

故 A B 的中点为 ( ?

k k ?1
2

,?

所以直线 l 方程为 y ? 当1 ? k ? 所以 b ?
2

k ?1 ?1

), ( x ? 2 ) ,其在 y 轴的截距 b ? 1 4 ) ?
2

?2 2k ? k ? 2
2

2k ? k ? 2
2

, (15 分)

2 时, 2 k ? k ? 2 ? 2 ( k ?
?2 2k ? k ? 2
2

17 8

,其取值范围是 ( ? 1, 2 ?
2 ) ? (2, ? ? ) .
n ?1

2)

的取值范围是 ( ? ? , ? 2 ?
n ?1 2 n

(20 分)

16、解: (I) f n ( x ) ? nx
'

(1 ? x ) ? 2 x (1 ? x ) ? x

(1 ? x )[ n (1 ? x ) ? 2 x ] ,

' 当 x ? [ ,1] 时,由 f n ( x ) ? 0 知 x ? 1 或者 x ?

1

n n?2



(5 分)

2

1 1 1 ,1] ,又 f 1 ( ) ? , f n (1) ? 0 ,故 a 1 ? ; n?2 3 2 2 8 8 n 1 1 1 1 1 ? ? [ ,1] ,又 f 2 ( ) ? 当 n ? 2 时, , f n (1) ? 0 ,故 a 2 ? ; n?2 2 2 2 16 16 n 1 ? [ ,1] , 当 n ? 3 时, n?2 2

当 n ? 1 时,

n

?

1

?[

1

第 5 页 共 6 页

∵x?[ ,

1

n

2 n?2

) 时, f n ( x ) ? 0 ; x ? (
'

n n?2

,1) 时, f n ( x ) ? 0 ;
'

∴ fn ( x) 在 x ?

n n?2

处取得最大值,即 a n ? (

n n?2

) (

n

2 n?2

) ?
2

4n

n n?2

(n ? 2)

?1 ? , ( n ? 1) ?8 综上所述, a n ? ? . n 4n ? , (n ? 2) ? (n ? 2) n?2 ?

(10 分)

(II)当 n ? 2 时,欲证
2

4n

n n?2

(n ? 2)

?

1 (n ? 2)
2

,只需证明 (1 ?

2 n

) ? 4
n

∵ (1 ?

2 1 2 2 2 n n 0 1 2 n ) ? Cn ? Cn ?( ) ? Cn ?( ) ? ? ? Cn ?( ) n n n n n ( n ? 1) 4 ? 1? 2 ? ? 2 ? 1? 2 ?1 ? 4 2 n

所以,当 n ? 2 时,都有 a n ?

1 (n ? 2)
2

成立.

(15 分)

(III)当 n ? 1, 2 时,结论显然成立; 当 n ? 3 时,由(II)知 S n ?
?
1 8 ? 1 16 ? a3 ? a4 ? ? ? an

1 8

?

1 16

?

1 5
2

?

1 6
2

?? ?
1 5

1 (n ? 2)
1 6
2

? ?

1 8 1 8

? ?

1 16 1 16

?( ? 7 16

1

? ?

1 5 7

)?(

?

)?? ? (

1 n ?1

?

1 n?2

)

4 1 4

. (20 分)

16

所以,对任意正整数 n ,都有 S n ?

成立.

第 6 页 共 6 页


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