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江苏省连云港市高三数学高考模拟试题(七)苏教版

时间:2010-05-01


江苏连云港市高考模拟数学试题(七)
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.) 1.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 3i (i 是虚数单位) ,则 z =__________. 2.已知命题 P :“ ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0 ”,请写出命题 P 的否定:
2

3.已知 sin ? ?

? 1 ? ?? ,其中 ? ? ? 0, ? ,则 cos( ? ? ) ? 6 2 ? 2?



4.若方程 ln x ? 6 ? 2 x 的解为 x0 ,则满足 k ? x0 的最大整数 k ? 5.已知函数 f ( x) ? x ? e x ,则 f '(0) ? 6.函数 y ? 1 ? sin ( x ?
2



. . .

?
6

) 的最小正周期是

7.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? a12 ? a17 ? a19 ? 8 ,则 S25 的值为 8 . 已 知 圆 ?x ? 2? ? y 2 ? 1 经 过 椭 圆
2

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

? a ? b ? 0? 的 一 个 顶 点 和 一 个 焦 点 , 则 此 椭 圆 的 离 心 率

e=

.

9.设直线 l1 : x ? 2 y ? 2 ? 0 的倾斜角为 ?1 ,直线 l2 : mx ? y ? 4 ? 0 的倾斜角为 ? 2 ,且 值为 .

?2 ? ?1 ? 90? ,则 m 的

10.已知命题 P: “对 ?x ∈R, ? m∈R,使 4x ? 2x?1 ? m ? 0 成立” ,若命题 ? P 是假命题,则实数 m 的取值 范围是 .

11.已知 x、 y 的取值如下表所示: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7

? 从散点图分析,y 与 x 线性相关,且 y ? 0.95x ? a ,则 a=_______________;
12.已知点 P 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上, PQ 中点为 M ( x? , y? ) ,且 y? ? x? ? 2 ,则 取值范围为 .

y? 的 x?

13 . 已 知 平 面上 的 向 量 PA 、 PB 满 足 PA ? PB ? 4 , AB ? 2 , 设 向 量 PC ? 2 PA? PB 则 PC 的 最 小 值 , 是 .

??? ?

??? ?

??? 2 ?

??? 2 ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

x ( 14 . 如 果 函 数 f ( x ) ? a ( ? 3 ? 1) a ? 0 且 a ? 1) 在 区 间 ?0 ? ? 上 是 增 函 数 , 那 么 实 数 ,∞ a x a2

a 的取值范围




1

14. 如右图所示, 在单位正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的面对角线 A1 B 上存在一点 P 使得 AP ? D1 P 最短, AP ? D1 P 则 的最小值为 .

二、解答题(本大题共 6 小题,共 85 分) 16. (本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 是菱形, PA ? 平面 ABCD , Q 为 PA 的中点. 求证: ⑴ PC ∥平面 QBD ; ⑵ 平面 QBD ? 平面 PAC . P Q A O B C D

17. (本小题满分 12 分)已知 O 为原点,向量 OA ? (3cos x,3sin x) ,OB ? (3cos x,sin x) ,OC ? (2,0) , x ? ? 0, (1)求证: OA ? OB ? OC ;⑵ 求 tan ?AOB 的最大值及相应的 x 值.

??? ?

??? ?

??? ?

? ?

??

?. 2?

?

??? ??? ? ?

?

????

18.本小题满分 14 分) ( 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A ? ?1,0? 和 B ? 3, 4 ? , 线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D , 且 | CD |? 4 10 . (1)求直线 CD 的方程; ⑵求圆 P 的方程; ⑶设点 Q 在圆 P 上,试问使△ QAB 的面积等于 8 的点 Q 共有几个?证明你的结论.

2

19.(本题满分 14 分) A 地产汽油,B 地需要汽油.运输工具沿直线 AB 从 A 地到 B 地运油,往返 A,B 一趟所需的油耗等于从 A 地运出 1 总油量的 .如果在线段 AB 之间的某地 C(不与 A,B 重合)建一油库,则可选择 C 作为中转站,即可由这种运输 100 AC 工具先将油从 A 地运到 C 地,然后再由同样的运输工具将油从 C 地运到 B 地.设 =x,往返 A,C 一趟所需的油耗 AB 1-x x 等于从 A 地运出总油量的 .往返 C,B 一趟所需的油耗等于从 C 地运出总油量的 .不计装卸中的损耗,定义: 100 100 B地收到的汽油量 运油率 P= ,设从 A 地直接运油到 B 地的运油率为 P1,从 A 地经过 C 中转再运油到 B 地的运油率为 A地运出的汽油量 P 2. (1)比较 P1,P2 的大小; (2)当 C 地选在何处时,运油率 P2 最大?

20. (本小题满分 15 分)设 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,若 a+b+c=0,f(0)f(1)>0,
2

(1)求证:方程 f(x)=0 有实根(4 分) ; (2)求证:-2 ?

b ? ?1 (6 分) ; a

(3)设 x1 , x 2 是方程 f(x)=0 的两个根,求 | x2 ? x1 | 的取值范围(6 分) 。

3

21. (本小题满分 16 分)设数列 ?an ? 的各项都是正数, a1 ? 1 , ⑴求数列 ?bn ? 的通项公式;⑵求数列 ?an ? 的通项公式; ⑶求证:

an ? 1 an ?1 2 , bn ? an ? an . ? an ?1 ? 1 2an

1 1 1 ? ? ??? ? ?1 . ?1 ? a1 ? a2 ?1 ? a2 ? a3 ?1 ? an ? an?1

高考模拟数学试题(7)答案
一、填空题 1. 3 ? 2i 2. ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0
2

3.

1 2

4.2

5.1

6. ?

7.50

8.

1 3

9.-2

10. (??,1]

11. 2.6

12. ? ?

? 1 1? ,? ? ? 2 5?

13.2

14.

3 ? a ?1 3

15、 2 ?

2

二、解答题 A C? B D =,连 OQ 。 0 15[解]:证:设 ⑴ ∵ ABCD 为菱形, ∴ O 为 AC 中点,又 Q 为 PA 中点。 ∴ OQ ∥ PC (5 分) 又 PC ? 平面QBD , OQ ? 平面QBD ∴ PC ∥ 平面QBD (7 分) ⑵ ∵ ABCD 为菱形, ∴ BD ? AC , (9 分) (12 分)

又∵ PA ? 平面ABCD , BD ? 平面ABCD ∴ PA ? BD 又

P A? A C ?

D ∴ BD ? 平面PAC 又 BD ? 平面QBD
4

∴ 平面QBD ? 平面PAC 16[解]:解:⑴ ∵ 0 ? x ?

(14 分)

?

2 ??? ??? ? ? 又 OA ? OB ? ? 0,2sin x ?

, ∴ 3sin x ? sin x ,∴ OA ? OB ? 0 (1 分) (3 分)

??? ??? ? ?

?

? ? ??? ??? ? ? ???? ∴ ? OA ? OB ? ? OC
⑵ tan ?AOC ?

∴ OA ? OB ? OC ? 0 ? 2 ? 2sin x ? 0 ? 0 。 (6 分)

??? ??? ???? ? ?

3sin x sin x 1 ? tan x , tan ?BOC ? ? tan x (8 分) 3cos x 3cos x 3 ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? ∵ OA ? OB ? BA ,∴ BA ? OC , 0 ? ?AOB ? 。 2
∴ tan ?AOB ? tan ? ?AOC ??BOC ? (10 分)

1 tan x ? tan x tan ?AOC ? tan ?BOC 3 ? ? 1 2 1 ? tan ?AOC tan ?BOC 1 ? tan x 3

?

2 tan x 2 tan x 3 ? ? 2 3 ? tan x 2 3 tan x 3

(13 分)

(当 tan x ? 3 即 x ?

?
3

时取“ ? ”)

所以 tan ?AOB 的最大值为

? 3 ,相应的 x ? 3 3

(14 分)

17.解:⑴直线 AB 的斜率 k ? 1 , AB 中点坐标为 ?1, 2 ? , ∴直线 CD 方程为 y ? 2 ? ? ? x ?1?即x+y-3=0 ⑵设圆心 P ? a, b ? ,则由 P 在 CD 上得: (4 分)

a ?b?3 ? 0


2 2

又直径 | CD |? 4 10 ,? PA |? 2 10 ,?(a ? 1) ? b ? 40 | 又 PA ? PB ? 24
2 2 ∴ a ? b ? 2a ? 4b ? 27 ? 0

??? ??? ? ?



(7 分)

由①②解得

?

a ? ?3 b ?6 或

?

a ?5 b ? ?2

∴圆心 P ? ?3,6? 或 P ? 5, ?2? ∴圆 P 的方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 6 ? ? 40
2 2

或 ? x ? 5 ? ? ? y ? 2 ? ? 40
2 2

(9 分)

5

⑶ AB ? (12 分)

42 ? 42 ? 4 2 ,∴ 当△ QAB 面积为 8 时 ,点 Q 到直线 AB 的距离为 2 2 。

又圆心 P 到直线 AB 的距离为 4 2 ,圆 P 的半径 r ? 2 10 且 4 2 ? 2 2 ? 2 10 ∴圆上共有两个点 Q 使 △ QAB 的面积为 8 . (14 分)

18[解] (注意各小题分步累计积分) f(0)f(1)>0 ? c(3a+2b+c)>0, 又 a+b+c=0 即 c=-a-b 所以(-a-b)(2a+b)>0 即 2a ?3ab ? b ? 0
2 2

(1) ? x ? 4b 2 ? 12ac =4 b +12a(a+b)=12a +12ab+4b
2
2

2

=12[(a ? ab ?
2

1 2 b2 b ) ? ] >0 4 12
b b ( ) 2 ? 3( ) ? 2 ? 0 解 此 不 等 式 得 : - a a

所以所给方程有实根。―――――――――――6 分 ( 2 ) 由 2a 2?
2

?3ab ? b 2 ? 0 知 a 2 ? 0 , 且

b ? ?1 ―――――――――――――6 分 a

2 (3)| x1 ? x2 |= ( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 =

=

4b 2 2c ? 9a 2 3a
-2 ?

=

4 b 2 2 b 2 ( ) ? ( )? 9 a 3 a 3
?[

b ? ?1 a

3 2 , ) 3 3

1 19.解: (1)设从 A 地运出的油量为 a,根据题设,直接运油到 B 地,往返油耗等于 a, 100 所以 B 地收到的油量为(1- 1 )a. 100

1 (1- )a 100 99 所以运油率 P1= = .??????????????3 分 a 100 而从 A 地运出的油量为 a 时,C 地收到的油量为(1- 1-x x B 地收到的油量(1- )(1- )a, 100 100 1-x x (1- )(1- )a 100 100 所以运油率 P2= a 1-x x 99 x x =(1- )(1- )=( + )(1- ).??????????7 分 100 100 100 100 100 x )a, 100

6

所以 P2-P1=

1 x(1-x),因为 0<x<1, 10000

所以 P2-P1>0,即 P2>P1.????????????????9 分

? 99 + x +1- x ?2 100? ?199?2 99 x x ?100 100 (2)因为 P2=( + )(1- )≤ 100 100 100 ? 2 ? =?200? .
99 x x 1 当且仅当 + =1- ,即 x= 时,取“=” . 100 100 100 2 所以当 C 地为 AB 中点时,运油率 P2 有最大值.???????????14 分 19. 解:⑴ 由 f ? x ? ? ?x ? ln x 得 f ? ? x ? ? ?1 ?

1 1 ,令 f ? ? x ? ? 1 得 x ? (2 分) x 2

∴所求距离的最小值即为 P ? , f ? ? ? 到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离(4 分)

?1 ?2

? 1 ?? ? 2 ??

d?

1 ? 1 ? ? ? ? ? ln 2 ? ? 3 2 ? 2 ? 2

?

1 ? 4 ? ln 2 ? 2 2

(7 分)

⑵假设存在正数 a ,令 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 由 F?? x? ? a ? ∵当 x ?

? x ? 0? 则 F ? x ?max ? 0 (9 分)

1 1 ? 2a 2 x ? 0 得: x ? x a

1 时, F ? ? x ? ? 0 ,∴ F ? x ? 为减函数; a 1 当 0 ? x ? 时, F ? ? x ? ? 0 ,∴ F ? x ? 为增函数. a
∴ F ? x ?max ? F ? ∴ ln

1 ?1? ? ? ln a ?a?

(14 分)

1 ?0 a

∴ a ? e ∴ a 的取值范围为 ? e, ?? ?

(16 分) (3 分)

2 2 20. 解:⑴由条件得: an ?1 ? an ?1 ? 2 an ? an

?

?

∴ bn?1 ? 2bn

2 ∵ b1 ? a1 ? a1 ? 2 ∴

bn?1 ? 2 ∴ ?bn ? 为等比数列∴ bn ? 2n (6 分) bn


2 ⑵由 an ? an ? 2n

an ?

n ?1 ? 1 ? 2? 2 2

(8 分)

又 an ? 0 ⑶∵ an ?1 ? an ?

∴ an ?

1 ? 2n ? 2 ? 1 2

(9 分)

1 2

?

1 ? 2n ?3 ? 1 ? 2n ? 2

? ?

?

1 n ?3 ? 2 ? 2n ? 2 ? / 2

?

1 ? 2n ?3 ? 1 ? 2n ? 2 ? 0

n 2 2 2 n ?1 n (或由 an ?1 ? an ?1 ? an ? an ? 2 ? 2 即 ? an?1 ? an ?? an?1 ? an ? 1? ? 2 )

?

?

7

∴ ?an ? 为递增数列。 ∴ an ? an ? ?1 ? an ? an ? ?1 ? an ? an?1 从而
2

(11 分)

1 1 ? n ?1 ? an ? an?1 2

(14 分)



1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? 2 ? ??? ? n 2 ?1 ? a1 ? a2 ?1 ? a2 ? a3 ?1 ? an ? an?1 2 2
n

1? ?1? ?1 ? ? ? 2? ?2? ? ? 1 1? 2

? ? n ? ? ? 1? ? 1 ? ? 1 ? ? ?2?

(16 分)

8


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