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2012广州高考二模数学(理科)试题及答案

时间:2012-04-30


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试卷类型:B

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试 二) 年广州市普通高中毕业班综合测试(二 理科) 数 学(理科 理科
2012.4 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 l20 分钟。 注意事项: 1.答卷前。考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢 笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试 室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相 应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在 试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题 目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上 新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
1 参考公式:锥体的体积公式 V = Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3 一、选择题:本大题共 8 小题。每小题 5 分.满分 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的 1.已知 i 为虚数单位,复数 z1 = a + i , z2 = 2 ? i ,且 | z1 |=| z2 | ,则实数 a 的值为 A.2 B.-2 C.2 或-2 D.±2 或 0

2.设集合 A={(x,y)|2x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=4},满足 C ? (A I B)的集合 C 的

个数为 A.1

B.2

C .3

D.4

3.已知双曲线 x 2 + my 2 = 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值是 A. 4 B. 1 4 C. ? 1 4 D.-4

4.已知等差数列{ an }的公差为 2,项数是偶数,所有奇数项之和为 l5,所有偶数

项之和为 25,则这个数列的项数为 A.10 B.20 C.30 D.40
5.已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 α 、 β ,在下列条件中,可得出 α ⊥ β

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的是 A. m ⊥ l , l ∥ α , l ∥ β C. m ∥ l , m ⊥ α , l ⊥ β B. m ⊥ l , α I β , m ? α D. m ∥ l , l ⊥ β , m ? α

6.下列说法正确的是 1 A.函数 f ( x ) = 在其定义域上是减函数 x B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C . 命 题 “ ?x ∈ R,x 2 + x + 1 > 0 ” 的 否 定 是 “ ?x ∈ R,x 2 + x + 1 < 0 ” D.给定命题 P、q,若 P ∧ q 是真命题,则 ? P 是假 命题 7.阅读图 l 的程序框图,该程序运行后输出的 A 的值 为 B.6 C .7 D.8 A.5 8 . 已 知 实 数 a , b 满 足 a 2 + b 2 ? 4a + 3 = 0 , 函 数 f ( x ) = a sin x + b cos x + 1 的 最 大 值 记 为 ? ( a,b ) , 则

? ( a,b ) 的最小值为
A. 1 B.2 C. 3 + 1 D. 3

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.某社区有 600 个家庭,其中高收入家庭 150 户,中等收入家庭 360 户,低收人 家庭 90 户,为了调查购买力的某项指标,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 l00 的样本,则中等收入家庭应抽取的户数是 。
10.( 2 x ? 1 6 ) 展开式中的常数项是 x (用数字作答)。

11.已知不等式 | x ? 2 | >1 的解集与不等式 x 2 + ax + b > 0 的解集相等,则 a + b 的值

。 为 12.在平行四边形 ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,BE 与 AC 相交于点 F,若 uuu r uuu r uuur m EF = m AB + n AD( m,n ∈ R ) ,则 的值为 。 n
13.已知点 P 是直角坐标平面 xOy 上的一个动点 | OP |= 2 (点 O 为坐标原点),点

M(-1,0),则 cos ∠ OPM 的取值范围是 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)



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14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形 ABC(顶点 A,B,C 按顺时针方向排列)的顶点 A,B 的极坐标分别为 π 7π (2, ),(2, ),则顶点 C 的极坐标为 。 6 6 15.(几何证明选讲选做题)如图 2,AB 是圆 O 的 直径,延长 AB 至 C,使 BC=2OB,CD 是圆 O 的 AD 切线,切点为 D,连接 AD,BD,则面 的值 BD . 为 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = A sin( ω x ? 和最低点的坐标分别为(
(1)求 A 和 ω 的值; (2)已知 α ∈ (0,

π

5π 11π ,2 ) ( ,-2) 。 12 12 4 ,求 f ( α ) 的值. 5

3

)( A > 0 ,ω > 0 ) 在某一个周期内的图象的最高点

π

2 17.(本小题满分 l2 分) 如图 3,A,B 两点之间有 6 条网线连接,每条 网线能通过的最大信息量分别为 1, , , , , . 1 2 2 3 4 从 中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量,设

),且 sin α =

这三条网线通过的最大信息量之和为 ξ .
(1)当 ξ ≥6 时,则保证线路信息畅通,求线路信

息畅通的概率;
(2)求 ξ 的分布列和数学期望. 18.(本小题满分 l4 分) 某 建 筑 物 的 上 半 部 分 是 多 面 体 MN—ABCD , 下 半 部 分 是 长 方 体 ABCD—A1B1C1D1(如图 4). 该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图 5, 其中正(主) 视图由正方形和等腰梯形组合而成,侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成. (1)求直线 AM 与平面 A,B,C,D,所成角的正弦值; (2)求二面角 A—MN—C 的余弦值; (3)求该建筑物的体积.

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19.(本小题满分 14 分) 已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2: x 2 = 4 y 有一个相同的焦点 F1,直线 l : y = 2 x + m 与抛物线 C2 只有一个公共点.
(1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P,当椭圆 C1 的离心率取得最大值时,求椭圆 C1 的方程及点 P 的坐标. 20.(本小题满分 l4 分)

1 已知函数 f ( x ) = ln x ? ax 2 + x,a ∈ R. 2 (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)是否存在实数 a,使得函数 f ( x ) 的极值大于 0?若存在,求 a 的取值范围;

若不存在,说明理由. 21.(本小题满分 l4 分)
1 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (-1 , 1) ,且 f ( ) = 1 ,对任意 x, y ∈ ( ?1,1 ) ,都有 2 f ( x )? f ( y ) = f (

2an x? y 1 ) ,数列{ an }满足 a1 = ,an +1 = ( n ∈ N * ). 2 1 ? xy 2 1 + an

(1)证明函数 f ( x ) 是奇函数; (2)求数列{ f ( an ) }的通项公式;

(3)令 An =

n n a1 + a2 + ... + an n ?1 ( n ∈ N * ) ,证明:当 n ≥ 2 时, | ∑ ai ? ∑ A1 |< 。 n 2 i =1 i =1

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