nbhkdz.com冰点文库

广东高考文科数学真题模拟汇编13:立体几何

时间:2012-08-17


广东高考文科数学真题模拟汇编

13:立体几何
1. (2009 广州一模文数)一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图 3 所示,则该几何体的侧面积为 cm . 1. 80
3 3
2

2
x x

2

2

2

2
4 正视图 4 侧视图

2 侧(左)视图

正(主)视图

2

2
俯视图 图2

俯视图

图1

2. (2011 广州一模文数)一空间几何体的三视图如图 2 所示, 该几何体的 体积为 1 2 ? ? A. 5 2、答案 C 3.(2012 广州一模文数)如图 1 是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积为 ... A.
4 3 3 8 5 3

,则正视图中 x 的值为 C. 3 D. 2

B. 4

B. 4 3

C.8

D.12

3、答案 C 4. (2012 广州二模文数)已知两条不同直线 m 、 l , 两个不同平面 ? 、 ? , 在下列条件中, 可得出 ? ? ? 的是 A. m ? l , l / / ? , l / / ? C. m / / l , l ? ? , m ? ? 4、答案 C 5.(2012 广东文数)某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为 A. 7 2 ? 5、C B. 4 8 ? C. 3 0 ? D. 2 4 ? B. m ? l , ? ? ? ? l . m ? ? D. m / / l , m ? ? , l ? ?

6. (2005 广东)给出下列关于互不相同的直线 m 、 l 、 n 和平面 ? 、 ? ,的四个命题: ①若 m ? ? , l ? ? ? A ,点 A ? m ,则 l 与 m 不共面; ②若 m、l 是异面直线,
l // ? , m // ? ,

且 n ? l , n ? m ,则 n ? ? ;

l α

③若 l // ? , m // ? , ? // ? ,则 l // m ; ④若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? 点 A , l // ? , m // ? ,则 ? // ? . 其中为假命题的是 A.① B.②

m

β

C.③

D.④

6.C.解:③是假命题,如右图所示满足 l // ? , m // ? , ? // ? , 但 l /\/ m ,故选 C. 7. (2005 广东) 已知高为3的直棱锥 ABC ? A ? B ?C ? 的底面是边长为1的正三角形 A' (如图1所示) ,则三棱锥 B ? ? ABC 的体积为 ( ) A.
1 4

C'

B.
3

1 2

B'
3 4

C.

D.

6

A 7.D.解:∵ B B ? ? 平面 ABC ,
1 3 1 3 1 3 3 4 3 4

C B
图1

∴ V B ? ? ABC ?

S ? ABC ? h ?

S ? ABC ? B B ? ?

?

?3 ?

.故选 D.

8、 (2006 广东)给出以下四个命题 ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行; ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 8、①②④正确,故选 B. 9、 (2006 广东)若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 9、 d ? 3 3 ? R ?
3 3 2 ? S ? 4? R
2

? 27 ?

10. (2007 广东文数)若 l, m, n 是互不相同的空间直线, ? , ? 是不重合的平面,则下列命题中为真命 题的是( ) B.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , l ∥ ? ,则 ? ? ?

A.若 ? ∥ ? , l ? ? , n ? ? ,则 l ∥ n C.若 l ? n, m ? n ,则 l ∥ m

10.D 11. (2008 广东文数)将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示, A, B, C 分别是 △ G H I 三边的中点)得到 几何体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( ) H B A I C G 侧视 B A C B B B B

E F 图1 11. A

D

E F 图2

D

E A.

E B.

E C.

E D.

12. (2009 广东文科)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④

12. D【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选 D

13. ( 2010 广 东 文 理 数 ) 如 图 1 , △ ABC 为 三 角 形 , A A ? // B B ? // C C ? , C C ? ⊥ 平 面 ABC 且 3 A A? =
3 2
B B ? = C C ? =AB,则多面体△ABC - A ? B ?C ? 的正视图(也称主视图)是

13.D. 14、 (2011?广东文数)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个正五棱柱对角线的条数共有( ) A、20 B、15 C、12 D、10 14 解答:解:由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任 何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有 2 条.正五棱柱对角线的条数共有 2× 5=10 条.故选 D 15、 (2011?广东文数)如图,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形, 等腰三角形和菱形,则该几何体体积为





A、 B、4 C、 D、2 15 解答:解:由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥 由图可知,底面两条对角线的长分别为 2 ,2,底面边长为 2 故底面棱形的面积为 故 V= =2 故选 C =2 侧棱为 2 ,则棱锥的高 h= =3

16. (2009广州一模文数) (本小题满分14分) 如图 4, A 1 A 是圆柱的母线, AB 是圆柱底面圆的直径,
C 是底面圆周上异于 A , B 的任意一点, A A1 ? A B ? 2 .

(1)求证: BC ⊥平面 A1 AC ; (2)求三棱锥 A1 ? A B C 的体积的最大值.

16. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间中线面的位置关系、几何体体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和 运算求解能力) (1)证明:∵ C 是底面圆周上异于 A 、 B 的一点,且 A B 为底面圆的直径, ∴ BC ? AC . …… 2 分 ∵ A A1 ⊥平面 A B C , BC ? 平面 A B C , ∴ B C ? A A1 . …… 4 分

∵ AA 1 ? AC ? A , AA 1 ? 平面 A1 AC , AC ? 平面 A1 AC , ∴ B C ? 平面 A1 A C . (2)解法 1:设 A C ? x ,在 Rt△ A B C 中, B C ? 故V A ? ABC ?
1

…… 6 分
AB
2

? AC

2

?
2

4? x

2

(0<x<2 ) ,

1 3

S ? A B C ? A A1 ?

1 3

?

1 2
2

A C ? B C ? A A1 ?
2

1 3

x 4? x

(0<x<2 ) ,

即V A ? ABC ?
1

1 3

x

4? x

2

?

1 3

x (4 ? x ) ?

1 3

2 2 ?( x ? 2) ? 4 .

∵ 0 ? x ? 2, 0 ? x ? 4 ,
2

∴当 x ? 2 ,即 x ? 2 时,三棱锥 A1 ? A B C 的体积的最大值为
2

2 3



解法 2: 在 Rt△ A B C 中, AC
V A1 ? ABC ? 1 3 S ? ABC ? A1 A ? ?

2

? BC

2

? AB

2

? 4,

1 3 1 3

? A1 A ?

1 2

? AC ? BC

? AC ? BC

?

1 3 1 3

?

AC

2

? BC 2

2

?

?

AB 2

2

?

2 3

.
2 .

当且仅当 AC ? BC 时等号成立,此时 AC ? BC ? ∴三棱锥 A1 ? ABC 的体积的最大值为
2 3

.

17. (2010 广州二模文数)(本小题满分 14 分) 在长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, A B ? B C ? 1, A A1 ? 2 , 点 M 是 B C 的中点,点 N 是 A A1 的中点. (1) 求证: M N // 平面 A1 C D ; (2) 过 N , C , D 三点的平面把长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 截成 两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值.

A1 B1 N C1

D1

A B

D C

17. (本小题满分 14 分)

M

(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法, 以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证法 1:设点 P 为 A D 的中点,连接 M P , N P .
A1 D1 C1 N

∵ 点 M 是 B C 的中点, ∴ M P // C D .

B1

∵ C D ? 平面 A1 C D , M P ? 平面 A1 C D , ∴ M P // 平面 A1 C D . ∵ 点 N 是 A A1 的中点, ∴ N P // A1 D . ∵ A1 D ? 平面 A1 C D , N P ? 平面 A1 C D , ∴ N P // 平面 A1 C D . 分 ∵ M P ? N P ? P , M P ? 平面 M N P , N P ? 平面 M N P , ∴ 平面 M N P // 平面 A1 C D . ∵ M N ? 平面 M N P , ∴ M N // 平面 A1 C D . 证法 2: 连接 A M 并延长 A M 与 D C 的延长线交于点 P , 连接 A1 P , ∵ 点 M 是 B C 的中点, ∴ BM ? M C . ∵ ? B M A ? ? C M P , ? M B A ? ? M C P ? 90 , ∴ Rt M B A ? Rt M C P . ∴ AM ? M P .
A
?

…2 分

…4

…6 分

A1 B1 N

D1

C1

…2 分
D C P

∵ 点 N 是 A A1 的中点, ∴ M N // A1 P . ∵ A1 P ? 平面 A1 C D , M N ? 平面 A1 C D , ∴ M N // 平面 A1 C D . (2) 解: 取 B B1 的中点 Q , 连接 N Q , C Q , ∵ 点 N 是 A A1 的中点, ∴ N Q // A B . ∵ A B // C D , ∴ N Q // C D .
B Q A

…4 分

B

M

…6 分

A1 B1 N C1

D1

D C

M

∴ 过 N , C , D 三点的平面 N Q C D 把长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 截成两部分几何体,

其中一部分几何体为直三棱柱 Q B C ? N A D , 另一部分几何体为直四棱柱 B1 Q C C 1 ? A1 N D D1 . 8分 ∴ S ?QBC ?
1 2 ?Q B ?B C ? 1 2 ?1?1 ? 1 2 1 2



, , …

∴ 直三棱柱 Q B C ? N A D 的体积 V1 ? S ? Q B C ?A B ? 10 分

∵ 长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的体积 V ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 , ∴直四棱柱 B1 Q C C 1 ? A1 N D D1 体积 V 2 ? V ? V1 ? 12 分
1
V1 V2
3 2

.





?

2 ? 1 . 3 3 2
1 3

∴ 所截成的两部分几何体的体积的比值为 14 分 (说明:
V2 V1 ? 3 也给分)

.



18.(2010广州一模文数)(本小题满分14分) 如图 6,正方形 A B C D 所在平面与三角形 C D E 所在平面相交 于 C D , A E ? 平面 C D E ,且 A E ? 3 , A B ? 6 . (1)求证: A B ? 平面 A D E ; (2)求凸多面体 A B C D E 的体积. C 18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形 结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证 能力和运算求解能力) (1)证明:∵ A E ? 平面 C D E , C D ? 平面 C D E , ∴ AE ? C D . 在正方形 A B C D 中, C D ? A D , ∵ A D ? A E ? A ,∴ C D ? 平面 A D E . ∵ AB ? CD , ∴ A B ? 平面 A D E . (2)解法 1:在 R t △ A D E 中, A E ? 3 , A D ? 6 , ∴ DE ?
AD ? AE
2 2

B A

E D 图5

?3 3.

B A F

过点 E 作 E F ? A D 于点 F , ∵ A B ? 平面 A D E , E F ? 平面 A D E , ∴ EF ? AB . C D

E

∵ AD ? AB ? A , ∴ E F ? 平面 A B C D . ∵ AD ? EF ? AE ? DE , ∴ EF ?
AE ? DE AD ? 3? 3 3 6 ? 3 3 2



又正方形 A B C D 的面积 S A B C D ? 3 6 , ∴V ABCDE ? V E ? ABCD ?
1 3

1 3

S ABCD ? E F

?

? 36 ?

3 3 2

? 18 3 .

故所求凸多面体 A B C D E 的体积为 1 8 3 . 解法 2:在 R t △ A D E 中, A E ? 3 , A D ? 6 , ∴ DE ?
AD ? AE
2 2

?3 3.

B A

连接 B D ,则凸多面体 A B C D E 分割为三棱锥 B ? C D E 和三棱锥 B ? A D E . 由(1)知, C D ? D E . ∴ S ?CDE ?
1 2 ? CD ? DE ? 1 2 ?6?3 3 ? 9 3 .

C D

E

又 A B ? C D , A B ? 平面 C D E , C D ? 平面 C D E , ∴ A B ? 平面 C D E . ∴点 B 到平面 C D E 的距离为 A E 的长度. ∴V B ?CDE ?
1 3 S ?CDE ? A E ? 1 3 ?9 3?3 ? 9 3 .

∵ A B ? 平面 A D E , ∴V B ? ADE ?
1 3 S ?ADE ? A B ? 1 3 ? 9 3 2 ?6 ? 9 3 .

∴V ABCDE ? V B ?CDE ? V B ? ADE ? 9 3 ? 9 3 ? 1 8 3 . 故所求凸多面体 A B C D E 的体积为 1 8 3 .

19. (2011 广州一模文数)(本小题满分 14 分) 如图 4,在四棱锥 P ? A B C D 中,平面 P A D ? 平面 A B C D , A B ∥ D C ,
△ P A D 是等边三角形,已知 B D ? 2 A D ? 4 , A B ? 2 D C ? 2 5 .

P

(1)求证: B D ? 平面 P A D ; (2)求三棱锥 A ? P C D 的体积. A

D

C B

19.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及 空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:在 △ A B D 中,由于 A D ? 2 , B D ? 4 , A B ? 2 5 , ∴ AD ? BD ? AB .
2 2 2

…… 2 分

∴ AD ? BD . 又平面 P A D ? 平面 A B C D ,平面 P A D ? 平面 A B C D ? A D , B D ? 平面 A B C D , ∴ B D ? 平面 P A D . (2)解:过 P 作 P O ? A D 交 AD 于 O . 又平面 P A D ? 平面 A B C D , ∴ P O ? 平面 A B C D . ∵ △ P A D 是边长为 2 的等边三角形, ∴ P O ? 由(1)知, A D ? B D ,在 R t △ A B D 中, 斜边 A B 边上的高为 h ?
AD ? BD AB 1 2 1 3 ? 4 5 5

…… 4 分 …… 6 分

3 .

P

.

…… 8 分

D
∵ A B ∥ D C ,∴ S △ A C D ?
CD ? h ? 1 2 ? 5? 4 5 5 ? 2 . …… 10 分

C

O B

A
∴V A ? PCD ? V P ? ACD ?
1 3 S △ ACD ? P O ? ? 2? 3 ? 2 3 3

.

…… 14 分

20.(2011广州二模文数)(本小题满分14分) 一个几何体是由圆柱 A D D 1 A1 和三棱锥 E ? A B C 组合而成, A 、B 、C 在圆 O 的圆周上, (主) 点 其正
A 视图、 (左) 侧 视图的面积分别为 10 和 12, 如图 2 所示, 其中 E A ? 平 面 A B C ,A B ? A C , B ? A C ,

AE ? 2 .

(1)求证: A C ? B D ; (2)求三棱锥 E ? B C D 的体积. E C A1
1

E

E

O B

A

A1

O

A

A

D1
1

D D1

D

正 (主) 视图
图2

侧(左)视图

20. (本小题满分14分) (本小题主要考查锥体体积,空间线线、线面关系,三视图等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以

及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. ) (1)证明:因为 E A ? 平 面 A B C , A C ? 平 面 A B C ,所以 E A ? A C ,即 E D ? A C . 又因为 A C ? A B , A B ? E D ? A ,所以 A C ? 平面 E B D . 因为 B D ? 平 面 E B D ,所以 A C ? B D .………………………………………………………………4 分 (2)解:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 A B ? A C ,所以 B C 为圆 O 的直径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,
1 ? 2 rh ? r ? 2 ? 1 0, ? ? 2 …………………………………………6 分 ? ? 2 rh ? 1 ? 2 r ? 2 ? 1 2 . ? ? 2
? r ? 2, 解得 ? ?h ? 2.

E C A1
1

O B

A

D1
1

D

所以 B C ? 4 , A B ? A C ? 2 2 .………………………………………………………………………8 分 以下给出求三棱锥 E ? B C D 体积的两种方法: 方法 1:由(1)知, A C ? 平面 E B D , 所以 V E ? B C D ? V C ? E B D ?
S ? E B D ? C A .………………………………………………………………10 分 3 因为 E A ? 平 面 A B C , A B ? 平 面 A B C , 1

所以 E A ? A B ,即 E D ? A B . 其中 E D ? E A ? D A ? 2 ? 2 ? 4 ,因为 A B ? A C , A B ? A C ? 2 2 , 所以 S ? E B D ?
? 4 ? 2 2 ? 4 2 .…………………………………………………13 分 2 2 1 16 所以 V E ? B C D ? ? 4 2 ? 2 2 ? .…………………………………………………………………14 分 3 3 方法 2:因为 E A ? 平 面 A B C , 1 ? ED ? AB ? 1

所以 V E ? B C D ? V E ? A B C ? V D ? A B C ?

1 3

S ?ABC ? E A ?

1 3

S ?ABC ? D A ?

1 3

S ? A B C ? E D .…………………10 分

其中 E D ? E A ? D A ? 2 ? 2 ? 4 ,因为 A B ? A C , A B ? A C ? 2 2 , 所以 S ? A B C ? 所以 V E ? B C D
? 2 2 ? 2 2 ? 4 .…………………………………………………13 分 2 2 1 16 ? ?4? 4 ? .…………………………………………………………………………14 分 3 3 1 ? AC ? AB ? 1

20.(2012广州一模文数)(本小题满分14分) 如图 5 所示, 在三棱锥 P ? ABC 中, A B ? B C ?
6 ,平面 PAC ? 平面 ABC ,PD ? AC 于点 D ,
P

A D ? 1 , C D ? 3 , PD ? 2 .

(1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)证明△ PBC 为直角三角形.

20. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以 及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 证明: 因为平面 PAC ? 平面 ABC , 平面 P A C ? 平面 A B C ? A C , P D ? 平面 P A C ,PD ? AC , 所以 P D ? 平面 ABC .…………………………………………………………………………………2 分 记 AC 边上的中点为 E ,在△ A B C 中,因为 A B ? B C , 所以 BE ? AC . 因为 A B ? B C ? 所以 B E ?
2

6 , AC ? 4 ,
2

BC ? CE

?

? 6?
1 2

2

?2

2

?

2 .………………………………………………………4 分

所以△ A B C 的面积 S ? A B C ? 因为 PD ? 2 ,

? AC ? BE ? 2 2 . ……………………………………………………5 分

所以三棱锥 P ? ABC 的体积 V P ? A B C ?

1 3

? S ?ABC ? P D ?

1 3

?2 2?2?

4 2 3

.……………………7 分

(2)证法 1:因为 P D ? AC ,所以△ P C D 为直角三角形. 因为 P D ? 2 , C D ? 3 , 所以 P C ?
PD ? CD
2 2

P

?

2 ?3 ?
2 2

1 3 .………………9 分

连接 B D ,在 R t △ B D E 中, 因为 ? B E D ? 9 0 , B E ?
o

2 , DE ? 1 ,

E A

所以 B D ?

BE ? DE
2

2

?

?

2

?

2

?1 ?
2

3 .…………10 分

D B

C

由(1)知 P D ? 平面 ABC ,又 B D ? 平面 ABC , 所以 P D ? BD . 在 R t △ P B D 中,因为 ? P D B ? 9 0 , P D ? 2 , B D ?
o

3 ,

所以 P B ?

PD ? BD
2

2

?

2 ?
2

? 3?

2

?

7 .……………………………………………………12 分

在 ? PBC 中,因为 B C ?
2 2 2

6 , PB ?

7 , PC ?

13 ,

所以 B C ? P B ? P C .………………………………………………………………………………13 分 所以 ? PBC 为直角三角形.……………………………………………………………………………14 分 证法 2:连接 B D ,在 R t △ B D E 中,因为 ? B E D ? 9 0 , B E ?
o

2 , DE ? 1 ,
P

所以 B D ?

BE ? DE
2

2

?

?

2

?

2

?1 ?
2

3 .…………8分

在△ B C D 中, C D ? 3 , B C ?
2 2 2

6 , BD ?

3 ,

所以 B C ? B D ? C D ,所以 B C ? B D .………………10分 由(1)知 P D ? 平面 ABC , 因为 B C ? 平面 ABC , 所以 B C ? P D . 因为 B D ? P D ? D , 所以 B C ? 平面 P B D .…………………………………………………………………………………12分 因为 P B ? 平面 P B D ,所以 B C ? P B . 所以 ? PBC 为直角三角形.……………………………………………………………………………14分

21. (2012 广州二模文数)(本小题满分 14 分)某建筑物的上半部分是多面体 M N ? A B C D ,下半部分是 长方体 A B C D ?
A1 B 1 C 1 D 1 (如图 5).该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图 6,其中正(主)视图由正方形和等

腰梯形组合而成,侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成。 (1)求线段 A M 的长; (2)证明:平面 A B N M ? 平面 C D M N ; (3)求该建筑物的体积.
M D A B N

2
C

1

1

侧视
D1 C1 A1 B1

4

4

正视

正(主)视图

侧(左)视图

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、几何体的体积等知识, 数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解:作 M O ? 平面 A B C D ,垂足为 O ,连接 A O , 由于 A B ? 平面 A B C D ,故 M O ? A B . 作 M P ? A B ,垂足为 P ,连接 P O , 又 M O ? M P ? M ,且 M O ? 平面 M P O , M P ? 平面 M P O , ∴ A B ? 平面 M P O . …………… 1 分 考查数形结合、化归与转化的

由题意知 M O ? P O ? A P ? 1, A A1 ? 4 , A D ? 2 , 在 Rt△ P O M 中, P M ? 在 Rt△ A P M 中, A M ?
PO ? M O
2 2

…………… 2 分 …………… 3 分 …………… 4 分 …………… 5 分

? ?

2, 3,

AP ? PM
2

2

∴线段 A M 的长为 3 . (2)解:延长 P O 交 C D 于点 Q ,连接 M Q , 由(1)知 A B ? 平面 M P O . ∵ M Q ? 平面 M P O , ∴ AB ? M Q . ∵ M N / / AB , ∴MN ? MQ . …………… 6 分
2 , PQ ? 2 ,

M D A O P P1 Q

N Q1 B C

D1 A1 B1

C1

在△ P M Q 中, M Q ? M P ? ∵ M P ? M Q ? 4 ? PQ ,
2 2 2

∴ MP ? MQ . ∵ M P ? M N ? M , M P ? 平面 A B N M , M N ? 平面 A B N M , ∴ M Q ? 平面 A B N M . ∵ M Q ? 平面 C D M N , ∴平面 A B N M ? 平面 C D M N .

…………… 7 分

…………… 8 分

…………… 9 分

(3)解法 1:作 N P1 / / M P 交 A B 于点 P1 ,作 N Q 1 / / M Q 交 C D 于点 Q1 , 由题意知多面体 M N ? A B C D 可分割为两个等体积的四棱锥 M ? A P Q D 和
N ? P1 B C Q 1 和一个直三棱柱 M P Q ? N P1Q1 .

四棱锥 M ? A P Q D 的体积为 V1 ?

1 3

?A P ?A D ?M O ? 1 2

1 3

?1? 2 ?1 ? 1 2 ? 2? 10 3

2 3

, ………… 10 分

直三棱柱 M P Q ? N P1Q1 的体积为 V 2 ?

?M P ?M Q ?M N ? 2 3

2 ? 2 ? 2 ,…11 分

∴多面体 M N ? A B C D 的体积为 V ? 2V1 ? V 2 ? 2 ?

?2?

.

…………… 12 分

长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的体积为 V 3 ? A B ?B C ?A A1 ? 4 ? 2 ? 4 ? 32 . ……… 13 分

∴建筑物的体积为 V ? V 3 ?

106 3

.

……… 14 分

解法 2:如图将多面体 M N ? A B C D 补成一个直三棱柱 A D Q ? B C Q 1 ,

Q
依题意知 A Q ? D Q ? B Q 1 ? C Q 1 ?
2 , M Q ? N Q1 ? 1 , A D ? 2 .

M D

N

Q1 C B

多面体 M N ? A B C D 的体积等于直三棱柱 A D Q ? B C Q 1 的体积 减去两个等体积的三棱锥 M ? A D Q 和 N ? B C Q1 的体积. ∵ AQ ? DQ ? 4 ? AD ,
2 2 2

A

O P

D1 A1
1 2 ?A Q ?D Q ?A B ? 1 2 2 ?1 ? 1 3 ? 2? 2 ? 4 ? 4 ,… 10 分

C1 B1

∴ ? AQ D ? 90 . 直三棱柱 A D Q ? B C Q 1 的体积为 V1 ? 三棱锥 M ? A D Q 的体积为 V 2 ?

?

1 1 1 1 ? ?A Q ?D Q ?M Q ? ? ? 2 ? 3 2 3 2 2 10 ∴多面体 M N ? A B C D 的体积为 V ? V1 ? 2V 2 ? 4 ? ? . 3 3

. … 11 分 …… 12 分

长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的体积为 V 3 ? A B ?B C ?A A1 ? 4 ? 2 ? 4 ? 32 . ……… 13 分 ∴建筑物的体积为 V ? V 3 ?
106 3

.

……………… 14 分

22. (2007 广东文数)已知某几何体的俯视图是如图 5 所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长 为 8,高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6,高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V ; (2)求该几何体的侧面积 S . 22 解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的射影是矩形中心的 四棱锥 V-ABCD ; (1)
V ? 1 3 ? ?8 ? 6 ? ? 4 ? 64

(2) 该四棱锥有两个侧面 VAD、VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为
h1 ? ?8? 2 4 ?? ? ?2?
2

? 4

2 ,

另两个侧面 VAB. VCD 也是全等的等腰三角形,
2

AB 边上的高为 因此
S ? 2( 1 2

h2 ?

?6? 4 ?? ? ?5 ?2?
2

?6?4 2 ?

1 2

? 8 ? 5) ? 4 0 ? 2 4 2

23. (2008 广东文数)如图 5 所示,四棱锥 P ? A B C D 的底面 A B C D 是半径为 R 的圆的内接四边形,其 中 B D 是圆的直径, ? A B D ? 60 , ? B D C ? 4 5 , P D 垂直底面 A B C D , P D ? 2 2 R , E, F 分别是 P E G
? ?

P B, C D 上的点,且

PE EB

?

DF FC

,过点 E 作 B C 的平行线交 P C 于 G .

(1)求 B D 与平面 A B P 所成角 ? 的正弦值; (2)证明: △ E F G 是直角三角形; (3)当
PE EB ? 1 2

时,求 △ E F G 的面积.

23.解: (1)在 R t ? B A D 中,
? ? A B D ? 6 0 ,? A B ? R , A D ?
?

P
3R

E 而 PD 垂直底面 ABCD, P A ?
PB ? PD ? BD
2
2

G D F

PD ? AD
2 2 2

2

?

(2 2 R ) ? ( 3R ) ?
2 2

1 1R

A
2

?

(2 2 R ) ? (2 R ) ? 2 3R ,

B 在 ? P A B 中, P A ? A B ? P B ,即 ? P A B 为以 ? P A B 为直角的直角三角形。
2 2

C 图5

设点 D 到面 P A B 的距离为 H , 由 V P ? A B D ? V D ? P A B 有 P A ?A B ?H ? A B ?A D ?P D , 即 H ?
A D ?P D PA
sin ? ? H BD ? 66 11
PE EB ? PG GC

?

3 R ?2 2 R 1 1R

?

2 66 11

R ,

; ,而
PE EB ? DF FC

(2) E G / / B C ,? 即
PG GC ?
PE EB

, ,? G F ? E G ,? ? E F G 是直角三角形;
? 2 3

DF DC
?

,? G F / / P D ,? G F ? B C
1 2

(3)



EG BC

?

PE PB

?

1 3

,

GF PD

?

CF CD

,
2 3 PD ? 4 2 3 2 3 R ? 4 9 R
2

即 EG ?

1 3

BC ?

1 3

? 2 R ? co s 4 5 ? ? 1 2

2 3

R,GF ? 1 2 ? 2 3

? 2 2R ?

4 2 3

R

,

? ? E F G 的面积 S ? E F G ?

E G ?G F ?

R?

24.(2008 广东文数)如图 5 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径, ? A B D ? 60 , ? B D C ? 45 , ? A D P ~ ? B A D 。 (1)求线段 PD 的长; (2)若 P C ? 24【解析】 (1)?
1 1 R ,求三棱锥 P-ABC 的体积。
? ?

BD 是圆的直径 ?
2 ?

? B A D ? 90
2

?



? A D P~ ?

B A ,D

?

AD BA

?

DP AD

, DP ?

AD BA

?

? B D sin 6 0 ? ? B D sin 3 0 ?
?

4R ?
2

3 4 ? 3R 1 2

? 2R ?

;

(2 ) 在 R t ? B C D 中, C D ? B D co s 4 5 ?
?

?

2R
P C P D ? C D 又 ? PD A ? 90 ?
2 ?

P D ? C D ?9
2 2

R ?2
2

R ?1 1 R ?
2 2

? P D ? 底面 ABCD

S ? ABC ?

1 2

A B ?B C s i n 6 0 ? ?
?

?

4? 5 ?

1 2

R?

? 3 R ?2 ? 2 ?

2 ? 2
1 3

1 2
3 ?1 4

?2 ?? ? 2 ?

?3

R 4

2

1

三棱锥 P ? A B C 的体积为 V P ? A B C ?

1 3

?S ? A B C ?P D ?

?

R ?3 R ?
2

3 ?1 4

R

3

.

25. (2009 广东文科)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P- EFGH,下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积 (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG

25【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? V P ? E F G H ? V A B C D ? E F G H

?

1 3

? 40 ? 60 ? 40 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000
2 2

? cm ?
2

(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, P O ? 平面 EFGH , ? P O ? H F 又 EG ? HF ? H F ? 平面 PEG 又 BD P HF
? B D ? 平面 PEG;
w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

26、 (2010 广东文数) 如图 4,弧 AEC 是半径为 a 的半圆, A C 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 A D 的三
w_w w. k# s5_u.c o*m

等分点,平面 A E C 外一点 F 满足 F C ? 平面 B E D , F B = 5 a . (1)证明: E B ? F D ; (2)求点 B 到平面 F E D 的距离.

w_w*w.k_s_ 5 u.c*o*m

26.法一: (1)证明:∵点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, ∴点 B 为圆的圆心 又∵E 是弧 AC 的中点,AC 为直径, ∴ BC ? EB 即 BD ? EB ∵ FC ? 平面 BDE , EB ? 平面 BDE , ∴ FC ? EB 又 BD ? 平面 FBD , FC ? 平面 FBD 且 BD ? FC ? C ∴ EB ? 平面 FBD 又∵ FD ? 平面 FBD , ∴ EB ? FD (2)解:设点 B 到平面 FED 的距离(即三棱锥 B ? F E D 的高)为 h . ∵ FC ? 平面 BDE , ∴FC 是三棱锥 F-BDE 的高,且三角形 FBC 为直角三角形 由已知可得 BC ? a ,又 FB ?
5a

∴ FC ?
1 2

( 5a) ? a
2

2

? 2a
2

在 Rt ? BDE 中, BD ? 2 a , BE ? a ,故 S ? BDE ? ∴ V F ? BDE ?
1 3 S ? BDE ? FC ? 1 3 ? a ? 2a ?
2

? 2a ? a ? a ,

2 3

a ,

3

又∵ EB ? 平面 FBD ,故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角 ∴ EF ?
6 a , DE ? 5 a ,在 Rt ? FCD 中, FD ?

形,

5a ,

∴ S ? FED ?

21 2

a ,

2

∵ V F ? BDE ? V B ? FED 即

1 3

?

21 2

a ?h ?
2

2 3

a ,故 h ?
3

4 21 21

a,

即点 B 到平面 FED 的距离为 h ?

4 21 21

a.

27、 (2011?广东文数)如图所示的几何体是将高为 2,底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其

中一半沿切面向右水平平移后得到的,A,A′,B,B′分别为

的中点,

O1,O1′,O2,O2′分别为 CD,C′D′,DE,D′E′的中点. (1)证明:O1′,A′,O2,B 四点共面; (2)设 G 为 A A′中点,延长 A′O1′到 H′,使得 O1′H′=A′O1′.证明:BO2′⊥平面 H′B′

G 考点:直线与平面垂直的判定;棱柱的结构特征;平面的基本性质及推论。 专题:证明题;综合题。 分析: (1)要证 O1′,A′,O2,B 四点共面,即可证四边形 BO2A O1 为平面图形,根据 A′O1′与 B′ O2′在未平移时属于同一条直径 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 知道 A O1 ∥B O2 即 BO2∥A O1 再根据 BO2=A′O1′=1 即可得到四边形 BO2A O1 是平行四边形, 则证. (2)建立空间直角坐标系,要证 BO2′⊥平面 H′B′G 只需证 据坐标运算算出 ? , 的值均为 0 即可 , ,根
′ ′

27、解答:证明: (1)∵B′,B 分别是中点 ∴BO2∥B O2 A′O1′与 B′O2′ ∵ 在未平移时属于同一条直径 ′ ′ ′ ′ ∴A O1 ∥B O2 ′ ′ ∴BO2∥A O1 ∵BO2=A′O1′=1 ′ ′ ∴四边形 BO2A O1 是平行四边形 即 O1′,A′,O2,B 四点共面 (2)以 D 为原点,以向量 DE 所在的直线为 X 轴,以向量 DD′所在的直线为 Z 轴,建立如图空间直角 坐标系, 则 B(1,1,0) 2′(0,1,2) ,O ,H′(1,﹣1,2) ,A(﹣1,﹣1,0) ,G(﹣1,﹣1,1) ,B′(1, 1,2) 则 ∵ =(﹣1,0,2) , ? =0, =(﹣2,﹣2,﹣1) , =0 =(0,﹣2,0)
′ ′

∴BO2′⊥B′G,BO2′⊥B′H′ 即 ,

∵B′H′∩B′G=B′,B′H′、B′G?面 H′GB′ ∴BO2′⊥平面 H′B′G

点评:本题考查了直线与平面垂直的判定,棱柱的结构特征,平面的基本性质及推论以及空间向量的基本 知识,属于中档题.

28. (2012 广东文数)如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB ? 平面 PAD,AB CD,PD=AD,E 是 PB 的中点, F 是 DC 上的点且 DF=
1 2

AB,PH 为 ? PAD 中 AD 边上的高.

(1) 证明:PH ? 平面 ABCD; (2) 若 PH=1,AD= 2 ,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3) 证明:EF ? 平面 PAB.

28. 解:
? PH 为 ? PAD 中的高

(1) ? PH :
PH ? PH

? AD

又 AB ? 面 PAD , ? 平面 PAD ? AB

AB ? AD ? A 所以 PH ? 平面 A B C D

…………………………………………………………………………4 分 (2):过 B 点做 BG BG ? CD ,垂足为 G ; 连接 HB,取 HB 中点 M,连接 EM,则 EM 是 ? BPH 的中位线
? 由 (1) 知: PH ? 平面 ABCD

? EM ? 平面 ABCD
? EM ? 平面 BCF

即 EM 为三棱锥 E - BCF 底面上的高
EM= 1 2 PH ? 1 2

S ? BCF ?

1 2

FC ? BG

= 1 ?1?
2

2 ?

2 2

………………………………………………………………………6 分

V E ? BCF ? ? ? 1 3 2 12 ? 2 2

1 3 ?

? S BCF ? EM 1 2

………………………………………………………………………………………………………………………8 分 (3) :取 AB 中点 N,PA 中点 Q,连接 EN,FN,EQ,DQ
? AB // CD , CD ? 平面 PAD ? AB ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD ? AB ? PA 又 ? EN 是 ? PAB 的中位线 ? EN // PA ? AB ? EN 又 ? DF ? 1 2 ? 四边形 NADF 是距形 ? AB ? FN EN ? FN ? N AB

? AB ? 平面 NEF 又 EF ? 平面 NEF ? EF ? AB ? 四边形 NADF 是距形 ? AB ? NF NF ? NE ? N ? AB ? 平面 NEF

…………………………………………………………………………………………………………………13 分


赞助商链接

广东高考文科数学立体几何分类历年真题加解析_图文

广东高考文科数学立体几何分类历年真题加解析 - 1、(2011?广东文数)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为 它的对角线,那么一个正五...

2016广东高考文数大二轮 专项训练:立体几何

2016 广东高考文数大二轮 专项训练立体几何 2016 年广东省高考将采用全国卷,下面是近三年全国卷的高考试题及 2015 届广东省部分地区 的模拟试题,供同学们在复习时...

广东近五年高考理科数学立体几何试题及答案汇编

广东近五年高考理科数学立体几何试题及答案汇编_高考_高中教育_教育专区。广东近五年高考理科数学立体几何试题及答案汇编,近五年全国卷文科数学立体几何,近五年高考卷1...

2010--2011广东省高考数学模拟试题专题分类汇编---立体...

2010--2011广东省高考数学模拟试题专题分类汇编---立体几何 隐藏>> 金太阳新课标...27 13 2. (2010 年 3 月广东省广州市高三一模数学理科试题)设一地球仪的球...

广东2015年高考数学理试题分类汇编:立体几何_图文

广东2015年高考数学试题分类汇编:立体几何 - 广东省各市 2015 年高考一模数学试题分类汇编 立体几何 一、选择题 1、(2015 届广州市)已知某锥体的正视图和侧...

广东省各市2015年高考数学一模试题分类汇编 立体几何 ...

广东省各市2015年高考数学一模试题分类汇编 立体几何 理_数学_高中教育_教育专区。广东省各市 2015 年高考一模数学试题分类汇编 立体几何一、选择题 2 3 1、(...

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...

广东省 13 市 2015 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 立体几何一、选择、填空题 1、(潮州市 2015 届高三)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的...

广东省各地2012高考数学月考联考模拟最新分类汇编12 立...

广东省各地2012高考数学月考联考模拟最新分类汇编12 立体几何3 理 - 亿库教育网 http://www.eku.cc 2012 广东省各地月考联考模拟最新分类汇编(理) : 立体几何...

广东省各地2012高考数学月考联考模拟最新分类汇编12 立...

广东省各地2012高考数学月考联考模拟最新分类汇编12 立体几何2 理 - 亿库教育网 http://www.eku.cc 2012 广东省各地月考联考模拟最新分类汇编(理) : 立体几何...

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:立体几何[来源:学优高考网2870784]_数学_高中教育_教育专区。广东省 13 市 2015 届高三上学期期末考试数学...