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2010高考数学易错题解题方法大全(5)

时间:2010-11-20


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2010 高考数学易错题解题方法大全(5)
【范例 1】已知命题 p : ?x ∈ R , x + 2ax + a ≤ 0 .若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值 】
2

范围是(

) B. a ≤ 0或a ≥ 1 C. 0 ≤ a ≤ 1 D. 0 < a < 1

A. a < 0或a > 1

答案:D 错解分析】 【错解分析】此题容易错选为 B,错误的原因是没有很好的利用原命题与其否命题的关系。 【解题指导】命题 p 是假命题 ? ┓ p 是真命题 ? 对任意 x ∈ R , x + 2ax + a > 0 恒成立 解题指导】
2

? ? = 4 a 2 ? 4a < 0 ? 0 < a < 1 .
是假命题,则 x 的取值范围是( 【练习 1】若 x ∈ [ 2,5] 或 x ∈ x x < 1或x > 4 ” 】 “ A. (? ∞,1) ∪ (5,+∞ ) B. [4,5) C. [1,) 2

{

}



D.

(? ∞,4] ∪ (5,+∞ )

若函数 f ( x) = 【范例 2】 】

k ? 2x (a为常数 ) 在定义域上为奇函数, k的值为( 则 1+ k ? 2x
C. ± 1 D. 0



A. 1 答案:C

B. ? 1

【错解分析】此题容易错选为 A,错误原因是直接利用了 f (0) = 0 ,万万不可。 错解分析】

k ? 2x k ? 2? x 解题指导】 + 【解题指导】利用定义: f ( ? x) + f ( x) = 0 , f ( x) + f ( ? x) = 1 + k ? 2 x 1 + k ? 2? x
仔细化简到底。 【练习 2】已知函数 f (x) 是定义在 ( ? 3 , 3 ) 上的奇函数,当 0 < x < 3 时, f (x) 的图象如图 】 所示,则不等式 f / ( x) cos x < 0 的解集是 A. ( ? 3 , ? B. ( ? ( ) y

π
2

) U ( 0 ,1) U (

π π
2 2

,3) ,3)

π
2

, ?1) U ( 0 ,1) U (

. 。
O



1

2

3

x

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C. (

π

, 2) U (?2, ? ) 2 2

π

D. (0,

π

2

) U (?

π
2

, 0)

2 【 范例 3】 右图是由所输入的 x 值计算 y 值的一个算法程序,若 x 依次取数列 n + 4 】 n

{

}

( n ∈ N* , ≤2009) n 的项, 则所得 y 值中的最小值为 (



Read x If x<5 Then y← x2+1 Else y←5x Print y

A.25

B.17

C.

20

D. 26

答案:B 【错解分析】此题容易错选为 A,错误原因是没有理解 x 的取值范围。 错解分析】

?x 2 + 1 x < 5 n2 + 4 4 = n + ≥ 4 ,又 y = ? 作出其图象,观察单调性可知当 解题指导】 【 解题指导】 n n x≥5 ? 5x
本题在新的情境中考查学生算法语言,是比较好的创新能力试题,值得重视. )A.624 【练习 3】根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 T 为( 】 T←1 I←3 B.625 While I<50 C.676 D.1275 T←T +I I←I +2 End While 【 范 例 4 】 当 a < 1 时 , f ′( x ) = 2 x ? a ? 1 且 f (0) = a , 则 不 等 式 f ( x ) < 0 的 解 集 是 Print T ( )

x = 4 时最小 17.

A. ? x x <

? ?

a + 1? ? 2 ?

B.

{ x 1 < x < a}

C.

{x x < a或x > 1} D.

{x | a < x < 1}

答案:D 【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是忘记了条件 a < 1 。 错解分析】 【解题指导】 f ( x ) = x 2 ? ( a + 1) x + a = ( x ? 1)( x ? a ) < 0 . 解题指导】 【 练习 4】曲线 y = x ln x 在 M (e, e) 处的切线在 x, y 轴上的截距分别为 a, b ,则 a + b = 】 ( ) A. ?

3 e 2

B. ?

1 e 2

C.

1 e 2

D.

3 e 2
b 有实根的 x

【范例 5】利用计算机在区间 ( 0,1) 上产生两个随机数 a 和 b ,则方程 x = 2 a ? 】

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概率为( A.0 答案:B

) B.
1 2

C.

3 4

D.1

此题容易出现的错误很多, 主要是对方程 x = 2 a ? 【错解分析】 错解分析】 和利用作图计算几何概型理解不好。 【解题指导】方程 x = 2 a ? 解题指导】

b 有实根进行有效的转化, x

b 2 有实根等价于 x ? 2 a x + b = 0 的判别式 ? ≥ 0 ,即 a ≥ b x

由?

?0 < a < 1 ,可作出正方形,应满足的条件为 a ≥ b ,画图计算面积之比. ?0 < b < 1

【练习 5】一只蚂蚁在边长分别为 5,12,13 的三角形的边上随机爬行,则其恰在离三个顶 】 点距离都大于 1 的地方的概率为( ) A.

4 5

B.

3 5

C.

π 60

D.

π 3
n +2007

【范例 6】若数列 {an } , {bn } 、的通项公式分别是 a n = (?1) 】
?

(?1) n + 2008 ? a , bn = 2 + , n


且 a n < bn ,对任意 n ∈ N 恒成立,则常数 a 的取值范围是( A. [? 2,1) B. [? 2,+∞ ) C. [? 2,1] D.

(? ∞,1)

答案:A 错解分析】 【错解分析】此题容易错在不知道讨论奇偶性,以及 n 是偶数时,要从 2 开始。 【解题指导】当 n 是奇数时,由 a n < bn 得 a < 2 ? 解题指导】 当 n 是偶数时,由 a n < bn 得 ? a < 2 + 因此常数 a 的取值范围是 [? 2, 1) . 【练习 6】已知数列 {a n } 的通项公式是 a n = ? n + λn (其中 n ∈ N )是一个单调递减数 】
2
?

1 ,a <1; n

1 , ? a ≤ 2, a ≥ ?2 , n

列,则常数 λ 的取值范围( ) A. (-∞,1) B. (-∞,2) 【范例 7】曲线 y = 2 sin( x + 】

C. (-∞,0)

D. (-∞,3)

π
4

) cos( x ?

π
4

) 和直线在 y =
.

1 在 y 轴右侧的交点按横坐标从 2

小到大依次记为 P1, P2, P3, L ,则 P2, P4 等于 答案:

π

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【错解分析】此题容易错选为 错解分析】

π ,错误原因是想当然的认为 P2, P4 是半个周期。 2

【解题指导】 y = 1 + sin 2 x ,作出函数图象,知 P2 , P4 = T = π . 解题指导】 函数 f ( x ) = 【练习 7】 】 的最小值为

1 sin 2 x , 对于任意的 x∈R, 都有 f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x2 ) , x1 ? x2 则 2
.
α

【范例 8】幂函数 y = x ,当 α 取不同的正数时,在区间 [0,1] 上它们的图像是一族美丽的 】 曲线 (如图)设点 A(1,0), B (0,1) ,连接 AB, . 线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y = x , y = x 的图像三等分,即有 BM = MN = NA. 那么,αβ= . y B 答案:1 错解分析】 此题容易错很多, 错误的主要原因是没有考虑到借助与点 M, 【错解分析】 N 的坐标去求两个幂函数 y = x α , y = x β 。 M N x A .
α β

1 2 2 1 解题指导】 【解题指导】因为 M,N 为 A,B 的三等分点,所以 M ( , ), N ( , ) 【练 3 3 3 3
习 8】如果幂函数 y = ( m ? 3m + 3) x 】
2 m 2 ? m ?1

的图象不过原点,则 m 的取值是

2 【范例 9】 A = {x | x ? 3 x ? 10 > 0} , B = {x | a + 1 ≤ x ≤ 2a ? 1} ,U = R ,且 B ? CU A , 】

求实数 a 的取值范围 答案: ( ?∞,3]

.

【错解分析】此题容易错填 [ ?3,3] ,错误原因是漏掉考虑 A 为空集的情况。 错解分析】 【解题指导】 CU A = {x 解题指导】

x 2 ? 3x ? 10 ≤ 0} = {x ?2 ≤ x ≤ 5}

B ? CU A ? a + 1 > 2a ? 1 或 ?2 ≤ a + 1 ≤ 2a ? 1 ≤ 5 ? a ≤ 3 【练习 9】设 p :| 4 x ? 3 |≤ 1; q : ( x ? a )( x ? a ? 1) ≤ 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实 】 数 a 的取值范围是 .
【范例 10】设双曲线 x 2 ? y 2 = 1 的两条渐近线与直线 x = 】
2 围成的三角形区域(包含边界) 2 为 D,点 P ( x, y ) 为 D 内的一个动点,则目标函数 z = x ? 2 y 的最小值为 .

答案:-

2 2 3 2 ,错误原因是死记住最高点时取到最大值,最低点时取到 2

【错解分析】此题容易错填 错解分析】 最小值,而没有灵活掌握。

【解题指导】这里 z = x ? 2 y ,中间是减号,最小值在直线最高时取得。 解题指导】

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? x? y≥0 ?2 x + y ≤ 2 ? 表示的平面区域是一个三角形及其内部,则 a 的取值 【练习 10】若不等式组 ? 】 ? y≥0 ? x+ y≤a ?
范围是 .
2

已知 M 是抛物线 y 【范例 11】 】 的最小值是 答案: .

= x 上一点,N 是圆 ( x ? 3) 2 + y 2 = 1 上的动点, MN 则

11 ?1 2

【错解分析】此题容易错在没有将 MN 转化 M 为到焦点距离,以及考虑不到消元化归的 错解分析】 思想。 【解题指导】如图,设 M 是 y 解题指导】
2

= x 上一点,

| MN | + | NC |≥| MC | ,所以 MN 的最小值即为
点 M 到圆心 C 的距离减去半径 R 。 设 M (y
2

, y ) 是抛物线 y 2 = x 上一点,则

5 11 | MC | 2 = ( y 2 ? 3) 2 + y 2 = y 4 ? 5 y 2 + 9 = ( y 2 ? ) 2 + , 2 4
∴y



10 11 11 时, | MC | min = ,∴ | MN | min = ? 1. 2 2 2

x2 y2 已知曲线 ? = 1(a > 0 , b > 0) 的右焦点为 F, 若过点 F 且倾斜角为 60° 【练习 11】 】 a2 b2
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 . 【范例 12】某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3km(不超过 3km 按起 】 步价付费) ;超过 3km 但不超过 8km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8km 时,超 过部分按每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元。现某人乘坐一次出租车付 ___km. 费 22.6 元,则此次出租车行驶了__ 答案:9 错解分析】 【错解分析】此题容易错选为 10,错误原因是不能准确地列出乘坐一次出租车付费 y 与此 次出租车行驶的里程 x 之间的函数关系式。 解题指导】 【解题指导】乘坐一次出租车付费 y 与此次出租车行驶的里程 x 之间的函数关系式为

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8 +1 x ≤ 3 ? ? y = ? 8 + ( x ? 3) × 2.15 + 1 3 < x ≤ 8 ?8 + 5 × 2.15 + ( x ? 8) × 2.86 + 1 x > 8 ?
一个人喝了少量酒后, 血液中的酒精含量迅速上升到 0.3mg/mL, 在停止喝酒后, 【练习 12】 】 血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全 法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾 驶员,至少经过 小时,才能开车?(精确到 1 小时). 【范例 13】 高考数学试题中共有 10 道选择题,每道选择题都有 4 个选项,其中有且仅有 】 一个是正确的.评分标准规定:“每题只选 1 项,答对得 5 分,不答或答错得 0 分.” 某考生每 道题都给出了一个答案,已确定有 6 道题的答案是正确的,而其余题中,有两道题都可判断 出两个选项是错误的, 有一道题可以判断一个选项是错误的, 还有一道题因不理解题意只能 乱猜,试求出该考生: (1)得 50 分的概率; (2)得多少分的可能性最大; 错解分析】 【错解分析】此题容易错在审题不清,考虑不全等方面。 解: (1)得分为 50 分,10 道题必须全做对. 在其余的四道题中,有两道题答对的概率为 ,有一道题答对的概率为 ,还有一 道答对的概率为 ,所以得分为 50 分的概率为:P= ? ? ? =
1 4
1 1 1 1 2 2 3 4 1 . 48

1 2

1 3

(2)依题意,该考生得分的范围为{30,35,40,45,50}. 得 分 为 30 分 表 示 只 做 对 了 6 道 题 , 其 余 各 题 都 做 错 , 所 以 概 率 为 :
P = 1 1 1 2 3 6 1 ? ? ? = = ; 2 2 3 4 48 8
1 同样可以求得得分为 35 分的概率为: 2 = C2 ? ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? = P

1 1 2 3 2 2 3 4

1 1 1 3 2 2 3 4

1 1 2 1 2 2 3 4

17 ; 48

得分为 40 分的概率为: P3 = 得分为 45 分的概率为: P4 = 得分为 50 分的概率为: P5 =

17 ; 48 7 ; 48 1 . 48

所以得 35 分或得 40 分的可能性最大. 【练习 13】某会议室用 3 盏灯照明,每盏灯各使用节能灯棍一只,且型号相同。假定每盏 】 灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关,该型号的灯棍寿命为 1 年以上的概率为 0.8,寿命为 2 年以上的概率为 0.3,从使用之日起每满 1 年进行一次灯棍更换工作,只更换已坏的灯棍, 平时不换。 (1)在第一次灯棍更换工作中,求不需要更换灯棍和更换 2 只灯棍的概率; (2)在第二次灯棍更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该灯需要更换灯棍的概率; 【范例 14】已知椭圆 C1 : 】

x2 y 2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,直线 l : y = x + 2 与以原 2 a b 3

点为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆 C1 的方程;

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(2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1 ,右焦点 F2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线

l2 垂直 l1 于点 P ,线段 PF2 垂直平分线交 l2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C2 的方程; uuu r uuu uuu r r (3)设 C2 与 x 轴交于点 Q ,不同的两点 R, S 在 C2 上,且满足 QR ? RS = 0, 求 QS 的
取值范围. 错解分析】 【错解分析】直线与圆锥曲线的题目本身运算量就大,所以大家 应该从全局入手,确定方 法在下手,不能盲目去写,那样只能做无用功。 解(1)∵ e =

3 c2 a 2 ? b2 1 ,∴ e2 = 2 = = ,∴ 2a 2 = 3b 2 2 3 a c 3 ∵直线 l : x ? y ? 2 = 0与圆x 2 + y 2 = b 2 相切, 2 ∴ = b,∴ b = 2 , b 2 = 2 ∴ a 2 = 3 2 x2 y2 ∴椭圆 C1 的方程是 + =1 3 2

(2)∵MP=MF2, ∴动点 M 到定直线 l1 : x = ?1 的距离等于它到定点 F1(1,0)的距离,即动点 M 的轨迹 是 C 为 l1 准线,F2 为焦点的抛物线 ∴点 M 的轨迹 C2 的方程为 (3)Q(0,0) ,设 R (

y 2 = 4x

y12 y2 , y1 ), S ( 2 , y 2 ) 4 4 2 2 2 y y ? y1 ∴ QR = ( 1 , y1 ), RS = ( 2 , y 2 ? y1 ) 4 4 2 y12 ( y 2 ? y12 ) ∵ QR ? RS = 0 ∴ + y1 ( y 2 ? y1 ) = 0 16 16 ∵ y1 ≠ y 2 , y1 ≠ 0 ,化简得 y 2 = ?( y1 + ) y1 256 2 2 ∴ y 2 = y1 + 2 + 32 ≥ 2 256 + 32 = 64 y1 256 2 2 当且仅当 y1 = 2 , y1 = 16, y1 = ±4 时等号成立 y1
∵ | QS |=
2

(

2 y2 2 1 2 2 2 ) + y2 = ( y 2 + 8) 2 ? 64,又 Q y 2 ≥ 64 4 4

∴当 y 2 = 64, y 2 = ±8时,QS | min = 8 5,故 | QS | 的取值范围是 [8 5 ,+∞) | 设动点 P ( x , y ) ( y ≥ 0) 到定点 F (0, 1) 的距离比它到 x 轴的距离大 1, 记点 P 的 【练习 14】 】 轨迹为曲线 C . (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设圆 M 过 A (0, 2) ,且圆心 M 在曲线 C 上, EG 是圆 M 在 x 轴上截得的弦,试 探究当 M 运动时,弦长 EG 是否为定值?为什么?

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P 状元源 http://zyy100.com/ 免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下 载 【范例 15】如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 a 的菱 】 形, ∠DAB = 60 , PD ⊥ 平面 ABCD , PD = AD .
o

(1)求直线 PB 与平面 PDC 所成的角的正切值; (2)求二面角 A-PB-D 的大小. A 然后去证 【错解分析】 错解分析】交代清楚哪个角是我们要找的角, 明,是大家容易忘记的地方,而不能只有计算的结果。 解: (1)取 DC 的中点 E.

D

C

B

∵ABCD 是边长为 a 的菱形, ∠DAB = 60 o ,∴BE⊥CD. ∵ PD ⊥ 平面 ABCD , BE ? 平面 ABCD ,∴ PD ⊥ BE. ∴BE⊥平面 PDC.∠BPE 为求直线 PB 与平面 PDC 所成的角. ∵BE=
3 5 BE 15 a ,PE= a ,∴ tan ∠BPE = = . 2 2 PE 5

(2)连接 AC、BD 交于点 O,因为 ABCD 是菱形,所以 AO⊥BD.

∵ PD ⊥ 平面 ABCD , AO ? 平面 ABCD , ∴ AO ⊥ PD. ∴AO⊥平面 PDB.
作 OF⊥PB 于 F,连接 AF,则 AF⊥PB. 故∠AFO 就是二面角 A-PB-D 的平面角.

∵AO=

3 2 AO a ,OF= a ,∴ tan ∠AFO = = 6 .∴ ∠AFO = arctan 6 . 2 4 OF

在正三角形 ABC 中, F、 分别是 AB、 BC 边上的点, E、 P AC、 满足 【练习 15】 】

AE CF CP 1 = = = EB FA PB 2

(如图 1).将△AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置,使二面角 A1-EF-B 成直二面角,连结 A1B、 A1P(如图 2) (1)求证:A1E⊥平面 BEP; (2)求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小; (3)求二面角 B-A1P-F 的大小(用反三角函数表示).

A

A1

E


F

E F

B
图1

P

C

B 图2





练习题参考答案:

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1.C

2.C

3.B

4.B

5.A

6.D

7.

π
2

8.1

9. [0, ]

1 2

10.

0 < a ≤ 1或a ≥

4 3

11.

[2 , + ∞ )

12. 5

13. 解: (1)设在第一次更换灯棍工作中,不需要更换灯棍的概率为 P2,需要列换 2 只灯 棍的概率为 p2 则

P1 = 0.8 3 = 0.152
P2 = C 32 0.8(1 ? 0.8) 2 = 0.096
(2)假设该盏灯需要更换灯棍的概率为 p,对该盏灯来说,设在第 1,2 次都更换了灯棍的 概率为 p3 ;在第一次未更换灯棍而在第二次需要更换灯棍的概率为 p 4 则 p = p3 + p 4 = (1 ? 0.8) + 0.8(1 ? 0.3) = 0.6;
2

14. (1) 解: 依题意知, 动点 P 到定点 F (0, 1) 的距离等于 P 到直线 y = ?1 的距离, 曲线 C 是以原点为顶点, F (0, 1) 为焦点的抛物线 ∵ ∴

p =1 2

∴p=2

曲线 C 方程是 x 2 = 4 y

(2)设圆的圆心为 M ( a, b) ,∵圆 M 过 A (0, 2) , ∴圆的方程为
2

( x ? a )2 + ( y ? b)2 = a 2 + (b ? 2)2

令 y = 0 得: x ? 2ax + 4b ? 4 = 0 设圆与 x 轴的两交点分别为 ( x1 , 0) , ( x2 , 0) 方法 1:不妨设 x1 > x2 ,由求根公式得

x1 =

2a + 4a 2 ? 16b + 16 2a ? 4a 2 ? 16b + 16 , x2 = 2 2
4a 2 ? 16b + 16
2

∴ x1 ? x2 =

又∵点 M ( a, b) 在抛物线 x 2 = 4 y 上,∴ a = 4b , ∴ x1 ? x2 = 16 = 4 ,即 EG =4 ∴当 M 运动时,弦长 EG 为定值 4

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〔方法 2:∵ x1 + x2 = 2a , x1 ? x2 = 4b ? 4 ∴

( x1 ? x2 ) 2 = ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 = (2a ) 2 ? 4(4b ? 4) = 4a 2 ? 16b + 16
2
2 2

又∵点 M ( a, b) 在抛物线 x = 4 y 上,∴ a = 4b , ∴ ( x1 ? x2 ) = 16 ∴当 M 运动时,弦长 EG 为定值 4〕 15.解:不妨设正三角形 ABC 的边长为 3,则 (1)在图 1 中,取 BE 中点 D ,连结 DF , 则∵

x1 ? x2 = 4

AE CF CP 1 = = = , EB FA PB 2
0

∴ AF = AD = 2 而 ∠A = 60 ,即△

ADF 是正三角形 又∵ AE = ED = 1 , ∴ EF ⊥ AD
∴在图 2 中有 A1 E ⊥ EF , BE ⊥ EF , ∴ ∠A 1 EB 为二面角 A 1? EF ? B 的平面角 ∵二面角 A 1? EF ? B 为直二面角, ∴ A1 E ⊥ BE 又∵ BE I EF = E , ∴ A1 E ⊥平面 BEF ,即 A1 E ⊥平面 BEP .

(2)由(1)问可知 A1E⊥平面 BEP,BE⊥EF,建立如图的坐标系,则E(0,0,0) 1 ,A (0,0,1)B(2,0,0) ,F(0,0, 3 ).在图1中,不难得到EF//DP 且EF=DP; DE// FP 且DE=FP 故点P的坐标P(1, 3 ,0) ∴ A1 B = (2, 0, ?1) , BP = ( ?1, 3, 0) , EA 1 = (0, 0,1)

uuuu r

uuu r

uuuu r

uuuu uu r r ? A1B ? n 1 = 2 x ? z = 0 uu r ? 不妨设平面 A1BP 的法向量 n 1 = ( x, y, z ) ,则 ? uuu uu r r ? BP ? n 1 = x ? 3 y = 0 ? uu uuuu r r uu r uu uuuu r r n 1 ? EA1 6 3 r uuuuu = r 令 y = 3 得 n 1 = (3, 3,6) ∴ cos < n 1 , EA1 >= uu = 2 | n 1 | ? | EA1 | 1× 4 3
故直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小为

π
3

.

(3) (2) 由 问可知平面 A1BP 的法向量 n 1 = (3, 3,6) ,A1 F = (0, 3, ?1) , = (1, 0, 0) FP

uu r

uuuu r

uuu r

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uuuu uur r ? A1F ? n 2 = 3 y ? z = 0 uu r ? 设平面 AEP 的法向量 n 2 = ( x, y, z ) ,则 ? uuu uu r r ? BP ? n 1 = x = 0 ? uu uur r uu uur r uu r n1 ? n 2 21 7 r uu = r 令 y = 3 得 n 2 = (0, 3,3) 故 cos < n 1 , n 2 >= uu = | n1 | ? | n 2 | 4 3 × 2 3 8
显然二面角 B-A1P-F 为钝角 故二面角 B-A1P-F 为 π ? arccos

7 . 8

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