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4、1、2圆的一般方程教案

时间:2012-04-16


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4、1、2 圆的一般方程
学案编写者:黄冈实验学校数学教师孟凡洲

课前练习 方程 x + y ? 2 x + 4 y + 1 = 0 表示什么图形?(圆)
2 2 2 2

方程 x + y ? 2 x ? 4 y + 6 = 0 表示什么图形?(不表示任何图形) 一、 【学习目标】 1、圆的一般方程的代数特征,会用待定系数法求圆的一般方程; 2、理解求轨迹方程的步骤,掌握求轨迹方程的一般方法. 【教学效果】 :教学目标的给出,有利于学生整体把握课堂. 二、 【自学内容和要求及自学过程】 121页内容,回答问题(圆的一般方程) 1、阅读教材 121-122 页内容,回答问题(圆的一般方程) <1>方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 在什么条件下表示圆? 结论:<1>因为我们学习了圆的标准方程,根据圆的标准方程的特点, 结论 来讨论上述二元二次方程什么条件下表示圆.首先我们配方可得
( x + D / 2) 2 + ( y + E / 2) 2 = ( D 2 + E 2 ? 4 F ) / 4 .所以, 当 D
2

+ E 2 ? 4 F >0 时, 比

较圆的标准方程,表示以(-D/2,-E/2)为圆心,以 0.5 D 2 + E 2 ? 4 F 为半 径圆长的圆; 当 D 2 + E 2 ? 4 F =0 时,方程只有一个解,x=-D/2,y=-E/2, 它表示一个点(-D/2,-E/2); 当 D 2 + E 2 ? 4 F <0 时,方程没有实数解, 它不表示任何图形.因此,当 D 2 + E 2 ? 4 F >0 时,上述二元一次方程表示 一个圆,叫做圆的一般方程. 思考:圆的标准方程和一般方程各有什么特点? 思考 结论:圆的一般方程的特点: x 2、 y 2 的系数相同,没有 xy 这样的二次 结论 项.圆的一般方程中有三个待定系数 D、 F, E、 因此只要求出来这三个系数, 圆的方程就明确了.与圆的标准方程相比,它是一种特殊的二元二次方程, 代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征明 显. 练习一:教材 123 页练习 1、2(注意练习 2,判断方程是否是圆的方程 练习一 我们要用的方法). 【教学效果】 :注意一般方程的特征. 2、题型总结(待定系数法,求轨迹方程) 题型总结(待定系数法,求轨迹方程) <2>请同学们自学教材例 4,总结待定系数法求圆的方程的步骤; <3>请同学们自学教材例 5,总结求轨迹方程的步骤. 结论:<2>待定系数法求圆的方程的大致步骤是 根据题意,选择标准 结论 方程或者一般方程; 根据题意列出关于 a,b,r 或 D,E,F 的方程组; 解
新课标人教 A 版数学教案 编写者:孟凡洲 QQ:191745313 1

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出 a,b,r 或 D,E,F, 代入标准方程或一般方程; <3>求轨迹方程的一般步骤: 建立适当的坐标系,用有序数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标; 写出适合条件的点 M 的集合; 列出方程 f(x,y)=0;④化方程 f(x, y)=0为最简形式;⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. . 练习二: 教材123页练习3; 教材124页习题4.1第1、3小题. 练习二 【教学效果】 :熟练求轨迹方程的步骤. 3、附加知识点(点圆关系) 附加知识点(点圆关系 <4>由圆的一般方程判断点与圆的关系. 结论:<4>设点 M ( x0 , y0 ) ,圆的方程为 x + y + Dx + Ey + F = 0 ,
2 2

若点 M 在圆外,则 x0 + y0 + Dx0 + Ey0 + F >0; 若点 M 在圆上,则有
2 2
2 2 2 则 2 x0 + y0 + Dx0 + Ey0 + F =0; 若点 M 在园内, x0 + y0 + Dx0 + Ey0 + F <0.

【教学效果】 :练习圆的标准方程讲解. 三、作业 1、必做题:教材第124页习题4.1A 组第1题,B 组第2题; 必做题
2 选做题: 2、 选做题 已知圆 M 经过抛物 y = x + 2 x ? 1 与两坐标轴的所有交点,

求圆 M 的标准方程. 四、小结 本节课主要学习了圆的一般方程,要求学生掌握待定系数法和求轨迹 方程的方法. 五、反思 本节课内容比较多, 要做好课前准备, 引导学生做好预习.掌握求轨迹 方程的步骤.

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