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【数学】1.2.1《任意角的三角函数(2)》课件(新人教B版必修4)

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1.2.1三角函数的定义(二) 三角函数的定义( 三角函数的定义

1. 三角函数的定义: 三角函数的定义: 是一个任意角, 的终边上任取(异于 设α是一个任意角,在α的终边上任取 异于 是一个任意角 的终边上任取 原点的)一点 原点的 一点P(x, y),则P与原点的距离为 一点 , 与原点的距离为
r= x + y
2 2

= x +y >0
2 2

,比值

的大小有关. 角α的大小有关 的大小有关
y sin α = r
x cot α = y
x cos α = r
r sec α = x

x y y , , r r x

只与

y tan α = x
r csc α = y

以上六种函数,统称为三角函数 以上六种函数,统称为三角函数.

2. 三角函数在各象限内的符号 角α是“任意角”, 由三角函数定义可知, 是 任意角” 由三角函数定义可知, 是随角α所在的 由于P(x, y)点的坐标 y的正负是随角 所在的 点的坐标x, 由于 点的坐标 的正负是随角 象限的变化而不同,所以三角函数的符号应 象限的变化而不同,所以三角函数的符号应 的变化而不同 三角函数的符号 所在的象限确定 由角α所在的象限确定 所在的象限确定.

当角α在第一象限时 由于 当角 在第一象限时,由于x>0,y>0,所以 , , sinα>0,cosα>0,tanα>0,cotα>0, , , , , secα>0,cscα>0. , 当角α在第二象限时 由于 当角 在第二象限时,由于x<0,y>0,所以 , , sinα>0,cosα<0,tanα<0,cotα<0, , , , , secα<0,cscα>0. ,

当角α在第三象限时 由于 当角 在第三象限时,由于x<0,y<0,所以 , , sinα<0,cosα<0,tanα>0,cotα>0, , , , , secα<0,cscα<0. , 当角α在第四象限时,由于x>0,y<0,所以 当角 在第四象限时 由于 , , sinα<0,cosα>0,tanα<0,cotα<0, , , , , secα>0,cscα<0. ,

y

+ + O _ _

_
x

y

+
O

_
x

y

_

O

+
sinα>0 cosα>0 tanα>0 cotα>0 sinα<0 cosα>0 tanα<0 cotα<0

+

+ _

x

sinα与cscα的符号 与 的符号

cosα与secα的符号 tanα与cotα的符号 与 与 的符号 的符号

sinα>0 cosα<0 tanα<0 cotα<0 sinα<0 cosα<0 tanα>0 cotα>0

确定下列三角函数值的符号:? 例1. 确定下列三角函数值的符号 ? π (1)cos250?; ) (2)sin( ? 4 ) )
11π ;(4) (3)tan(-672?);( ) tan( ) ) - ;( 3

1)250?在第三象限 所以cos250?<0. 在第三象限, 解: (1)250?在第三象限,所以cos250?<0. (2) - 4 在第四象限,所以 在第四象限,所以sin(- 4 )<0. - (3) -672?在第一象限,所以 在第一象限, 在第一象限 所以tan(-672?)>0. - (4)
11π 3
11π 在第四象限,所以tan( 3 )<0. 在第四象限,所以

π

π

例2.设sinθ<0且tanθ>0,确定 是第几象限的 设 且 ,确定θ是第几象限的 角。 解:因为sinθ<0,所以 可能是第三、四象限 可能是第三、 因为 ,所以θ可能是第三 的角, 可能是第一、 的角,又tanθ>0,θ可能是第一、三象限的角, , 可能是第一 三象限的角, 综上所述, 是第三象限的角 是第三象限的角。 综上所述,θ是第三象限的角。

若三角形的两内角α 满足sinα β , 例3.若三角形的两内角α,β满足 αcosβ<0, 若三角形的两内角 则此三角形必为( 则此三角形必为( B ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上三种情况都可能

是第三象限角, 例4.若α是第三象限角,则下列各式中不成 若 是第三象限角 立的是( 立的是( B ) A. sinα+cosα<0 α α C. cosα? α<0 α?cotα α? B. tanα? α<0 α?sinα α? D. cotαcscα<0 α α

?1? < 1 ,则θ为第几象限角? 为第几象限角? 例5.已知 ? ? 已知 ? 2 ? sin 2? ?1? < 1 所以 解:因为 ? ? ,所以sin2 θ>0, ?2?
2kπ<2 则2kπ<2θ<2kπ+π, kπ<θ<kπ+ 是第一或第三象限角. 所以θ是第一或第三象限角
π
2

sin 2?

练习
1.函数 函数y= 函数
| sin x | sin x
cos x + | cos x |

+

| tan x | 的值域是 tan x

(C )

(A) {-1,1} - , (C) {-1,3} - ,

(B) {-1,1,3} - , , (D) {1,3} ,

2.已知角 的终边上有一点 -4a, 3a)(a≠0),则 已知角θ的终边上有一点 已知角 的终边上有一点P(- 则 2sinθ+cosθ的值是 ( 的值是
2 (A) 5
2 2 (C) 或 - 5 5

) C
5

(B) - 2 (D) 不确定

A A 3. 设A是第三象限角,且|sin |= -sin ,则 是第三象限角, 是第三象限角 则 2 2

A 是(D ) 2

(A)第一象限角 (A)第一象限角 (C)第三象限角 第三象限角

(B) 第二象限角 (D) 第四象限角

4. sin2·cos3·tan4的值 ( B 的值 (A)大于 大于0 大于 (C)等于 等于0 等于

)

(B)小于 小于0 小于 (D)不确定 不确定

5.若sinθ·cosθ>0, 则θ是第 若 > 是第

一、三 象限的角

6.

23 13 sin(- 6 π)+cos 7 π·tan4π -

-cos

13 π= 3

.0

7.已知 -2,y)是角 终边上一点,且sinθ= 已知P(- , 是角 终边上一点, 是角θ终边上一点 已知 -
5 ,求cosθ的值 的值. 求 5 的值

是角θ终边上一点 解:∵P(-2, y)是角 终边上一点 r= - 是角 终边上一点,
5 sin θ = =? 5 4 + y2 y

4 + y2

解得y=-1. 解得 -

2 5 所以cosθ= - . 所以 5


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