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高考数学(理)一轮复习讲练测:专题8.8 立体几何中的向量方法(Ⅱ)-求空间角与距离(练)答案解析_图文

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高考数学讲练测【新课标版】 【练】 A 基础巩固训练 ) 1.平面 α 的一个法向量为 n=(1,- 3,0)则 y 轴与平面 α 所成的角的大小为( π A. 6 【答案】B π B. 3 π C. 4 5π D. 6 2.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M,N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点,则直线 AM 与 CN 所成角 α 的余弦值为( ) 图 7-7-11 2 A. 5 C. 21 5 1 B. 5 2 6 D. 5 【答案】A 【解析】以点 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立 如图所示的空间直角坐标系. 3 .如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4 , E、F 分别是 AB、AD 的中点, GC ⊥平面 ABCD ,且 GC ? 2 ,则点 B 到平面 EFG 的距离为 A. 10 10 B. 2 11 11 C. 3 5 D.1 【答案】B 【解析】 试题分析:以 C 为原点 CD 为 x 轴 CB 为 y 轴 CG 为 z 轴建立空间坐标系, ? F ? 4, 2, 0 ? , E ? 2, 4, 0 ? , G ? 0, 0, 2 ? ? FE ? ? ?2, 2, 0 ? , EG ? ? ?2, ?4, 2 ? 所以平面 EFG 的一个法向量为 m ? ? 1,1, 3 ? ? d ? BE m m ? 2 11 . 11 4.如图,平面 ABCD⊥平面 ABEF,四边形 ABCD 是正方形,四边形 ABEF 是矩形,且 AF= 1 AD=a,G 是 EF 的中点,则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为( 2 ) A. C. 6 6 6 3 B. D. 3 3 2 3 【答案】C 5.过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD,若 AB=PA,则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为( A.30° C.60° 【答案】B 【解析】建立如图所示空间直角坐标系,设 AB=PA=1,知 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0), C(1,1,0),P(0,0,1) ) B.45° D.90° 由题意,AD⊥平面 ABP,设 E 为 PD 的中点,连接 AE,则 AE⊥PD, → → 又∵CD⊥平面 PAD,∴AE⊥CD,又 PD∩CD=D,∴AE⊥平面 CDP.∴AD=(0,1,0),AE= 1 1 (0, , ) 2 2 → → 分别是平面 ABP,平面 CDP 的法向量,而〈AD,AE〉=45° , ∴平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为 45° . B 能力提升训练(满分 70 分) 1. 【四川卷】如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 O 为线段 BD 的中点.设点 P 在线 段 CC1 上,直线 OP 与平面 A1 BD 所成的角为 ? ,则 sin ? 的取值范围是( A. [ ) 3 ,1] 3 B. [ 6 ,1] 3 C. [ 6 2 2 , ] 3 3 D. [ 2 2 ,1] 3 【答案】B 2.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90° ,2AC=AA1=BC=2.若二面角 B1-DC -C1 的大小为 60° , 则 AD 的长为_______. 【答案】 2 3.已知点 E、 F 分别在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1, CC1 上, 且 B1E=2EB, CF=2FC1, 则面 AEF 与 面 ABC 所成的二面角的正切值为________. 【答案】 2 3 1 1,1, ?, 【解析】如图,建立直角坐标系 D-xyz,设 DA=1 由已知条件 A(1,0,0),E? 3? ? 2 0,1, ?, F? 3? ? 4.在三棱锥 O-ABC 中,三条棱 OA,OB,OC 两两垂直,且 OA=OB=OC,M 是 AB 边的 中点,则 OM 与平面 ABC 所成角的正切值是________. 【答案】 2 【解析】 如图所示建立空间直角坐标系, 设 OA=OB=OC=1, 则 A(1,0,0), B(0, 1,0), C(0,0,1), 1 1 ? M? ?2,2,0?, 1 1 ? 故AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),OM=? ?2,2,0?. 设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z), → → → ? ?n⊥AB, 则由? → ? ?n⊥AC, → ? ?-x+y=0, 得? ?-x+z=0, ? → 令 x=1,得 n=(1,1,1).故 cos〈n,OM〉= 1 3× 2 2 = 6 , 3 所以 OM 与平面 ABC 所成角的正弦值为 6 ,其正切值为 2. 3 5.【山东卷】如图,在三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2 DE , G , H 分别为 AC , BC 的中点. (Ⅰ)求证: BD / / 平面 FGH ; (Ⅱ)若 CF ? 平面 ABC , AB ? BC , CF ? DE 面 ACFD 所成的角(锐角)的大小. 【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 60 . , ?BAC ? 45 ,求平面 FGH 与平 可得 H ? ? 2 2 ? ? 2 , 2 ,0? ? , F 0, 2,1 ? ? ? ? ? 故 GH ? ? ? 2 2 ? ? 2 , 2 ,0? ? , GF ? 0, 2,1 ? ? ? 设 n ? ? x, y , z ? 是平面 FGH 的一个法向量,则 由? ?n ? GH ? 0, ? ? ?n ? GF ? 0, 可得 ? ? ?x ? y ? 0 ? ? 2y ? z ? 0 可得平面 FGH 的一个法向量 n ? 1, ?1, 2 ? ? ?

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