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数列的通项公式的求法以及典型习题练习

时间:2018-07-02


数列解题方法与学习顺序 第一累加法 1.适用于: a n ? 1 ? a n ? f ( n ) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2.若 a n ? 1 ? a n ? f ( n ) ( n ? 2 ) ,
a 2 ? a 1 ? f (1)



a3 ? a2 ? f (2) ? ? a n ?1 ? a n ? f ( n )
n

两边分别相加得 a n ? 1 ? a 1 ?

?
k ?1

f (n )

例 1 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? a n ? 2 n ? 1, a 1 ? 1 ,求数列 { a n } 的通项公式。

例 2 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? a n ? 2 ? 3 ? 1, a 1 ? 3 ,求数列 { a n } 的通项公式。
n

练 习 1. 已 知 数 列 答案: n ? n ? 1
2

?an ?

的首项为 1,且

a n ?1 ? a n ? 2 n ( ? N n

*

)

写出数列

?an ?

的通项公式.

练习 2.已知数列

{a n }

满足 a 1 ? 3 ,
1 n

a n ? a n ?1 ?

1 n ( n ? 1)

(n ? 2)

,求此数列的通项公式.

答案:裂项求和

an ? 2 ?

累乘法 二、累乘法 1.适用于: a n ? 1 ? f ( n ) a n ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。
a n ?1 an ? f ( n ) ,则 a2 a a ? f (1), 3 ? f ( 2 ), ? , n ? 1 ? f ( n ) ? a1 a2 an

2.若

1

两边分别相乘得,

a n ?1 a1

? a1 ? ? f ( k )
k ?1

n

例 3 已知数列 a n ? a n ? 1 .

n n ?1

, a 1 ? 2 ,求数列的通项公式。
n

例 4 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? 2 ( n ? 1)5 ? a n, a 1 ? 3 ,求数列 { a n } 的通项公式。 例 5.设 ?a n ? 是首项为 1 的正项数列,且
an

?n

? 1 ?a n ? 1 ? na
2

2 n

? a n ?1 a n ? 0

( n =1,2, 3,…) ,则它的通项公式是

=________.

三、待定系数法 适用于 a n ? 1 ? q a n ? f ( n ) 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 1.形如
a n ? 1 ? ca ? d , (c ? 0

n

,其中 a 1 ? a )型

(1)若 c=1 时,数列{

an

}为等差数列;

(2)若 d=0 时,数列{

an

}为等比数列;

a (3)若 c ? 1且d ? 0 时,数列{ n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

待定系数法:设
a n ? 1 ? ca

a n ?1 ? ? ? c ( a n ? ? )

,
? d,



n

? ( c ? 1) ?

,与题设
d

a n ? 1 ? ca

n

比较系数得
d c ?1 d c ?1

( c ? 1) ? ? d

? ?

,所以

c ?1

, (c ? 0)

所以有:

an ?

? c ( a n ?1 ?

)

d ? ? d a1 ? ?a n ? ? c ? 1? c ? 1 为首项,以 c 为公比的等比数列, 因此数列 ? 构成以

所以

an ?

d c ?1

? (a1 ?

d c ?1

)?c

n ?1

即:

a n ? (a1 ?

d c ?1

)?c

n ?1

?

d c ?1.

2

规律: 将递推关系

a n ?1 ? ca
d 1? c

n

? d

化为
(a1 ?

a n ?1 ?

d c ?1

? c(a n ?

d

c ? 1 ,构造成公比为 c 的等比数列

)

{a n ?

d c ?1

}

从而求得通项公式

a n ?1 ?

? c

n ?1

d c ?1

)

逐项相减法(阶差法) :有时我们从递推关系
a n ?1 ? a n ? c ( a n ? a n ?1 )

a n ?1 ? ca

n

? d

中把 n 换成 n-1 有

a n ? ca

n ?1

? d

,两式相减有
n

从而化为公比为 c 的等比数列

{ a n ?1 ? a n }

,进而求得通项公式.

a n ?1 ? a n ? c ( a 2 ? a 1 )

,

再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

例 6 已知数列 { a n } 中, a1 ? 1, a n ? 2 a n ? 1 ? 1( n ? 2 ) ,求数列 ? a n ? 的通项公式。

例 7 已知数列

{a n }

满足

a n ?1 ? 2 a n ? 4 ? 3

n ?1

, a1 ? 1

,求数列
an

?an ?

的通项公式。

例 8 在数列

{a n }

中,

a 1 ? 1, a n ? 1 ? 3 a n ? 2 n ,

求通项

.(逐项相减法)

例 9. 在数列 { a n } 中, 例 10

a1 ?

3 2

, 2 a n ? a n ?1 ? 6 n ? 3

,求通项
2

an

.(待定系数法)

已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? 2 a n ? 3 n ? 4 n ? 5, a 1 ? 1 ,求数列 { a n } 的通项公式。

例 11

已知数列

{a n }

满足

a n ? 2 ? 5 a n ? 1 ? 6 a n , a 1 ? ? 1, a 2 ? 2

,求数列

{a n }

的通项公式。

六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ?
2an an ? 2 , a 1 ? 1 ,求数列 { a n } 的通项公式。

例 12

3

例 13 已知数列 { a n } 满足 a1 ? 2, a 2 ? 3, a n ? 2 ? 3 a n ? 1 ? 2 a n ( n ? N ) ,求数列 { a n } 的通项 a n
*

解:其特征方程为 x ? 3 x ? 2 ,解得 x1 ? 1, x 2 ? 2 ,令 a n ? c1 ? 1 ? c 2 ? 2 ,
2

n

n

? c1 ? 1 ? a 1 ? c1 ? 2 c 2 ? 2 ? 由? ,得 ? 1 , ? a 2 ? c1 ? 4 c 2 ? 3 ? c2 ? ? 2

? an ? 1 ? 2

n ?1

练习 1.已知数列 { a n } 满足 a1 ? 1, a 2 ? 2, 4 a n ? 2 ? 4 a n ? 1 ? a n ? 1( n ? N ) ,求数列 { a n } 的通项
*

4


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