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平面向量的基本定理及其坐标表示(1-2课时)教学设计

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平面向量的基本定理及其坐标表示 一、教学分析 平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基 本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的 线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量 基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到 表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量 来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因. 在不共线的两个向量中 ,垂直是一种重要的特殊情形 ,向量的正 交分解是向量分解中常用且重要的一种分解 ,因为在平面上 ,如果选 取互相垂直的向量作为基底时 ,会给问题的研究带来方便 .联系平面 向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启 发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底,这时,对于平面直角坐 标系内的一个向量 a,由平面向量基本定理可知 ,有且只有一对实数 x、y,使得 a=xi+yj. 于是,平面内的任一向量 a 都可由 x、 y 唯一确定,而有序数对(x,y) 正好是向量 a 的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的 向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在 使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想. 二、教学目标 1、知识与技能: 了解平面向量的基本定理及其意义; 理解平面里的任何一个向量 都可以用两个不共线的向量来表示, 掌握平面向量正交分解及其坐标 表示。 2、过程与方法: 初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法; 能够在具体问 题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达。 3、情感态度与价值观: 通过平面向量的正交分解及坐标表示,揭示图形(向量)与代数 (坐标)之间的联系。 三、重点难点 教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面 向量的正交分解、平面向量的坐标表示. 教学难点:平面向量基本定理的运用. 四、教学设想 (一)导入新课 思路 1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量 的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以 分解成两个不同方向的分力之和 .将这种力的分解拓展到向量中来 , 会产生什么样的结论呢?又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向 下的重力 G,可分解为使物体沿斜面下滑的力 F1 和使物体垂直于斜面 且压紧斜面的力 F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的 速度为 v,可分解为沿水平方向的速度 vcosα和沿竖直方向的速度 vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向, 特别是作正交分解 ,即在两个互相垂直的方向上进行分解 ,是解决问 题的一种十分重要的手段.如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线的 向量,a 是这一平面内的任一向量,那么 a 与 e1、 e2 之间有什么关系呢? 在不共线的两个向量中 ,垂直是一种重要的情形 .把一个向量分解为 两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相 垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢? 思路 2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如 果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意 一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢?这样 就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或 者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体 教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解 ,对两个不共线 的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论? (二)推进新课、新知探究、提出问题 图1 ①给定平面内任意两个不共线的非零向量 e1、e2,请你作出向量 3e1+2e2、e1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2 的向 量表示呢? ②如图 1,设 e1、e2 是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平 面内的任一向量,我们通过作图研究 a 与 e1、e2 之间的关系. 活动:如图 1,在平面内任取一点 O,作 OA =e1, OB =e2, OC =a.过点 C 作 平行于直线 OB 的直线,与直线 OA;过点 C 作平行于直线 OA 的直线,与 直线 OB 交于点 N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使 得 OM =λ 1e1, ON =λ 2e2.由于 OC ? OM ? ON ,所以 a=λ1e1+λ2e2.也就 是说,任一向量 a 都可以表示成λ1e1+λ2e2 的形式. 由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共 线的向量 e1、e2 表示出来.当 e1、e2 确定后,任意一个向量都可以由这 两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便. 由此可得:平面向量基本定理: 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任意向量 a,有且只有一对实数λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 定理说明:(1)我们把不共线向量 e1、 e2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底; (2)基底不唯一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1、 e2 的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式唯一. 讨论结果:①可以. ②a=λ1e1+λ2e2. 提出问题 ①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗?若存在,向量的夹角 与直线的夹角一样吗? ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表 示? 活动:引导学生结合向量的定义和性质 ,思考平面中的任意两个 向量之间的关系是什么样的 ,结合图形来总结规律 .教师通过提问来 了解学生总结的情况 ,对回答正确的学生进行表扬 ,对回答不全面的 学生给予提示和鼓励 .然后教师给出总结性的结论 :不共线向量存在 夹角,关于向量的夹角,我们规定: 图2 已知两个非零向量 a 和 b(如图

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