nbhkdz.com冰点文库

《导数及其应用》单元测试题(理科)[1]

时间:2012-05-12


《导数及其应用》单元测试题(理科)
(满分 150 分 时间:120 分钟 ) 一、选择题(本大题共 8 小题,共 40 分,只有一个答案正确) 1.函数 f ( x) ? ?2?x ? 的导数是(
2


2

(A) f ?( x) ? 4?x 2.函数 f ( x) ? x ? e (A) ?? 1,0?
?x

(B) f ?( x) ? 4? x

(C) f ?( x) ? 8? x
2

(D) f ?( x) ? 16?x

的一个单调递增区间是( (C) ?1,2?



(B) ?2,8?

(D) ?0,2? , 且 g ? x)? g ( x) x ? 0 时 , (

3 . 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f ( ? x) ? ? f ( , x)

f ?( x)? , ?g (? ) ,则 x ? 0 时( 0 x 0
A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0



B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

4.

?

2

1

1 1 1 ( ? 2 ? 3 )dx ? ( x x x
(A) ln 2 ?
1 x 2



7 8
2

(B) ln 2 ?

7 8

(C) ln 2 ?

5 4

(D) ln 2 ?

1 8

5.曲线 y ? e A.

在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( B. 4e
2

) D. e
2

9 2 e 2

C. 2e

2

6.设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是( )

7.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有
2

f ( x ) ? 0 ,则
A. 3

f (1) 的最小值为( f '(0)
B.
x 2



5 2

C. 2

D.

3 2

8.设 p : f ( x) ? e ? ln x ? 2 x ? mx ? 1 在 (0, ?) 内单调递增, q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的 ? ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

二.填空题(本大题共 6 小题,共 30 分) 9.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,则 该长方体的长、宽、高各为 时,其体积最大.

x2 10.将抛物线 y ? 和直线 y ? 1围成的图形绕 y 轴旋转一周得到的几何体 2
的体积等于 11.已知函数 f ( x) ? x ? 12 x ? 8 在区间 [? 3, 3]上的最大值与最小值分别为 M , m ,则
3

M ? m ? __.
12.对正整数 n,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列

? an ? ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1? 2 3 13.点 P 在曲线 y ? x ? x ? 上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为为 ? ,则 ? 的取值 3
范围是 14.已知函数 y ? 是

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 (1)若函数在 ?? ?,?? ? 总是单调函数,则 a 的取值范围 3
. (2)若函数在 [1,??) 上总是单调函数,则 a 的取值范围 . .

(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是

三.解答题(本大题共 6 小题,共 12+12+14+14+14+14=80 分) 15.设函数 f ( x) ? e ? e .
x ?x

(1)证明: f ( x) 的导数 f ?( x) ≥ 2 ; (2)若对所有 x≥ 0 都有 f ( x) ≥ ax ,求 a 的取值范围.

16.设函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x ? 2 分别在 x1、x2 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点 A、B 的

??? ??? ? ? 坐标分别为 x1 ,f ( x1 )) (x2 ,f ( x2 )) 、 ,该平面上动点 P 满足 PA ? PB ? 4 ,点 Q 是点 P 关于直 (
线 y ? 2( x ? 4) 的对称点,.求 (1)求点 A、B 的坐标; (2)求动点 Q 的轨迹方程.

17.已知函数 f ( x) ? ax ln x ? bx ? c (x>0)在 x = 1 处取得极值-3-c,其中 a,b,c 为常数。
4 4

(1)试确定 a,b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调区间; (3)若对任意 x>0,不等式 f ( x) ? ?2c 恒成立,求 c 的取值范围。
2

18.已知 f ( x) ?

ax3 ? (a ? 1) x 2 ? 4 x ? 1?a ? R ? 3

(1)当 a ? ?1时,求函数的单调区间。 (2)当 a ? R 时,讨论函数的单调增区间。

19.已知函数 f ( x) ? x ? 3x.
3

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 2 处的切线方程; (2)若过点 A(1, m) (m ? ?2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

20.已知函数 f ? x ? ? x ?

a2 , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x (1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值;
实数 a 的取值范围.

, (2)若对任意的 x1 , x2 ? ?1 e? ( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求

【理科测试解答】
一、选择题 1. f ( x) ? ?2?x ?2 ? 4? 2 x 2 ,? f ?( x) ? 2 ? 4? 2 x ? f ?( x) ? 8? 2 x ; 或 f ?( x) ? 2 ? ?2?x ? ? ?2?x ?? ? 4?x ? 2? ? 8? 2 x (理科要求:复合函数求导) 2. f ( x) ? x ? e ? x ?
x x 1 ? e x ? x ? e x , ?1 ? x ? ? e . ? f ?( x) ? ? 0,? x ? 1 选(A) ? 2 ex ex ?e x ?2

? ?

或 f ?( x) ? 1 ? e ? x ? x ? e ? x ? ?? 1? ? (1 ? x) ? e ? x ? 0. ? e ? x ? 0,? x ? 1. 3.(B)数形结合 4.(D) 5.(D) 6.(D) 7.(C) 8.(B) 二、填空题 9.2cm,1cm,1.5cm ; 设长方体的宽为 x(m),则长为 2x(m),高为
h? 18 ? 12x ? 4.5 ? 3x(m) 4 3? ? ? 0<x< ? . 2? ?

故长方体的体积为
V ( x) ? 2 x 2 (4.5 ? 3x) ? 9 x 2 ? 6 x 3 (m3 ) 3 (0<x< ). 2

从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1. 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<
2 时,V′(x)<0, 3

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。 从而最大体积 V=V′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 10. ? . S ? 11.32 12. y
/ x?2

2 2 ? ?x dy ? ? ?0 2 ydy ? ??y ? ? ? . (图略)

1

1

1

0

0

? ?2n ?1 ? n ? 2 ? , 切线方程为 : y ? 2n ? ?2n ?1 ? n ? 2 ? ( x ? 2) ,令 x=0,求出切线

与 y 轴交点的纵坐标为 y0 ? ? n ? 1? 2 ,所以
n

Sn ?

2 ?1 ? 2 n ? 1? 2

an ? a ? ? 2n ,则数列 ? n ? 的前 n 项和 n ?1 ? n ? 1?

? 2n ?1 ? 2

13. ?0, ? ? ? ? 3? , ? ? ? ? 2? ? 4 ? ? ? ? 14. (1) a ? 1; (2)a ? ?3; (3)a ? ?3. 三、解答题 15.解:(1) f ( x) 的导数 f ?( x) ? e ? e .
x ?x

e 由于 e ? e ≥ 2 e ?
x -x x

?x

? 2 ,故 f ?( x) ≥ 2 .

(当且仅当 x ? 0 时,等号成立). (2)令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则

g ?( x) ? f ?( x) ? a ? e x ? e? x ? a ,
(ⅰ)若 a ≤ 2 ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? e ? e
x ?x

? a ? 2 ? a≥0 ,

故 g ( x) 在 (0, ∞) 上为增函数, ? 所以, x≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ,即 f ( x) ≥ ax . (ⅱ)若 a ? 2 ,方程 g ?( x) ? 0 的正根为 x1 ? ln

a ? a2 ? 4 , 2

此时,若 x ? (0,x1 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数. 所以, x ? (0,x1 ) 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? ax ,与题设 f ( x) ≥ ax 相矛盾.

2 综上,满足条件的 a 的取值范围是 ? ?∞,? .
16.解:(1)由题意知 f (1) ? ?3 ? c ,因此 b ? c ? ?3 ? c ,从而 b ? ?3 . 又对 f ( x) 求导得

1 f ?( x) ? 4ax3 ln x ? ax 4 ? ? 4bx3 x
? x3 (4a ln x ? a ? 4b) .
由题意 f ?(1) ? 0 ,因此 a ? 4b ? 0 ,解得 a ? 12 .

(2)由(I)知 f ?( x) ? 48 x ln x ( x ? 0 ),令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .
3

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 为减函数; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 为增函数. 因此 f ( x) 的单调递减区间为 (0, ,而 f ( x) 的单调递增区间为 (1 ? ∞) . 1) , (3)由(II)知, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 ? c ,此极小值也是最小值,要使

f ( x) ≥ ?2c 2 ( x ? 0 )恒成立,只需 ?3 ? c ≥ ?2c 2 .
即 2c ? c ? 3 ≥ 0 ,从而 (2c ? 3)(c ? 1) ≥ 0 ,
2

解得 c ≥

3 或 c ≤ ?1 . 2
?3 ?2 ? ?

所以 c 的取值范围为 ( ??, 1] ? ? , ? ? ? ?
3 2 17.解: (1)令 f ?( x) ? (? x ? 3x ? 2)? ? ?3x ? 3 ? 0 解得 x ? 1或x ? ?1

当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 , 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1时, f ?( x) ? 0 所 以 , 函 数 在 x ? ?1 处 取 得 极 小 值 , 在 x ? 1 取 得 极 大 值 , 故

x1 ? ?1, x2 ? 1, f (?1) ? 0, f (1) ? 4
所以, 点 A、B 的坐标为 A(?1,0), B(1,4) . (2) 设 p(m, n) , Q( x, y ) , PA ? PB ? ?? 1 ? m,?n ? ? ?1 ? m,4 ? n ? ? m ? 1 ? n ? 4n ? 4
2 2

1 y?n 1 y?n ? x?m ? 所以 又 所以 ? 2? ? 4? k PQ ? ? , ? ? , PQ 的中点在 y ? 2( x ? 4) 上, 2 2 x?m 2 ? 2 ?
消去 m, n 得 ?x ? 8? ? ? y ? 2? ? 9 .
2 2

另法:点 P 的轨迹方程为 m ? ?n ? 2? ? 9, 其轨迹为以(0,2)为圆心,半径为 3 的圆;
2 2

设点(0,2)关于 y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点 Q 的轨迹为以(a,b),为圆心,半径为 3 的圆, 由

b?2 1 b?2 ?a?0 ? ? 2? ? 4 ? 得 a=8,b=-2 ?? , 2 a?0 2 ? 2 ?

18(1) x ? ?? ?,?2?, 或 x ? ?2,?? ?, f (x ) 递减; x ? ?? 2,2?, f (x ) 递增; (2)1、当 a ? 0,

x ? ?? ?,?2?,

f (x) 递 增 ;2 、 当 a ? 0, x ? ? 2 ,2 ?, f (x) 递 增 ;3 、 当 0 ? a ? 1, x ? ?? ?,2?, 或 ? ?
?a ?

?2 ? x ? ? ,?? ?, f (x ) 递增; 当 a ? 1, x ? ?? ?,?? ?, ?a ?

f (x) 递增;当 a ? 1, x ? ? ? ?, 2 ?, 或 x ? ?2,?? ?, f (x) ? ?
? a?

递增; 3) a ? 0, 由②分两类 ( 因 (依据: 单调性, 极小值点是否在区间[-1,0]上是分类 “契机” : 3 1、当 2 ? ?1, ? a ? ?2, x ? ?? 1,0? ? ? 2 ,2 ?, f (x ) 递增, f ( x) min ? f (?1) ? ?3 ,解得 a ? ? ? ?2, ? ? 4 a ?a ? 2、当 2 ? ?1, ? a ? ?2, 由单调性知: f ( x) min ? f ( ) ? ?3 ,化简得: 3a 2 ? 3a ? 1 ? 0 ,解得 a a
a?

2

3 ? 3 ? 21 ? ?2, 不合要求;综上, a ? ? 为所求。 4 6
2 3

19.解(1) f ?( x) ? 3x ? 3, f ?(2) ? 9, f (2) ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 (2)过点 A(1, m) 向曲线 y ? f ( x) 作切线,设切点为 ( x0 , y0 ) 则 y0 ? x0 ? 3x0 , k ? f ?( x0 ) ? 3x0 ? 3.
3 2

?????????2 分

∴曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 2 ? 9( x ? 2) ,即 9 x ? y ?16 ? ;???4 分 0

则切线方程为 y ? ( x0 ? 3x0 ) ? (3x0 ? 3)( x ? x0 ) ???????????????6 分
3 2

整理得 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3 ? 0 (*)
3 2

过点 A(1, m) (m ? ?2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线 ∴方程(*)有三个不同实数根.


记 g ( x) ? 2 x ? 3x ? m ? 3, g ?( x) ? 6 x ? 6 x ? 6 x( x ? 1)
3 2 2

令 g ?( x) ? 0, x ? 0 或 1.

??????????????????????10 分

则 x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表

x (??,0) 0 (0,1) (1, ??) 1 ? g ?( x) ? ? 0 0 g ( x) 极大 极小 ? ? ? 当 x ? 0, g ( x) 有极大值 m ? 3; x ? 1, g ( x) 有极小值 m ? 2 . ?????????12 分 ? g (0) ? 0 , 由 g ( x) 的简图知,当且仅当 ? ? g (1) ? 0 ?m ? 3 ? 0 , ? 3 ? m ? ?2 时, 即? ?m ? 2 ? 0 函数 g ( x) 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切线, m 的范围是 (?3, ?2) .????14 分
20.(1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0,? ? ? , x

a2 1 ? . x2 x 2 ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 .
∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 .

经检验当 a ? 3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点, ∴a ? 3.

解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ? , x

a2 1 ? . x2 x a2 1 令 h? ? x ? ? 0 ,即 2 ? 2 ? ? 0 ,整理,得 2 x2 ? x ? a 2 ? 0 . x x 2 ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,
∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ?

当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 (舍去), x2 ? , 4 4

x
h? ? x ? h ? x?
依题意,

? 0, x2 ?


x2
0 极小值

? x2 , ?? ?


?

?

?1 ? 1 ? 8 a 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 , 4 ∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . , ( 2 ) 解 : 对 任 意 的 x1 , x2 ? ?1 e? 都 有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成 立 等 价 于 对 任 意 的
x1 , x2 ? ?1,e? 都有 ? f ? x ? ? min ≥ ? g ? x ? ? max . ? ? ? ? 1 当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ? ? 0 . x g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1,e ? 上是增函数. ∴函数
∴ ? g ? x ?? ? ?

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? ,且 x ? ?1, e ? , a ? 0 . x2 x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ①当 0 ? a ? 1且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在[1, e ]上是增函数, x
∵ f ?? x? ? 1? ∴ ? f ? x ? ? min ? f ?1? ? 1 ? a . ? ?
2

max

? g ?e? ? e ?1 .

由 1 ? a ≥ e ? 1,得 a ≥ e , 又 0 ? a ? 1,∴ a 不合题意.
2

②当1≤ a ≤ e 时,

若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2 ? x ? a ?? x ? a ? x2 ?0.

若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ? ∴ ? f ? x ?? ? ? min

a2 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e ? 上是增函数. x ? f ? a ? ? 2a .

由 2a ≥ e ? 1,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

e ?1 ≤a≤e. 2

e ?1 , 2

③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ? ∴ ? f ? x ?? ? ? min

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 在 ?1,e ? 上是减函数. x a2 ? f ?e? ? e ? . e

a2 由e? ≥ e ? 1,得 a ≥ e , e 又 a ? e ,∴ a ? e . ? e ?1 ? 综上所述, a 的取值范围为 ? , ?? ? . ? 2 ?

育星教育网 www.ht88.com


导数单元测试题及答案(理科).doc

导数单元测试题及答案(理科) - 《导数及其应用》单元测试题(理科) 1.函数

《导数及其应用》单元测试题(理科).doc

《导数及其应用》单元测试题(理科) 导数及其应用》单元测试题(理科) 及其应用

《导数及其应用》单元测试题(理科)[1].doc

《导数及其应用》单元测试题(理科)[1]_数学_高中教育_教育专区。《导数及其应

《导数及其应用》单元测试题(理科).doc

《导数及其应用》单元测试题(理科)(满分 150 分 时间:120 分钟 )一、

《导数及其应用》单元测试题(理科).doc

《导数及其应用》单元测试题(理科) - 《导数及其应用》(理科) 一、选择题(本

高中数学选修1-1《导数及其应用》测试题.doc

高中数学选修1-1《导数及其应用》测试题 - 《导数及其应用》试题 一、选择题 2、函数 y=x -3x 在[-1,2]上的最小值为 () A、2 B、-2 C、0 D、-...

新课标《导数及其应用》单元测试题(理科).doc

新课标《导数及其应用》单元测试题(理科) - 《导数及其应用》单元测试题(理科) (满分 150 分 时间:120 分钟 ) 2013 年 3 月 26 日一、选择题(本大题共 ...

《导数及其应用》单元测试题(详细答案).doc

《导数及其应用》单元测试题(文科) 导数及其应用》单元测试题(文科) 及其应用 ...只有一个答案正确) 1.函数 f ( x ) = (2πx ) 的导数是( 2 ) 2 (...

《导数及其应用》单元测试题(理科).doc

《导数及其应用》单元测试题(理科) - 高二导数及其应用综合练习题 一、 选择题

《导数及其应用理》章节测试题及答案.doc

《导数及其应用章节测试题及答案 - 选修 2-2 单元测试题 、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.函数 y=x2cosx 的导数为………...

《导数及其应用》单元测试题.doc

《导数及其应用》单元测试题 - 小题训练,附带提升训练,含答案... 《导数及其应用》单元测试题_数学_高中教育_教育...求实数 a 的值; 4 【理科测试解答】 1. f...

《导数及其应用》测试(理科).doc

《导数及其应用》测试(理科) - 导数及其应用测试 导数及其应用测试 小题, 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 选择题( ) f (1 +...

《导数及其应用》章节测试题及答案.doc

《导数及其应用》章节测试题及答案 - 选修 2-2 单元测试题 、选择题(

《导数及其应用》单元测试题(文科).doc

《导数及其应用》单元测试题(文科)_数学_自然科学_专业资料。超好!《...e 的一个单调递增区间是( (A) [? 1,0] (B) [2,8] (C) [1,2] ...

《导数及其应用》单元测试卷.doc

《导数及其应用》单元测试 导数及其应用》一、填空题(本大题共 14 题,每小题 5 分,共计 70 分) 1、函数 f ( x ) = x cos x + sin x 的导数 f ...

11 高中数学选修2-2第1章《导数及其应用》单元测试题.doc

11 高中数学选修2-2第1《导数及其应用》单元测试题 - 《导数及其应用》单元测试题 、选择题:(每小题有且只有个答案正确,每小题 5 分,共 50 分) 1...

...1高中数学第三章《导数及其应用》检测题(1)和答案.doc

最新人教A版选修1-1高中数学第三章《导数及其应用》检测题(1)和答案 - 第三章 一、选择题 1. A. B. C. D. 导数及其应用 单元测试 函数 y = x3 - ...

《导数及其应用》单元测试题.doc

《导数及其应用》单元测试题 - 《导数及其应用》单元测试题 导数及其应用》 姓名: 姓名: 选择题( 小题, 只有一个答案正确) 、 选择题(本大题共 4 小题,...

...理科第一轮复习单元测试题:第三章 导数及其应用 含....doc

2019届高考数学人教A版理科轮复习单元测试题:第三章 导数及其应用 含解析 精品 - 单元质检三 导数及其应用 (时间:100 分钟 满分:150 分) 、选择题(本...

《导数及其应用》单元测试题(文科).doc

《导数及其应用》单元测试题(文科) - 一、 《导数及其应用》单元测试题(文科)