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基本不等式与线性规划问题(选择、填空题)练习题

时间:2014-11-06


2014~2015 东莞一中高二(上)数学 基本不等式与线性规划问题(选择、填空题)练习题
1. 设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则
a b

1 1 ? 的最小值为 a b

A.8

B.4

C. 1

D.

1 4

1 a 2. 已知不等式(x+y)( + )≥9 (a>0)对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 x y ( ) A.2 B.4 C.6 D.8

3. 已知 x, y ? R ? ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 _____ 4. 函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a ? 1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中
1 2 ? 的最小值为 . m n 5. 已知直线 l 过点 P( 2, 1) , 且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点,O 为坐标原点,

mn>0,则

则三角形 OAB 面积的最小值为

.

6、 若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) ,始终平分圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长, 则 1 ? 2 的最小值为

a b

( C. 4 2 D. 3 ? 2 2



A.1

B.5

?y ?1 ? ? ? 7 已知实数 x,y 满足 ? y ? 2 x ? 1? 如果目标函数 z=x-y 的最小值为—1,则实数 m 等于 ?x ? y ? m ? ? ?
A.7 B.5 C.4 D.3

1 8、 )当 x>1 时,不等式 x+ ≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x ?1
A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3] ) 9、 已知正整数 a , b 满足 4a+b=30 ,使得 A.(5,10) B. (6,6)

1 1 ? 取最小值时,则实数对( a, b) 是( a b
C. (10,5) D. (7,2)

x+y-1≥0, ? ? 10. 在平面直角坐标系中, 若不等式组?x-1≤0, ? ?ax-y+1≥0 等于 2,则 a 的值为 A.-5 B.1

(a 为常数)所表示的平面区域的面积

( C.2

) D.3

1

11.设 x、y 均为正实数,且 A.4

3 3 + =1,则 xy 的最小值为 2+x 2+y C.9 D.16

(

)

B.4 3

12.已知关于 x 的不等式 2x+ ________.

2 ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值为 x-a

? y ? 2 x ? 0? ? 13.满足条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0? 的可行域中整点的个数为 ?5 x ? 3 y ? 5 ? 0 ?
A.3 B.4 C.5 D.6

? x ? y ? 3 ? 0? ? 14.若线性目标函数 z=x+y 在线性约束条件 ? 2 x ? y ? 0? 下取得最大值时的最优解只有 ? y?a ?
一个,则实数 a 的取值范围是 . 15. 在平面直角坐标系中, 若点(-2, t)在直线 x-2y+4=0 的上方, 则 t 的取值范围是( A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-1,+∞) D.(0,1) )

16.给出平面区域(包括边界)如图所示,若使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有 无穷多个,则 a 的值为( )

1 A. 4

3 B. 5

C. 4

5 D. 3

x≥0, ? ? 17.当不等式组?y≥0, ? ?kx-y+2-k≥0(k<0) 于________.

所表示的平面区域的面积最小时,实数 k 的值等

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2014~2015 东莞一中高二(上)数学 基本不等式与线性规划问题(选择、填空题)练习题 参考答案
1 C 2. B 解析 不等式(x+y)(

1 a ? )≥9(a>0) 对任意正实数 x,y 恒成立,则 x y

1? a ?

y ax ? ≥ a ? 2 a ? 1 ≥9,∴ x y

a ≥2 或 a ≤-4(舍去),所以正实数 a 的最小

值为 4,选 B. 3.

1 16

4. 8 设直线 l 为 , 则有关系 . 对

5. 解析

应用2元均值不等式,得 .从而应填 4. 6. D 7. B 8. D 9.

,即 ab≥8 .于是,△OAB 面积为

A

x+y-1≥0, ? ? 10.解析:不等式组?x-1≤0, ? ?ax-y+1≥0 则 A(1,0),B(0,1),C(1,1+a)

所围成的区域如图所示.

1 且 a>-1,∵S△ABC=2,∴ (1+a)×1=2,解得 a=3. 2 3 3 11.解析:由 + =1 可得 xy=8+x+y. 2+x 2+y ∵x,y 均为正实数,

答案:D

∴xy=8+x+y≥8+2 xy(当且仅当 x=y 时等号成立), 可解得 xy≥4,即 xy≥16,故 xy 的最小值为 16. 12.解析:因为 x>a,所以 2x+ 2 2 =2(x-a)+ +2a≥2 x-a x-a

即 xy-2 xy-8≥0, 答案:D 2 2(x-a)· +2a x-a 答案: 3 2

3 3 =2a+4,即 2a+4≥7,所以 a≥ ,即 a 的最小值为 . 2 2

13.答案:B 解析:画出可行域,作出网格知有 4 个整点,分别是(0,0),(0,-1),(1,-1),(2,-2).

3

14.答案: a ? 2 解析:作出可行域如图:

由图可知直线 y=-x 与 y=-x+3 平行,若最大值只有一个,则直线 y=a 不能在直线 y=2x 与 y=-x+3 的交点(1,2)的上方,故 a ? 2 . 15.B [解析] ∵点 O(0,0)使 x-2y+4>0 成立,且点 O 在直线下方,故点(-2,t)在直线 x -2y+4=0 的上方?-2-2t+4<0,∴t>1. 16.解析:由题意分析知,目标函数 z=ax+y(a>0)所在直线与直线 AC 重合时,满足题意, 22 -2 5 3 则由-a=kAC= ,得 a= .故选 B. 5 1-5 17.解析:不等式组所表示的区域由三条直线围成,其中有一条直线 kx-y+2-k=0(k<0)是 不确定的,但这条直线可化为 y-2=k(x-1),所以它经过一个定点(1,2),因此问题转化为 求经过定点(1,2)的直线与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积的最小值问题. 如图所 1 1 ?1-2?,因为 k<0,所以-k>0,有 示,设围成区域的面积为 S,则 S= · |OA|· |OB|= · |2-k|· ? k? 2 2 4 1 4 1 1 4 4-k- ?= ?4+(-k)+?- ??≥ (4+2 4)=4,当且仅当-k=- ,即 k=-2 时,平 S= ? k? 2? ? k ?? 2 2? k 面区域最小.故填-2.

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