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山东省龙口市诸由观镇诸由中学2015届高三数学上学期期末教学质量调研考试试题 文

时间:2016-08-26


2015 年 2 月高三教学质量调研考试 数学(文科)
本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟,考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 O.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡 和试卷规定的位置上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不 能写在试卷上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不能使用涂改液、 胶带纸、 修正带. 不 按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要 求的. 1.已知 i 是虚数单位.若复数 z 满足 ?1 ? i ? ? z ? 2i ,则复数 z=
3

A. 1 ? i

B. 1 ? i

C. ?1 ? i

D. ?1 ? i

2 2.设全集为 R,集合 A ? x x ? x ? 2 ? 0 , B ? x x ? 0 ,则 A ? CR B ?

?

?

?

?

A.

??1,0?

B.

??2,0?

C.

?0,1?

D.

?0, 2?

3.已知函数 f ? x ? ? ? A. ?1

? ? x, x ? 2 ,则 f ? f ? ?1? ? 的值为 3 ? x , x ? 2 ? ?
C.1 D.2

B.0

4.已知 ? 为第二象限角, sin ? ?

3 ?? ? ,则 sin ? ? ? ? 的值等于 5 6? ?

4?3 3 4?3 3 3 3?4 ?4 ? 3 3 B. C. D. 10 10 10 10 r r r r r r 5.已知 a ? 1, b ? 2, a ? 2b ? 5 ,则向量 a, b 的夹角为
A.

? 6 ? C. 4
A.

? 3 ? D. 2
B.

6.某程序框图如右图所示,当输出 y 值为 ?8 时,则输出 x 的值为 A.64 B.32
1

C.16
2

D.8

7.设 p : x ? 0, q : log 1 ? x ? 1? ? 0,则?p 是 q 的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 8.函数 y ? B.必要而不充分条件 D.既不充分敢不必要条件

x e
cos x

? ?? ? x ? ? ? 的大致图象为

9.已知函数 f ? x ? ? ax ? e , f ? ? ?1? ? ?4 ,则函数 y ? f ? x ? 的零点所在的区间是
2 x

A.

? ?3, ?2?

B.

? ?1,0?

C.

? 0,1?

D.

? 4,5?

10.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左右两个焦点,过点 F2 与双曲线的一条渐近线平行的 a 2 b2

直线交双曲线另一条渐近线于点 M,若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外,则该双曲线离心率的取值范围是 A. 1, 2

?

?

B.

?

2,3

?

C.

?

3, 2

?

D.

? ?? ? 2,

第 II 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.一个容量为 n 的样本,分成若干组,已知某组的频数和频率分别为 30 和 0.25,则 n 等于_________. 12.一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等,体积为

4 2 ,则它的表面积为________. 3

?x ? 0 ? 13.设实数 x , y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值是________. ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
14.已知直线 l : 2mx ? y ? 8m ? 3 ? 0 和圆 C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 12 y ? 20 ? 0 相交于 A,B 两点,当线段 AB 最 短时直线 l 的方程为________.

A O ? B O D? 15.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, A (1, 0) , B (0, 3) , C (3, 0) , 动点 D 满足 CD ? 1 , 则O

???? ??? ? ????

的最小值是__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分) 某省为了研究雾霾天气的治理,一课题组对省内 24 个城市进行了空气质量的调查,按地域特点把这些城 市分成了甲、乙、丙三组.已知三组城市的个数分别为 4,8,12,课题组用分层抽样的方法从中抽取 6 个 城市进行空气质量的调查. (I)求每组中抽取的城市的个数;
2

(II)从已抽取的 6 个城市中任抽两个城市,求两个城市不来自同一组的概率. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1. (I)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (II)将函数 f ? x ? 的图象向左平移 分别为 a, b, c ,若 g ?

? 个单位,得到函数 g ? x ? 的图象.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边 3

? A? ? ? 1, a ? 2, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积. ?2?

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 A1B1C1 中,四边形 ABB1 A 1和ACC1 A 1 都为矩形. (I)设 D 是 AB 的中点,证明:直线 BC1 / / 平面 A 1 DC ; ( II ) 在 ?ABC 中 , 若 A C ? B C , 证 明 : 直 线 BC ? 平 面

ACC1 A1 .

19. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 S5 ? 50, a2 ? a5 ? 24 , ?bn ? 为递增的等比数列,且 b1 , b3 是方 程 x ? 10 x ? 16 ? 0 的两个根.
2

(I)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 cn ? 20. (本小题满分 13 分)

an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . bn

x2 y 2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,直线 y ? x ? 1 经过椭圆 C 的左焦点. a b 2
(I)求椭圆 C 的方程; (II)若过点 M ? 2,0? 的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,设 P 为椭圆上一点,且满足 OA ? OB ? tOP (其 中 O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围. 21. (本小题满分 14 分) 函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? ln x ? a ? R ? .
2

uur

uu u r

uu u r

(I)函数 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,求 a 的值;

?

?

3

(II)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (III)不等式 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 在区间 ? 0, e? 上恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

4

2014 届高三教学质量调研考试 文 科 数 学 参考答案 一、选择题 BADAC CBABD 二、填空题 11.120 12. 4 ? 4 3 13. 5 14. x ? 3 y ? 5 ? 0 15. 4

三、解答题 16. 解: (Ⅰ)设从甲、乙、丙三组城市中应抽取的个数分别为 x, y , z , 则由题意得

x y z 6 1 ? ? ? ? ?????????????3 分 4 8 12 24 4
解得, x ? 1, y ? 2, z ? 3 .???????????????4 分 故从甲、乙、丙组中应抽取的城市的个数分别为:1,2,3 . ?????????????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,从甲、乙、丙组中应抽取的城市的个数分别为为:1,2,3 . 记甲组中已抽取的城市为 a1 ,乙组中已抽取的城市为 b1 , b2 , 丙组中已抽取的城市为 c1 , c2 , c3 .???6 分 从已抽取的 6 个城市中任抽两个城市的所有可能为:

(a1,b1 ),(a1,b2 ),(a1,c1 ),(a1,c2 ),(a1,c3 ),(b1,b2 ),(b1,c1 ),(b1,c2 ),(b1,c3 ) ,
(b2 , c1 ),(b2 , c2 ),(b2 , c3 ),(c1, c2 ),(c1, c3 ),(c2 , c3 ) 共 15 种. ???????????8 分
设“抽取的两个城市不来自同一组”为事件 A ,则事件 A 包括

(a1,b1 ),(a1,b2 ),(a1,c1 ),(a1,c2 ),(a1,c3 ),(b1,c1 ),(b1,c2 ),(b1,c3 ),(b2 , c1),(b2 , c2 ),(b2 , c3 ) 共 11 种. ????10 分
所以 P ( A) ?

11 11 .即从已抽取的 6 个城市中任抽两个城市,两个城市不来自同一组的概率为 .??12 分 15 15

17. 解: (Ⅰ) f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? 2cos2 x ? 1 ? 3 sin 2x ? cos2x

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ???????4 分 6? ?
所以,函数 f ?x ? 的最小正周期为 T = (Ⅱ) g ? x ? ? f ( x ?

2? =? .????????????????5 分 2

?

? ?? ? ? ) ? 2sin ?2( x ? ) ? ? ? 2sin(2 x ? ) ? 2cos 2 x ------------7 分 3 3 6? 2 ?

1 ? ? A? g ? ? ? 2cos A ? 1, cos A ? ,? 0 ? A ? ? ,? A ? ,--------------------------------------8 分 2 3 ?2?
在 ?ABC 中, a ? b ? c ? 2bc cos A.? 2 ? b ? c ? 2bc ?
2 2 2 2 2 2

1 , 2

?4 ? (b ? c)2 ? 2bc ? bc, 4 ? 42 ? 3bc,?bc ? 4 .
5

1 1 ? 3 3 S?ABC ? bc sin A ? bc sin ? bc = ? 4 ? 3 .????????????12 分 2 2 3 4 4
18. 证 明 : (Ⅰ)连接 AC1 交 A1C 于点 O,连接 OD.????????????2 分

O 为 A1C 的中点,D 是 AB 的中点, 四边形 ACC1 A 1 为矩形,
OD 为△ABC1 的中位线,OD//BC1, ????????????4 分
因为直线 OD? 平面 A1DC,BC1?平面 A1DC. 所以直线 BC1∥平面 A1DC. ????????????6 分 (Ⅱ)因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形, 所以 AA1⊥AB,AA1⊥AC. ????????????7 分 因为 AB,AC 为平面 ABC 内的两条相交直线, 所以 AA1⊥平面 ABC. ????????????9 分 因为直线 BC? 平面 ABC,所以 AA1⊥BC. ????????????10 分 由 BC ⊥AC ,BC⊥AA1, AA1,AC 为平面 ACC1A1 内的两条相交直线, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. ????????????12 分 19. 解: (Ⅰ) S5 ?

A1 B1

C1

O A D

C B

a1 ? a5 ? 5 ? a3 ? 5 ? 50 ,? a3 ? 10 ,?????????????1 分 2

a2 ? a5 ? a3 ? a4 ? 10 ? a4 ? 24 , a4 ? 14,? d ? a4 ? a3 ? 4 ,???????????2 分 an ? a3 ? (n ? 3)4 ? 4n ? 2 .?????????????3 分

?b1 ? 2 ?b1 ? 8 ?b1 ? 2 ?b1 ? b3 ? 10 ,解得 ? 或? ,因为 {bn } 为递增数列,所以 ? ,??5 分 ? ?b3 ? 8 ?b3 ? 2 ?b3 ? 8 ? b1 ? b3 ? 16

q ? 4 ? 2,?bn ? 2n ,
数列 ?an ? , {bn } 的通项公式分别为 an ? 4n ? 2(n ? N * ),bn ? 2 n (n ? N * ) .????6 分 (Ⅱ) cn ?

a n 4 n ? 2 2n ? 1 ? ? n?1 .???????????????????7 分 bn 2n 2

1 3 5 2n ? 1 Tn ? ? ? 2 ? ? ? n ?1 ①, 1 2 2 2 1 1 3 2n ? 1 Tn ? ? 2 ? ? ? ②, 2 2 2 2n
①-②得

1 2 2 2 2n ? 1 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 2 2 2 2 2n 1 (1 ? n ?1 ) 2n ? 1 2n ? 3 2 .????????????11 分 ?1? ? n ? 3? n 1 2 2 1? 2
6

? Tn ? 6 ?

2n ? 3 .????????????????12 分 2n ?1

20. 解: (I)直线 y ? x ? 1 与 x 轴交点为 (?1,0) , c ? 1 ?????????????1 分

e?

c 2 , ?a ? 2, b ? 1 .???????????3 分 ? a 2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .???????????????????? 4 分 2

(Ⅱ)由题意知直线 AB 的斜率存在. 设 AB : y ? k ( x ? 2) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 . 2 ? y ? 1. ? ?2

? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ?
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,

1 . 2

8k 2 8k 2 ? 2 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ????????????????????7 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
∵ OA ? OB ? tOP ,∴ ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) , x ?

??? ? ??? ?

??? ?

x1 ? x2 8k 2 ? , t t (1 ? 2k 2 )

y?

y1 ? y2 1 ?4k ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? . t t t (1 ? 2k 2 )

∵点 P 在椭圆上,∴ ∴ 16k ? t (1 ? 2k )
2 2 2

(8k 2 )2 (?4k )2 ? 2 ?2, t 2 (1 ? 2k 2 )2 t 2 (1 ? 2k 2 )2
?????????????????????????11 分

t2 ?

16k 2 16 16 ? ? ? 4,则-2 ? t ? 2 , 2 1 1 ? 2k 2 ? 2 ?2 k2
??????????13 分

∴ t 的取值范围是为 (?2,2) .

/ 21. 解: (I)函数 f ( x) 定义域为 (0,??) , f ( x) ? 2 x ? 2a ?

1 ,??????????????1 分 x 1 1 5 f / (1) ? 3 ? 2a ,由题意 f / (1) ? ? (3 ? 2a ) ? ? ?1 ,解得 a ? .????????4 分 2 2 2

7

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 (II) f ( x) ? 2 x ? 2a ? ? , x x
/

令 g ( x) ? 2x2 ? 2ax ? 1 , ? ? 4a 2 ? 8 , (i)当 ? 2 ? a ? 2 时, ? ? 4a 2 ? 8 ? 0 , g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 ,函数 f(x) 在 (0,??) 上单调递 增; (ii) 当a ? (iii)当 a ?

2或 ? 2 时,? ? 4a 2 ? 8 ? 0 ,g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 函数 f(x) 在 (0,??) 上单调递增; 2 时, 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0, x1 ?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 ? 0, x2 ? ? 0, 2 2

在区间 (0, x1 ) 上,g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 , 函数 f(x)单调递增; 在区间 ( x1 , x2 ) 上,g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 , 函数 f(x)单调递减;在区间 ( x2 ,??) 上, g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 ,函数 f(x)单调递增; (iv) 当 a ? ? 2 时,2 x2 ? 2ax ? 1 ? 0, x1 ?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 在区间 (0,??) ? 0, x2 ? ? 0, 2 2

上, g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 ,函数 f(x)单调递增.??????8 分 综上所述:当 a ? 当a ?

2 时,函数 f(x)在区间 (0,??) 上是单调递增;

2 时,函数 f(x)在区间 (0,

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 上单调递增;在区间 ( , )上 ) 2 2 2

单调递减;在区间 (

a ? a2 ? 2 ,??) 上单调递增.????????9 分 2

法二: (i)当 a ? 0 时, f / ( x) ? 0 恒成立,函数 f(x)在 (0,??) 上单调递增;

f / ( x ) ? 2 x ? 2a ?
(ii)当 0 ? a ? (iii)当 a ?

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 2 ,令 g ( x) ? 2x2 ? 2ax ? 1 , ? ? 4a ? 8 , ? x x

2 时, ? ? 4a 2 ? 8 ? 0, g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 ,函数 f(x)在 (0,??) 上单调递增;

2 时, 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0, x1 ?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 ? 0, x2 ? ? 0, 2 2

在区间 (0, x1 ) 上 g ( x) ? 0 ,f / ( x) ? 0 , 函数 f(x) 单调递增; 在区间 ( x1 , x2 ) 上,g ( x) ? 0 ,f / ( x) ? 0 , 函数 f(x)单调递减;在区间 ( x2 ,??) 上 g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 ,函数 f(x) 单调递增.??????8 分 综上所述:当 a ?

2 时,函数 f(x)在区间 (0,??) 上是单调递增;
8

当a ?

2 时,函数 f(x)在区间 (0,

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 , )上 ) 上单调递增;在区间 ( 2 2 2

a ? a2 ? 2 单调递减;在区间 ( ,??) 上单调递增.????????9 分 2
法三:因为 x>0,? 2 x ? (i)当 a ? (ii)当 a ?

1 ?2 2. x

2 时,在区间 (0,??) 上 f / ( x) ? 0 函数 f(x) 单调递增; 2 时, 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0, x1 ?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 ? 0, x2 ? ? 0, 2 2

在区间 (0, x1 ) 上, f / ( x) ? 0 ,函数 f(x) 单调递增;在区间 ( x1 , x2 ) 上, f / ( x) ? 0 ,函数 f(x) 单调 递减;在区间 ( x2 ,??) 上, f / ( x) ? 0 ,函数 f(x) 单调递增.???8 分 综上所述:当 a ? 当a ?

2 时,函数 f(x)在区间 (0,??) 上是单调递增;

2 时,函数 f(x)在区间 (0,

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 , )上 ) 上单调递增;在区间 ( 2 2 2

单调递减;在区间 (

a ? a2 ? 2 ,??) 上单调递增.????????9 分 2
3 .?????10 分 x

(III)不等式 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 在区间 (0, e] 上恒成立等价于 2 ln x ? ? x ? a ? 令 g ( x) ? 2 ln x ? x ? a ?

3 , x

g / ( x) ?

2 3 x 2 ? 2 x ? 3 ( x ? 3)(x ? 1) , ?1? 2 ? ? x x x2 x2

在区间 (0,1) 上, g / ( x) ? 0 ,函数 g(x)为减函数; 在区间 (1, e] 上, g / ( x) ? 0 ,函数 g(x)为增函数;??????????12 分

g ( x)min ? g (1) ? 1 ? a ? 3 ? 0 得 a ? 4 ,
所以实数 a 的范围是 a ? 4 .??????????14 分

9


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