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4.3.1空间直角坐标系教学设计(梁军)1

时间:2017-04-19


教学设计 课题:§4.3.1 空间直角坐标系(第一课时)
开阳县第二中学 梁 军

教学分析 ★、学情分析
这节课是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的 推广,是以后学习“空间向量”等内容的基础.

★、教学目标
知识与技能: 1、掌握空间直角坐标系的建立过程和相关概念 2、学会在空间直角坐标系中找出空间点的位置,会写一些简单 几何体中有关点的坐标 过程与方法: 1、经历运用空间直角坐标系来描述空间图形的过程,初步建立 数感和空间感,从空间的点的坐标培养学生的空间想象能力、抽象思 维和探索能力。 2、通过类比、迁移、的方法得出空间直角坐标系的建立的过程 和空间点的坐标确定的方法。 情感、态度与价值观: 1、让学生认识到数学与日常生活的密切联系,从而能够积极的 参与数学的学习活动。 2、通过实际问题的引入和解决,让学生体会数学的实践性和应 用性,感受数学刻画生活的作用,不断地拓展自己的思维空间。

★、教学重、难点
重点:空间直角坐标系的建立,点在空间直角坐标系中的坐标表 示 难点: 通过建立空间直角坐标系利用点的坐标来确定点在空间内 的位置

★、教学准备
教师准备:教学设计,实物模型,三角板
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学生准备:直尺,三角板和笔

教学设计 ★、教学过程
一、问题情境、导入课题 问题 1、数轴 Ox 上的任意点 M,用代数的方法怎样表示呢? 师:确定点在直线上,通过数轴需要一个实数,这个实数的大小 就可以表示 M 点的位置。 问题 2、平面直角坐标系上的任意点 M,又怎样表示呢? 师: 确定点在平面内, 通过平面直角坐标系需要两个实数 x 和 y, 这对有序实数(x,y)表示 M 点的位置。 (学生复习回顾后回答问题 1 和问题 2,思考、讨论后回答) 【点拨】 问题 1 和问题 2 是确定点在直线和直角坐标平面的位置 的方法。 问题 3、 在教室 (立体空间) 内, 如何确定一盏电灯所在的位置? 那么,要确定电灯这个点在空间内,应该需要几个数呢?通过类 比联想,容易知道需要三个数.要确定教室内电灯的位置,知道电灯 到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可。 (此时学生只是意识到需要三个数,还不能从坐标的角度去思 考,因此,教师在这儿要重点引导) 问题 3 是空间点的位置确定的问题,我们可以类比平面直角坐 标的方法,建立空间直角坐标系来确定空间点的位置。 (板书课题:§4.3.1 空间直角坐标系) 师分析(叙述过程中展示实物模型) :在地面上建立平面直角坐 标系 xOy,则地面上任一点的位置只须利用 x,y 这两个实数就可以 确定。为了确定不在地面内的电灯的位置,须要用第三个数表示电灯 离地面的高度,即需第三个坐标 z。因此,只要知道电灯到地面的距 离、到相邻的两个墙面的距离即可。 例如, 若这个电灯在平面 xOy 上的射影的两个坐标分别为 1 和 1, 到地面的距离为 5,则可以用有序实数组(1,1,5)确定这个电灯 的位置。 这样,仿照初中平面直角坐标系,就建立了空间直角坐标系 O—xyz,从而确定了空间点的位置。 二、探究建立模型
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(请同学们根据刚才确定电灯位置的方法并且阅读 P134 4.3.1 空间 直角坐标系的第一段给空间直角坐标系下一个定义及相关概念) (板书:1、空间直角坐标系的定义及相关概念) 问题 4、空间直角坐标系的定义及相关概念: 探究:这个问题在前面研究的基础上,先由学生对空间直角坐标 系予以抽象概括,然后由教师给出准确的定义及相关概念) 。 定义:从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度 的数轴:x 轴、y 轴、z 轴,这样就建立了空间直角坐标系 O—xyz。 概念(叙述过程中展示实物模型) :其中点 O 叫作坐标原点,x 轴、y 轴、z 轴叫作坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平 面,分别称为 xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面。 (板书:2、怎样在纸上画空间直角坐标系?) 探究:怎样在纸上画空间直角坐标系? (1) 斜二测画法:是空间几何体直观图的一种画法. 斜二测画法口 诀: 平行依旧垂改斜,横等纵半竖不变;眼见为实遮为虚,空间观感 好体现。画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的 x'轴 和 y'轴, 两轴相交于点 O',且使 ∠x'O'y' =45 度(或 135 度), 它们确定 的平面表示水平平面. 注意:在平面上画空间直角坐标系 O-xyz 时,一般使 x 轴与 y 轴所 成的角为135?(或者45?) ,y 轴与 z 轴所成的角为 90 ? ,以体现立体感。 (2)在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指 指向 y 轴的正方向, 若中指指向 z 轴的正方向则称这个坐标系为右手 坐标系,如果无特殊说明,课本中建立的空间直角坐标系都是右手坐 标系. (板书:3、在空间直角坐标系 O—xyz 中,如何用坐标来表示点 M 的位置呢?) 问题 5:在空间直角坐标系 O—xyz 中,如何用坐标来表示点 M 的位置呢? 探究: 在空间直角坐标系中, 空间任意一点 M 与有序实数组 (x, y,z)有什么样的对应关系?(回顾在平面直角坐标系中,确定点在 平面内, 通过平面直角坐标系需要两个实数 x 和 y, 这对有序实数 (x,y) 表示 M 点的位置。那么,确定点在空间中,通过空间直角坐标系需 要三个实数 x、y、z,这个有序实数组(x, y,z)表示 M 点的位置。 )
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R M O P Q M' y

x

在学生充分讨论思考之后,师生一起总结: 方法一: (1)设点 M 为空间的一个定点,过点 M 作三个平面分 别垂直于 x 轴,y 轴,z 轴,它们与 x 轴、y 轴、z 轴分别交于点 P, Q,R,设点 P,Q,R 在相应数轴上的坐标依次为 x,y,z,这样, 对空间中任意点 M,就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z) . (2)反之,对任意一个有序实数组(x,y,z) ,按照刚才作图的 相反顺序,我们可以在 x 轴、y 轴、z 轴上依次取坐标为 x,y,z 的 点 P,Q,R,分别过点 P,Q,R,各作一个平面,分别垂直 x 轴、y 轴、z 轴,这三个平面的唯一的交点就是有序实数组(x,y,z)确定 的点 M 的位置。

方法二:如图,过点 M 作 xoy 平面的垂线,垂足为 Q,Q 在 xoy 坐标平面内的坐标为(x,y),有向线段 QM 本身对应一个实数,这样, M 就对应唯一确定的序实数组(x,y,z) 。反之也成立。 总结:在空间直角坐标系中,空间任意一点 M 的坐标可以用有 序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点 M 在 此空间直角坐标系中的坐标,记作 M(x,y,z) ,这样点坐标与有序 实数组之间就建立了一种一一对应关系。 其中 x 叫做点 M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标。 三、例题讲解 1. 课本 135 页。 (例 1 如图, 在长方体 OABC - D A B C 中,OA =3, OC =4,, OD ` =2,写出 D ' , C, A' , B ' 四点的坐标。 ) (板书:图形) ' 注意:在分析中紧扣坐标定义,第一步 D 的坐标从原点出发沿 z 轴正方向移动 2 个单位,x 轴、y轴的正负方向都没有移动;第二步 C 的坐标从原点出发沿y轴正方向移动 4 个单位,x 轴、z 轴的正负
' ' ' '

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方向都没有移动; 第三步 A 的坐标从原点出发沿与 x 轴的正方向移动 3 个单位之后,再沿平行 z 轴的正方向移动 2 个单位,y 轴的正负方 ' 向都没有移动; B 的坐标从原点出发沿 x 轴、y轴、z 轴的正方向分 别移动 3 个单位、4 个单位、2 个单位而得到的。

'

2. 课本 135 页(例 2、结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食 盐晶胞的示意图 (可看成是八个棱长为 1/2 的小正方体堆积成的正方 体) ,其中色点代表钠原子,黑点代表氯原子.如图,建立空间直角 坐标系 O—xyz 后,试写出全部钠原子所在位置的坐标。 ) (黑板上展 示图形)

四、探究 (1)在空间直角坐标系中,x 轴、y 轴、z 轴上点的坐标有什么 特点? 解:原点的坐标是(0,0,0) ,在 x 轴上点的坐标是(x,0,0) , 在 y 轴上点的坐标是(0,y,0) ,在 z 轴上点的坐标是(0,0,z) ; 即 x 轴上的点是 y=z=0; y 轴上的点是 x=z=0;z 轴上的点是 x=y=0; (2)在空间直角坐标系中,坐标平面 xOy,yOz,xOz,上点的坐标 有什么特点? 解:在 x0y 平面上点的坐标是(x,y,0), 在 y0z 平面上点的坐标是 (0,y,z), 在 z0x 平面上点的坐标是(x,0,z); x0y 平面上的点是 z=0; y0z 平面上的点是 x=0;x0z 平面上的点是 y=0; 五、课堂练习 1、课本 P136. 2、3 2、 已知: 如图, 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的边长 AB =12,AD =8, AA1 =7,以这个长方体的顶点 D 为坐标原点,以射线 DA, DC, DD1 分别 为 x 轴、y 轴和 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求这个长方体 D C 各个顶点的坐标. A B 注意:此题可以由学生口答,教师点评.
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1

1

1

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A

D

C
B

讨论:若以 C 点为原点,以射线 CB,DC, CC1 方向分别为 x, y,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,那么各顶点的坐标又是怎 样的呢? 总结结论:建立不同的坐标系,所得的同一点的坐标是否相同. 3.拓展延伸 (1)在空间直角坐标系中, 点 P(1,2,3)关于 x 轴对称的点的坐标为 ( ) A.(-1,2,3) ( ) A.(-3,4,5) A.(-1, 0, 2) ( ) A.关于 x 轴对称 C.关于坐标原点对称 六、课堂小结、温故知新 1、空间直角坐标系的建立 2、空间直角坐标系的画法 3、空间直角坐标系中点的坐标表示方法及点与坐标的一一对应 关系 七、作业设计 作业: 课本 P138. 习题 4.3 A 组 1、2 ★、课后反思 本节课为了使学生比较顺利地实现从线到平面、 再从平面到空间 的变化,即从一维到二维、再从二维到三维向量的变化,采用了类比 的数学教学手段,顺利地引导学生实现了这一变化,同时引起了学生 的兴趣.在整个教学过程中,内容由浅入深,环环相扣,不仅使学生 在学习过程中了解了知识的发生、发展的过程,也使学生尝到了成功 的喜悦.这对增强学生的学习信心,起到了很好的作用.在研究过程
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B.(1,-2,-3)

C.(-1, -2, 3)

D.(-1 ,2, -3)

(2)在空间直角坐标系中, 点 P(3,4,5)关于 yOz 平面对称的点的坐标为 B.(-3,- 4,5) B.(-1,0, 2) C.(3,-4,-5) ) D.(-2,0,1) C.(1 , 0 ,2) D.(-3,4,-5)

(3)点 P( 1,0, -2)关于原点的对称点 P 的坐标为(

(4)在空间直角坐标系中, 点 P(2,3,4)与 Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是 B.关于 xOy 平面对称 D.以上

中,充分运用了类比、交换、数形结合等数学思想方法,有效地培养 了学生的思想品质.在求空间直角坐标系中点的坐标时,学生不仅会 很自然地运用类比的思想方法,也锻炼了他们的空间想象能力。

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