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高考一轮复习:正态分布

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第7讲
【2015 年高考会这样考】

正态分布

利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【复习指导】 掌握好正态密度曲线的特点,尤其是其中的参数 μ、σ 的含义,会由其对称性求 解随机变量在特定区间上的概率.

基础梳理 1.正态曲线及性质

(1)正态曲线的定义 ?x-μ? 1 函数 φμ,σ(x)= e- 2σ2 , 2πσ x∈(-∞,+∞),其中实数 μ 和 σ(σ>0)为参数,我们称 φμ,σ(x)的图象(如图)为正 态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的解析式 ①指数的自变量是 x 定义域是 R,即 x∈(-∞,+∞). ②解析式中含有两个常数:π 和 e,这是两个无理数. ③解析式中含有两个参数:μ 和 σ,其中 μ 可取任意实数,σ>0 这是正态分布的 两个特征数. ④解析式前面有一个系数为 ?x-μ?2 幂指数为- 2σ2 . 1 ,后面是一个以 e 为底数的指数函数的形式, 2πσ
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2.正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)= aφμ,σ(x)dx,则称X的分布为正态分布,记作N(μ,σ2). (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6; ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4; ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4.
?b ?

六条性质 正态曲线的性质 ?x-μ? 1 正态曲线 φμ,σ(x)= e- 2σ2 ,x∈R 有以下性质: 2πσ (1)曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; (3)曲线在 x=μ 处达到峰值 1 ; σ 2π
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(4)曲线与 x 轴围成的图形的面积为 1; (5)当 σ 一定时,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移; (6)当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定,σ 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分 布越集中;σ 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. 三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概 率.落在三个邻域之外是小概率事件,这也是对产品进行质量检测的理论依据. 双基自测 1 .设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数 f(x) 的图象,且 f(x) = ?x-10?2 8 ,则这个正态总体的平均数与标准差分别是( A.10 与 8 B.10 与 2 C.8 与 10 ). D.2 与 10 1 e- 8π

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?x-10? ?x-μ? 1 1 解析 由 e- 8 = e- 2σ2 ,可知 σ=2,μ=10. 8π 2πσ 答案 B 2.(2011· 湖北)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0 <ξ<2)等于( A.0.6 ). B.0.4 C.0.3 D.0.2

解析 由 P(ξ<4)=0.8 知 P(ξ>4)=P(ξ<0)=0.2, 故 P(0<ξ<2)=0.3.故选 C. 答案 C 3.(2010· 广东)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1),且 P(2≤X≤4)=0.682 6, 则 P(X>4)等于( A.0.158 8 解析 ). B.0.158 7 C.0.158 6 D.0.158 5

1 由正态曲线性质知,其图象关于直线 x = 3 对称,∴ P(X > 4) = 0.5 - 2

1 P(2≤X≤4)=0.5-2×0.682 6=0.158 7.故选 B. 答案 B 4.(2010· 山东)已知随机变量 X 服从正态分布 N(0,σ2),若 P(X>2)=0.023,则 P(-2≤X≤2)等于( A.0.477 ). C.0.954 D.0.977

B.0.628

解析 P(-2≤X≤2)=1-2P(X>2)=0.954. 答案 C 5. 设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9), 若 P(X>c+1)=P(X<c-1), 则 c 等于( A.1 B.2 C.3 D.4 c+1+c-1 2 ).

解析 ∵μ=2, 由正态分布的定义知其函数图象关于 x=2 对称, 于是 =2,∴c=2. 答案 B

考向一

正态曲线的性质

【例 1】?若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为
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1 . 4 2π (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式; (2)求正态总体在(-4,4]的概率. [审题视点] 要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式,关键是求解析式中 的两个参数 μ,σ 的值,其中 μ 决定曲线的对称轴的位置,σ 则与曲线的形状和 最大值有关. 解 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象关于 y 轴对 称,即 μ=0.由 是 φμ,σ(x)= 1 x2 e-32,x∈(-∞,+∞). 4 2π 1 1 = ,得 σ=4,故该正态分布的概率密度函数的解析式 2πσ 2π· 4

(2)P(-4<X≤4)=P(0-4<X≤0+4) =P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6. 解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系,掌握 函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响.

2 【训练 1】 设两个正态分布 N(μ1,σ2 1)(σ1>0)和 N(μ2,σ2)(σ2>0)的密度函数图象

如图所示,则有( A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2

).

解析 根据正态分布 N(μ,σ2)函数的性质:正态分布曲线是一条关于直线 x=μ 对称,在 x=μ 处取得最大值的连续钟形曲线;σ 越大,曲线的最高点越低且较 平缓;反过来,σ 越小,曲线的最高点越高且较陡峭,故选 A. 答案 A 考向二
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服从正态分布的概率计算

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【例 2】?设 X~N(1,22),试求 (1)P(-1<X≤3); (2)P(3<X≤5); (3)P(X≥5). [审题视点] 将所求概率转化到(μ-σ,μ+σ].(μ-2σ,μ+2σ]或[μ-3σ,μ+3σ] 上的概率,并利用正态密度曲线的对称性求解. 解 ∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2. (1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2) =P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6. (2)∵P(3<X≤5)=P(-3<X≤-1), 1 ∴P(3<X≤5)=2[P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)] 1 =2[P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)] 1 =2[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)] 1 =2×(0.954 4-0.682 6) =0.135 9. (3)∵P(X≥5)=P(X≤-3), 1 ∴P(X≥5)=2[1-P(-3<X≤5)] 1 =2[1-P(1-4<X≤1+4)] 1 =2[1-P(μ-2σ<X≤μ+2σ)] 1 =2×(1-0.954 4)=0.022 8. 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率,只需借助正态曲 线的性质,把所求问题转化为已知概率的三个区间上. 【训练 2】 随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ2),已知 P(ξ<0)=0.3,则 P(ξ<2) =________. 解析 由题意可知,正态分布的图象关于直线 x=1 对称,所以 P(ξ>2)=P(ξ<

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0)=0.3,P(ξ<2)=1-0.3=0.7. 答案 0.7 考向三 正态分布的应用

【例 3】?2011 年中国汽车销售量达到 1 700 万辆,汽车耗油量对汽车的销售有 着非常重要的影响, 各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量,某汽车制造 公司为调查某种型号的汽车的耗油情况,共抽查了 1 200 名车主,据统计该种型 号的汽车的平均耗油为百公里 8.0 升, 并且汽车的耗油量 ξ 服从正态分布 N(8, σ2), 已知耗油量 ξ∈[7,9]的概率为 0.7,那么耗油量大于 9 升的汽车大约有________ 辆. [审题视点] 根据正态密度曲线的对称性求解. 解 由题意可知 ξ~N(8, σ2), 故正态分布曲线以 μ=8 为对称轴, 又因为 P(7≤ξ≤9) =0.7,故 P(7≤ξ≤9)=2P(8≤ξ≤9)=0.7,所以 P(8≤ξ≤9)=0.35,而 P(ξ≥8) =0.5,所以 P(ξ>9)=0.15,故耗油量大于 9 升的汽车大约有 1 200×0.15=180 辆. 服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上,正态 密度曲线和 x 轴之间的曲边梯形的面积,根据正态密度曲线的对称性,当 P(ξ> x1)=P(ξ<x2)时必然有 x1+x2 2 =μ,这是解决正态分布类试题的一个重要结论.

1? ? 【训练 3】 工厂制造的某机械零件尺寸 X 服从正态分布 N?4,9?, 问在一次正常 ? ? 的试验中,取 1 000 个零件时,不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少 个? 1? 1 ? 解 ∵X~N?4,9?,∴μ=4,σ=3. ? ? ∴不属于区间(3,5]的概率为 P(X≤3)+P(X>5)=1-P(3<X≤5) =1-P(4-1<X≤4+1) =1-P(μ-3σ<X≤μ+3σ) =1-0.997 4=0.002 6≈0.003, ∴1 000×0.003=3(个), 即不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有 3 个.
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阅卷报告 19——正态分布中概率计算错误 【问题诊断】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布,这个考点虽然 不是高考的重点, 但在近几年新课标高考中多次出现,其中数值计算是考查的一 个热点,考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误. 【防范措施】 对正态分布 N(μ,σ2)中两个参数对应的数值及其意义应该理解透 彻并记住,且注意第二个数值应该为 σ2 而不是 σ,同时,记住正态密度曲线的六 条性质. 【示例】? 已知某次数学考试的成绩服从正态分布 N(116,64),则成绩在 140 分以上的考生所占的百分比为( A.0.3% C.1.5% ). B.0.23% D.0.15%

错因 (1)不能正确得出该正态分布的两个参数 μ,σ 导致计算无从下手.(2)对正 态分布中随机变量在三个区间内取值的概率数值记忆不准,导致计算出错. 实录 同学甲 A 同学乙 B 同学丙 C

正解 依题意,μ=116,σ=8,所以 μ-3σ=92,μ+3σ=140,而服从正态分布 的随机变量在(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率约为 0.997,所以成绩在区间(92,140) 内的考生所占百分比约为 99.7%, 从而成绩在 140 分以上的考生所占的百分比为 1-99.7% =0.15%.故选 D. 2 答案 D

1? ? 【试一试】 在正态分布 N?0,9?中,数值落在(-∞,-1)∪(1,+∞)内的概率 ? ? 为( ). B.0.046 D.0.002 6

A.0.097 C.0.03

1 解析 ∵μ=0, σ=3, ∴P(x<-1 或 x>1)=1-P(-1≤x≤1)=1-P(μ-3σ≤x≤μ +3σ)=1-0.997 4=0.002 6.

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答案 D

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