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导与练重点班2017届高三数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第5节对数函数课件理

时间:2017-03-24


第5节 对数函数

最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性 质,知道用换底公式将一般对 数转化成自然对数或常用对 数;了解对数在简化运算中的 作用. 2.理解对数函数的概念及其单 调性,掌握对数函数图象通过 的特殊点,

会画底数为 2,10, 图象.

1 的对数函数的 2

3.体会对数函数是一类重要的函数 模型. 4.了解指数函数 y=a (a>0,且 a≠1) 与对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)互 为反函数.
x

知识链条完善
考点专项突破 易混易错辨析

知识链条完善
【教材导读】

把散落的知识连起来

1.是不是所有实数都有对数?
提示:零和负数没有对数,即真数大于零. 2.是否任意指数式都可以转化为对数式? 提示:不是.只有在指数式的底数大于0且不等于1的情况下,指数式才 能化为对数式. 3.如图是对数函数①y=logax;②y=logbx;③y=logcx;④y=logdx的图象, 则a,b,c,d与1的大小关系是什么?

提示:图中直线y=1与各图象交点的横坐标即为它们各自底数的值,即

0<a<b<1<c<d.

1.对数 概念

知识梳理
x 如果 a =N (a>0,a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN .其中 a 叫做 底数,N 叫做 真数

底数的限制 a>0,且 a≠1
x 对数式与指数式的互化:a =N? logaN=x

性质

负数和零没有对数 1 的对数是 零 :loga1= 0 底数的对数是 1 :logaa= 1 对数恒等式: a log N = N logaM+logaN loga(M·N)=
2

运算性质 logaMn=

M = N nlogaM

loga

logaM-logaN

a>0,且 a≠1, M>0,N>0

(n∈R)

公式:logab=

log c b (a>0,且 a≠1;c>0,且 c≠1;b>0) log c a
=
n logab(a>0 且 a≠1,b>0); m

换底公式

推广:

logam bn

logab=

1 (a>0 且 a≠1;b>0 且 b≠1) log b a

2.对数函数的概念、图象与性质 概念 底数 函数 y=logax (a>0,a≠1)叫做对数函数 a>1 0<a<1

图象

定义域 值域 性质

(0,+∞) R
过定点(1,0) ,即 x= 1 时,y= 0 在(0,+∞)上是 增 函数 在(0,+∞)上是 减 函数

3.指数函数与对数函数的关系

指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数, 它们的图象关于直线 y=x 对称.

夯基自测
1.若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,则f(2)的值是( C (A)4 (B)2 (C)1 (D)0 解析:由题意得f(x)=log2x,所以f(2)=1. )

2.(2014高考山东卷)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1) 的图象如图所示,则下列结论成立的是( D (A)a>1,c>1 )

(B)a>1,0<c<1
(C)0<a<1,c>1 (D)0<a<1,0<c<1 解析:由对数函数的性质得0<a<1,因为函数y=loga(x+c)的图象在c>0时 是由函数y=logax的图象向左平移c个单位得到的,所以根据题中图象可 知0<c<1.故选D.

3.如果 log 1 x < log 1 y <0,那么(
2 2

D

)

(A)y<x<1 (B)x<y<1 (C)1<x<y (D)1<y<x

解析:因为 y= log 1 x 是(0,+≦)上的减函数,所以 x>y>1.
2

4.给出下列命题: ①logax =2logax; ②函数 y=log2(x+1)是对数函数; ③函数 y=ln
1? x 与 y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同; 1? x
2

④若 logam<logan,则 m<n. 其中正确的命题有(
B

)

(A)①③ (B)③ (C)②③ (D)④ 2 解析:由 logax =2loga|x|知①错误,②中函数不符合对数函数定义,故错误.
1? x 函数 y=ln 的定义域为(-1,1),而函数 y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域 1? x

亦为(-1,1),故③正确.当 a>1 时④中不等式成立,而 0<a<1 时不成立.④错 误.故选 B.

5.函数 y= log 1 (3x-a)的定义域是(
2

2 ,+∞),则 a= 3

.

解析:由 3x-a>0 得 x>

a , 3
a ,+≦), 3

因此,函数 y= log 1 (3x-a)的定义域为(
2

所以

a 2 = ,所以 a=2. 3 3

答案:2

考点专项突破
考点一 对数的基本运算
【例 1】 (1) (A)1

在讲练中理解知识
3? 2

?

3? 2

?

2 log

?

?

5

等于( (D)
1 5

)

(B)

1 2

(C)

1 4

(2)

? lg3?

2

? lg9 ? 1 lg 27 ? lg8 ? lg 1000 lg 0.3 ? lg1.2

?

?=

;

解析:(1)原式=

?

3? 2

?

log

?

3? 2

?5

=

?

3? 2

?

log

?

1 3? 2 5

?

1 = . 5

? lg3?
(2)原式=

3? ?3 ? 2lg3 ? 1 ? lg3 ? 3lg 2 ? ? ?1 ? lg 3 ? ? 3 ? lg 3 ? 2lg 2 ? 1? 3 2? ?2 2 = =- . 2 ? lg 3 ? 1? ? ? lg 3 ? 2lg 2 ? 1? ? lg3 ? 1? ? ? lg3 ? 2lg 2 ? 1?
2

答案: (1)D (2)-

3 2

(3)若log147=a,14b=5,则用a,b表示log3528=

.

解:(3)因为 14b=5,所以 log145=b, 又 log147=a, 所以 log3528=
log14 28 log14 35

14 2 log14 7 = log14 5 ? log14 7

=

2?a . a?b
2?a a?b

答案: (3)

反思归纳

对数运算的依据是对数恒等式、对数的运算性质、对数的换

底公式,要善于根据题目的特点选用合适的计算公式.

【即时训练】 (1)

1 2 +log = log 5 ? 4log 5 ? 4 2 ? 2 ? 2 5
? 2 3

;

(2)(2016 凉山州模拟)化简: 8 +20+log26+log2
解析:(1)原式=|log25-2|+log25-1 =log25-2-log25=-2.

1 = 12

.

3?? ? ? 1 1 0 (2) 8 +2 +log26+log2 = 2 ? 3 ? +1+log2(6× ) 12 12 ?

2 3

? 2?

1 1 1 = +1-1= . 2 4 4 1 答案:(1)-2 (2) 4

=2-2+1+log2

考点二

对数函数的图象及应用

【例2】 (1)已知lg a+lg b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=ax 与g(x)=-logbx的图象可能是( )

1 解析:(1)因为 lg a+lg b=0,所以 lg ab=0,所以 ab=1,即 b= , a

故 g(x)=-logbx=- log 1 x=logax,
a

则 f(x)与 g(x)互为反函数,其图象关于直线 y=x 对称,结合图象知 B 正确. 故选 B.

? lg x ,0 ? x ? 10, ? (2)已知函数 f(x)= ? 1 若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c), ?? x ? 6, x ? 10, ? 2

则 abc 的取值范围是( (A)(1,10) (C)(10,12) (B)(5,6)

)

(D)(20,24)

解:(2)作出f(x)的大致图象.不妨设a<b<c,因为a,b,c互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),由函数的图象可知10<c<12, 且|lg a|=|lg b|,因为a≠b,

所以lg a=-lg b,可得ab=1,
所以abc=c∈(10,12).故选C.

反思归纳

(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函

数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符
合要求的选项.(2)在研究对数型方程、不等式问题时,常转化为相应 函数的图象问题,利用数形结合法求解.

【即时训练】 (1)函数f(x)=ln|x-1|的图象大致是(

)

解析: (1)当x>1时,f(x)=ln(x-1), 又f(x)的图象关于x=1对称, 故选B.

(2)设方程10x=|lg(-x)|的两个根分别为x1,x2,则(
(A)x1x2<0 (C)x1x2>1 (B)x1x2=0 (D)0<x1x2<1

)

解析:(2)不妨设 x1<x2, 则 x1<-1<x2<0, 所以 10 x =lg(-x1),
1

10 x2 =-lg(-x2),

此时 10 x < 10 x ,
1 2

即 lg(-x1)<-lg(-x2), 由此得 lg(x1x2)<0, 所以 0<x1x2<1, 故选 D.

考点三 对数函数的性质及其应用(高频考点) 考查角度 1:比较大小.

高考扫描:2013 高考新课标全国卷Ⅱ 【例 3】 (2013 高考新课标全国卷Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c=log714,则 ( ) (A)c>b>a (B)b>c>a (C)a>c>b (D)a>b>c
解析:因为 1<log23<log25<log27,
1 1 1 所以 > > >0, log 2 3 log 2 5 log 2 7

即 log32>log52>log72, a=log3(3×2)=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72, 所以 a>b>c.故选 D.

反思归纳

比较对数的大小.(1)若底数为同一常数,则可由对数函

数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类 讨论;(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再 进行比较;(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.

考查角度 2:解对数不等式.
?log 2 x, x ? 0, ? 【例 4】 设函数 f(x)= ?log ? x , x ? 0, 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 ? 1? ? ? 2

(

) (B)(-∞,-1)∪(1,+∞)

(A)(-1,0)∪(0,1)

(C)(-1,0)∪(1,+∞) (D)(-∞,-1)∪(0,1)

?a ? 0, 解析:由题意可得 ? ?log2 a ? ? log2 a,
?a ? 0, ? 或 ?log ? ?a ? ? log ? ?a ?. 1 2 ? ? 2

解得 a>1 或-1<a<0.故选 C.

反思归纳

解对数不等式,形如logax>logab的不等式,借助y=logax

的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论; 形如logax>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.

考查角度3:与对数函数有关的单调性(最值)问题.

【例5】 (2016葫芦岛模拟)函数f(x)=log0.5(x2-4)的单调增区间
为 .

解析:由x2-4>0得x>2或x<-2,
设t=x2-4,则y=log0.5t为减函数. 要求函数f(x)的递增区间,即求函数t=x2-4的递减区间, 因为函数t=x2-4的递减区间为(-≦,-2), 所以函数f(x)=log0.5(x2-4)的单调增区间为(-≦,-2). 答案:(-∞,-2)

反思归纳

研究复合函数y=logaf(x)的单调性(最值)时,应先研究

其定义域,结合函数u=f(x)及y=logau的单调性(最值)情况确定函数 y=logaf(x)的单调性(最值)(其中a>0,且a≠1).

考查角度 4:与对数函数有关的参数取值(范围)问题. 高考扫描:2013 高考新课标全国卷Ⅰ 【例 6】 当 0<x≤
2 ) 2
1 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( 2

)

(A)(0,

(B)(

2 ,1) 2
x

(C)(1, 2 )

(D)( 2 ,2)
x

解析:令 f(x)=4 ,g(x)=logax,若 4 <logax,则说明当 0<x≤ 在 g(x)图象的下方(如图所示),此时需 g(
1 1 2 2 即 loga > 4 2 ,解得 a> 或 a<, 2 2 2

1 时,f(x)的图象恒 2

1 1 )>f( ), 2 2

又 0<a<1,所以

2 <a<1.故选 B. 2

反思归纳

对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题,可

借助函数图象解决,具体操作如下: (1)对不等式变形,使不等号两边对应两函数f(x),g(x); (2)在同一坐标系下作出两函数y=f(x)及y=g(x)的图象; (3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确 定参数的取值或解的情况.

备选例题
2 ? ? ? x ? 2 x, x ? 0, 【例题】 已知函数 f(x)= ? 若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是 ln x ? 1 , x ? 0. ? ? ? ?

(

) (B)(-∞,1] (D)[-2,0]
2 2

(A)(-∞,0] (C)[-2,1]

解析:法一 若 x≤0,|f(x)|=|-x +2x|=x -2x,x=0 时不等式恒成立,x<0 时,不等式可化为 a≥x-2, 而 x-2<-2, 可得 a≥-2; 若 x>0,|f(x)|=|ln(x+1)|=ln(x+1), 由 ln(x+1)≥ax,

可得 a≤

ln ? x ? 1? x

恒成立,

x ? ln ? x ? 1? ln ? x ? 1? 令 h(x)= ,则 h′(x)= x ? 1 2 , x x

再令 g(x)=

?x x -ln(x+1),则 g′(x)= <0, 2 x ?1 ? x ? 1?

故 g(x)在(0,+≦)上单调递减,
x ? ln ? x ? 1? 所以 g(x)<g(0)=0,可得 h′(x)= x ? 1 2 <0, x

故 h(x)在(0,+≦)上单调递减,x→+≦时,h(x)→0, 所以 h(x)>0,a≤0,综合以上可知,-2≤a≤0.故选 D.

法二

2 ? ? x ? 2 x, x ? 0, 函数 y=|f(x)|= ? 在同一坐标系中画出 ? ?ln ? x ? 1? , x ? 0,

y=|f(x)|,y=ax 的大致图象如图,问题等价于直线 y=ax 不在函数 y=|f(x)| 图象的上方,显然 a>0 时,根据对数函数图象与直线的关系,不可能满足条件, 故 a≤0; 由于直线 y=ax 与曲线 y=x2-2x 均过坐标原点, 所以满足条件的直线 y=ax 的边界位置是曲线 y=x2-2x 在点(0,0)处的切线, 因为 y′=2x-2,所以当 x=0 时 y′=-2. 所以-2≤a≤0.故选 D. 法三 作出函数y=|f(x)|的图象(如法二中图),
取a的特殊值进行检验,如取a=1不满足不等式, 可排除选项B,C,取a=-5,不满足不等式,可排除 选项A.故选D.

易混易错辨析

用心练就一双慧眼
忽视函数的定义域致误

【典例】 (2016 黄冈模拟)若函数 f(x)= log 1 (-x +4x+5)在区间(3m-2,m+2)内
2

2

单调递增,则实数 m 的取值范围为( (A)[ (C)[
4 4 ,3](B)[ ,2] 3 3 4 4 ,2)(D)[ ,+∞) 3 3

)

解析:先保证对数有意义,即-x +4x+5>0,解得-1<x<5. 又可得二次函数 y=-x2+4x+5 的对称轴为 x=由复合函数单调性可得函数 f(x)= log 1 (-x +4x+5)的单调递增区间为(2,5),
2
2

2

4 =2, 2 ? ? ?1?

要使函数 f(x)= log 1 (-x +4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,
2

2

?3m ? 2 ? 2, 4 ? 只需 ?m ? 2 ? 5, 解得 ≤m<2.故选 C. 3 ?3m ? 2 ? m ? 2, ?

易错提醒:(1)对含有对数式结构的函数、方程、不等式问题,求解时应遵

循定义域优先原则.
(2)判断复合函数的单调性,应遵循“同增异减”的原则.


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