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点线面位置关系知识梳理(文字)

时间:2016-08-18

第二章 直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义:平面是无限延展的 2 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A∈ l B∈ l A∈ ? B∈ ? 公理 1 作用:判断直线是否在平面内. (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。
α ·
A C

=> l ? ?

α ·

A

L

·

B

·

公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过
β

该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系:
共面直线

α

P

·

L

相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点;

异面直线:

不同在任何一个平面内,没有公共点。

2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补. 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为 ? 了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; 2 ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记 作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
=>a∥c

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a

α

a∩α =A

a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a b a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则 这两个平面平行。 符号表示: α β => a∥α

a
b

β β β ∥?

a ∩b = p a ∥?
b ∥?

2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任 一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a ∥α a β a∥b

α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那 么它们的交线平行。 符号表示:

? ∥?
? ∩γ = a
? ∩γ = b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平 面α 互相垂直,记作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂 面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L 2、 直线与平面垂直的判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;

a ∥b

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的 数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平 面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直。 β


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