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2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测63 二项式定理]

时间:2015-04-10


课时跟踪检测(六十三) 二项式定理

第Ⅰ组:全员必做题 1.设?x-

?

2 ?6 A 的展开式中 x3 的系数为 A,二项式系数为 B,则 =( B x? B.-4 D.-26

)

A.4 C.26

2 1?n 2.(2013· 湖北八校联考)在? ?x -x? 的展开式中,常数项为 15,则 n 的值可以为(

)

A.3 C.5

B .4 D.6 )

?x- 1 ?8 3.(2013· 济南模拟)二项式?2 3 ? 的展开式中常数项是( x? ?
A.28 C.7 B.-7 D.-28

1 ? x- ?6,x<0, ?? x? ? 4.(2013· 陕西高考)设函数 f(x)=? 则当 x>0 时,f(f(x))表达式的展开式 ? ?- x,x≥0, 中常数项为( A.-20 C.-15 ) B.20 D.15 )

5.(2013· 北京东城模拟)(x- 2y)8 的展开式中,x6y2 项的系数是( A.56 C.28 B.-56 D.-28

6.(2014· 合肥质检)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+?+a9(x+1)9,且(a0+a2 +?+a8)2-(a1+a3+?+a9)2=39,则实数 m 的值为( A.1 或-3 C.1 B.-1 或 3 D.-3 ) )

2 2 1?6 2 7.(2014· 黄冈模拟)设 a=? ?1(3x -2x)dx,则二项式? ?ax -x? 展开式中的第 4 项为(

A.-1 280x3 C.240

B.-1 280 D.-240

8.(2013· 青岛一检)“n=5”是“? A.充分不必要条件

?2 x+ 1 ?n * 3 ? (n∈N )的展开式中含有常数项”的( x? ?
B.必要不充分条件

)

C.充要条件 9.(2013· 浙江高考)设二项式?

D.既不充分也不必要条件

? x- 1 ?5 3 ? 的展开式中常数项为 A,则 A=________. x? ?

10.(2014· 福州质检)在(1-x2)20 的展开式中,如果第 4r 项和第 r+2 项的二项式系数相 等,则 r=________.

?3 2? 11.(2013· 广州二模)在? x- ?15 的展开式中,x 的整数次幂的项的个数为________. x? ?
1 1 x+ ?n 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中 2的系数 12.若? x ? ? x 为________. 第Ⅱ组:重点选做题 2 ?n * 1.已知? ? x-x2? (n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和; (2)求展开式中含 x 的项;
3 2

2.(1)求证:1+2+22+?+25n 1(n∈N*)能被 31 整除;


2 27 (2)求 S=C1 27+C27+?+C27除以 9 的余数.

答 第Ⅰ组:全员必做题 2 6-k? - ? k= 1.选 A Tk+1=Ck 6x x? ?
k Ck 6(-2) x
6- 3k 2



3k ,令 6- =3,即 k=2, 2

2 3 3 所以 T3=C2 6(-2) x =60x ,

所以 x3 的系数为 A=60, 二项式系数为 B=C2 6=15, A 60 所以 = =4,选 A. B 15

1?r 2 n-r? 2.选 D ∵Tr+1=Cr n(x ) ?- x ? =
r 2n Cr n(-1) x
- 3r



r ∴Cr n(-1) =15 且 2n-3r=0,∴n 可能是 6,选 D.

3.选 C 展开式的通项公式是 Tr+1=
- r 1 r ?x?8-r· ?1?2 3 Cr 令 8-r- =0, 得 r=6, 所以展开式中的常数项为 C6 8 2 8× 2 =28× ? ? (-1) x , ? ? 3 4 r

=7. 4.选 A 依据分段函数的解析式,得 f(f(x))=f(- x)=?
r r 3 3 ∴Tr+1=Cr ,则常数项为 C3 6(-1) x 6(-1) =-20.


1 - x?6, ? x ?

2 5.选 A 由二项式定理通项公式得,所求系数为 C2 8(- 2) =56.

6.选 A

令 x=0,得到 a0+a1+a2+?+a9=(2+m)9,令 x=-2,得到 a0-a1+a2-

a3+?-a9=m9,所以有(2+m)9m9=39,即 m2+2m=3,解得 m=1 或-3. 1 2 3? ?4x2-1?6 展开式中的第 4 项为 T3+1=C3 - ? 7. 选 A 由微积分基本定理知 a=4, (4 x ) 6 x? ? ? x?
3

=-1 280x3,选 A.
n- r r ?2 x+ 1 ?n ?2 x+ 1 ?n - * r n-r 2 3 8. 选 A 因为? , ? 3 ? (n∈N )展开式的通项 Tr+1=Cn2 x 3 ? 的展 x? x? ? ?

n-r r 15-5r 开式中含有常数项时满足 - =0, 当 n=5 时, =0, 解得 r=3, 此时含有常数项; 2 3 6 反之,当 n=10 时,r=6,也有常数项,但是不满足 n=5.故“n=5”是“? N*)的展开式中含有常数项”的充分不必要条件,选 A. 9.解析:Tr+1=(-1)rCr 5x 答案:-10 2 r-1 r +1 10.解析:由题意得,C4 20 =C20 故 4r-1=r+1 或 4r-1+r+1=20,即 r= 或 r=4. 3 因为 r 为整数,故 r=4. 答案:4 11.解析:展开式的通项为 3 Tr+1=(-1)rCr ( 15· x)
15-r
15-5 r 6

?2 x+ 1 ?n 3 ? (n∈ x? ?

,令 15-5r=0,得 r=3,故常数项 A=(-1)3C3 5=-10.

? 2 ?r=(-1)r2rCr x 15 ? x?

30- 5r 6

,由题意 5

5 - r 为非负整数,得 r=0 或 6,∴符合要求的项的个数为 2. 6 答案:2 12.解析:利用二项展开式的通项公式求解.

6 由题意知,C2 n=Cn,∴n=8.
- ?1?r r 8-2r ∴Tr+1=Cr x8 r· x , 8· ?x? =C8·

当 8-2r=-2 时,r=5, 1 3 ∴ 2的系数为 C5 8=C8=56. x 答案:56 第Ⅱ组:重点选做题 1.解:由题意知,第五项系数为 C4 (-2)4, n· 第三项的系数为 =-3(舍去). (1)令 x=1 得各项系数的和为(1-2)8=1. 2 ?k 8-k - ? k (2)通项公式 Tk+1=Ck ( x)8 k· (-2)k· x -2k, 8· ?-x2? =C8· 2 令
8- k 2

C4 ?-2?4 10 n· 2 2 Cn· (-2) ,则有 2 = ,化简得 Cn· ?-2?2 1

n2-5n-24=0,解得 n=8 或 n

3 -2k= ,则 k=1,故展开式中含 x 2 的项为 2
3

3

T2=-16x 2 . 25n-1 - 2.解:(1)证明:∵1+2+22+?+25n 1= 2-1 =25n-1=32n-1=(31+1)n-1
n 1 n 1 1 n =C0 +?+Cn n×31 +Cn×31 n ×31+Cn-1
- -

n 1 n 2 1 =31(C0 +C1 +?+Cn n×31 n×31 n ),
- - -

n 1 1 1 显然 C0 +Cn ×31n 2+?+Cn n×31 n 为整数,
- - -

∴原式能被 31 整除.
2 27 27 9 (2)S=C1 27+C27+?+C27=2 -1=8 -1 9 1 8 8 9 =(9-1)9-1=C0 9×9 -C9×9 +?+C9×9-C9-1 8 1 7 8 =9(C0 9×9 -C9×9 +?+C9)-2. 8 1 7 8 ∵C0 9×9 -C9×9 +?+C9是整数,

∴S 被 9 除的余数为 7.


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