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江西省上饶县2016

时间:2017-09-25


江西省上饶县 2016-2017 学年高二数学下学期第一次月考试题(理 零)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题5分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.命题“若 q 则 p ”的否命题是 A. 若 q 则 ? p B.若 ? q 则 p C. 若 ? q 则 ? p )象限 C. 三 D. D.若 ? p 则 ? q

2.已知 i 是虚数单位,复数 z ? A. 一 四

3?i 对应的点在第( 1? i
B. 二

3..已知 m,n 为两条不同的直线,α ,β 为两个不同的平面,则下列为真命题的是( A.α ∥β ,m ? α ,n ? β ? m∥n C. m⊥α ,m⊥n ? n∥α ∥β B. m∥n,m⊥α ? n⊥α

)

D. m ? α ,n ? α ,m∥β ,n∥β ? α

4. 中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是 指《孙子算经》 中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算, 算筹的摆放形式有纵横两种形式(如下图所示) ,表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样, 把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用 纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推.例如 6613 用算筹表示就是 ,则 9117 用算筹可表示为( A. C. B. D. )

5.“直线 (m ? 2)x ? 3m y ? 1 ? 0与 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 0 互相垂直”是“ m ? ( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件

1 ”的 2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知 y ? f ? x ? 的导函数为 y ? f ? ? x ? ,且在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ? x ? 3 ,则

f ?1? ? f ? ?1? ? (



1

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

2

7.某个命题与正整数 n 有关, 如果当 n ? k (k ? N ? ) 时命题成立, 那么可推得当 n ? k ? 1 时 命题也成立. 现已知当 n ? 7 时该命题不成立, 那么可推( A.当 n=6 时该命题不成立 C.当 n=8 时该命题不成立 )

B.当 n=6 时该命题成立 D.当 n=8 时该命题成立 )

8. 直线 y ? 4 x 与曲线 y ? x 3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A. 4 B. 2 C. 4 2 D. 2 2

??? ? ??? ? 9. 空间四边形 ABCD 中,若向量 AB ? (?3,5, 2) , CD ? (?7, ?1, ?4) ,
? 点 E , F 分别 为线段 BC , AD 的中点,则 ??? EF 的坐标为(

)

[来 A. (2, 3, 3) C. (5, ?2,1)

B. (?2, ?3, ?3) D. (?5, 2, ?1)

10.设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x ) 的图象画在同一个直角坐标 系中,不可能 正确的是 ... ( )

11.如图所示, ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 6 的正方体, E、 F 分别是棱 AB、

BC 上的动点, 且 AE=BF.当 A1、 E、 F、 C1 共面时, 平面 A1DE 与平面 C1DF
所成锐二面角的余弦值为( A. ) 1 2 C. 1 5 D.

3 2

B.

2 6 5

12. 若函数 f ( x ) 在其定义域的一个子集 [ a, b] 上存在实数

m(a ? m ? b) ,使 f ( x ) 在 m 处的导数 f ?(m) 满足 f (b) ? f (a) ? f ?(m)(b ? a) ,则称 m 是函
数 f ( x ) 在 [ a, b] 上的一个“中值点”,函数 f ( x ) ? 点”, 则实数 b 的取值范围是( ) B.

1 3 x ? x 2 在 [0, b] 上恰有两个“中值 3

2 A. ( ,3) 3

? 3, ???

3 C. ( ,3) 2

D. ? ,3 ; ?

?3 ? ?2 ?

二、填空题(每小题 5 分,满分 20 分) 13.若“ x ? ? 2,5? 或 x ? x | x ? 1或x ? 4 ”是假命题,则 x 的范围是___

?

?

.
3

14. 定积分 ? 0 sin x ? cos x dx ? ____________. 15.若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为 16. 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .若数列 ?an ? 的各项按如下规则排列:
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , , , , , , ?????? , , ??? ?????? 若存在正整数 k ,使 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n
2

?



S k ?1 ? 10, S k ? 10 ,则 ak ? _______ .
三、解答题(本大题共 6 小题,17 题 10 分,其余每小题 12 分.解答应写出文字说明.证明过 程或推演步骤.)
2 17. 设集合 A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,集合 B ? ?x || x ? a |? 1? .

?

?

(1)若 a ? 3 ,求 A ? B ; (2)设命 题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,若 p 是 q 成立的必要不充分 条件,求实数 a 的 取值范围.

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q : 关于 x 的方程 18.已知命题 p : 方程 m ?1 3 ? m
x 2 ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 无实根,若“ p ∧ q ”为假命题,“ p ∨ q ”为真命题,求实数 m
的取值范围.

19.已知 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2
4 2

(Ⅰ)求实数 a , b, c 的值; (Ⅱ)求 y ? f ( x) 的单调递增区间.

4

20.如图,正方形 AMDE 的边长为 2,B,C 分别为 AM,MD 的中点.在五棱锥 P-ABCDE 中,F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD,PC 分别交于点 G,H. (1)求证:AB∥FG; (2)若 PA⊥底面 ABCDE,且 PA=AE,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并求线段

PH 的长.

1 21.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,离心率为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)设直线 l 经过点 M(0,1),且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若AM=2MB,求直线 l 的方程.

22. 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x

2

( a 为实常数) .

(1)当 a ? ?4 时,求函数 f ( x) 在 ?1, e? 上的最大值及相应的 x 值; (2)当 x ? ?1, e? 时,讨论方程 f ?x ? ? 0 根的个数. (3)若 a ? 0 ,且对任意的 x1 , x2 ? ?1, e? ,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 值范围.

1 1 ,求实数 a 的取 ? x1 x2

5

2018 届高二下学期第一次月考试卷 数学(理零)参考答案 1-5.C D B C B 6-10. B A A B D 13. [1, 2) 14. 2 2 11-12. B C 15. 6 16.

ak ?

6 7

17. (1)解不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 ?3 ? x ? 1 ,即 A ? ? ?3,1? , 当 a ? 3 时 , 由 x ? 3 ? 1 , 解 得 ?4 ? x ? ?2 , 即 集 合 B ? ? ? 4 , ?2 ? ,所以

A ? B ? ? ?4 , ? 1;

??????4 分

(2) 0 ? a ? 2 . ????????10 分 18.解:若命题 p 为真命题,实数 m 的取值范围是(﹣1,1) ; ?????4 分 命题 p 为真命题,得﹣1<m<3. ?????8 分

若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,则实数 m 的取值范围是[1,3) .???12 分 19 解:(Ⅰ) f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (0,1) ,则 c ? 1 ,

f ' ( x) ? 4ax3 ? 2bx, k ? f ' (1) ? 4a ? 2b ? 1,
切点为 (1, ?1) ,则 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (1, ?1)
4 2

得 a ? b ? c ? ?1, 得a ? (Ⅱ) f ( x) ?

5 9 ,b ? ? 2 2

?????????????7 分

5 4 9 2 x ? x ?1 2 2

f ' ( x) ? 10 x3 ? 9 x ? 0, ? ?

3 10 3 10 ? x ? 0, 或x ? 10 10
????????12 分

3 10 单调递增区间为 (? 3 10 , 0) 和 ( , ??) 10 10
20.解:(1)略??????????4 分 (2)因为 PA⊥底面 ABCDE,所以 PA⊥AB,PA⊥AE.

如图建立空间直角坐标系 Axyz ,则 A(0,0,0) , B(1,0,0) , C(2,1,0) , P(0,0,2) ,

F(0,1,1), BC =(1,1,0).

??? ?

设平面 ABF 的法向量为 n=(x,y,z),

6

→ ? ?n·AB=0, 则? → ? ?n·AF=0,

即?

? ?x=0, ?y+z=0. ?

令 z=1,则 y=-1.所以 n=(0,-1,1).

? n·→ ? BC ? 1 ? 设直线 BC 与平面 ABF 所成角为 α ,则 sinα =|cos〈n,BC〉|= = . ? →? 2 ?|n||BC|?
→ π 因此直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小为 . 6 → 即(u,v,w-2)=λ (2,1,-2). → 所以 u=2λ ,v=λ ,w=2-2λ . → 因为 n 是平面 ABF 的法向量,所以 n·AH =0, 即(0,-1,1)·(2λ ,λ ,2-2λ ) =0. 2 ?4 2 2? 解得 λ = ,所以点 H 的坐标为? , , ?. 3 ?3 3 3? 所以 设点 H 的坐标为(u,v,w).

因为点 H 在棱 PC 上,所以可设PH=λ PC(0<λ <1),

PH=

?4?2+?2?2+?-4?2=2. ????????????12 分 ?3? ?3? ? 3? ? ? ? ? ? ?
x2 y2 a b

21.解析:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1,(a>0,b>0),

c 1 ∵c=1, = ,∴a=2, b= 3, a 2
∴所求椭圆方程为 + =1.?????????4 分 4 3

x2 y2

y=kx+1, ? ? 2 2 (2)由题意得直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y=kx+1,则由?x y + =1. ? ?4 3
去 y 得(3+4k )x +8kx-8=0,且 Δ >0. -8k x +x = , ? ? 3+4k 设 A(x ,y ),B(x ,y ),∴? -8 x ·x = , ? ? 3+4k
1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2



????????????7 分

→ → 由AM=2MB得 x1=-2x2,

7

-8k -x = , ? ? 3+4k ∴? -8 -2x = , ? ? 3+4k
2 2 2 2 2

消去 x2 得(

8k 2 4 2) = 2, 3+4k 3+4k

1 1 2 解得 k = ,∴k=± ,????????????10 分 4 2 1 所以直线 l 的方程为 y=± x+1,即 x-2y+2 =0 或 x+2y-2=0.???????12 2 分 22. (1)f ?( x) ?

2x 2 ? 4 ( x ? 0) , 当 x ? [1, 2 ) 时,f ?( x) ? 0 . 当 x? x
2

?

2 , e 时,f ?( x) ? 0 ,

?

又 f (e) ? f (1) ? ?4 ? e ? 1 ? 0 , 故 f ( x) m a x ? f (e) ? e 2 ? 4 , 当 号?????3 分

x ? e 时,取等

(2)易知 x ? 1 ,故 x ? ?1, e? ,方程 f ?x ? ? 0 根的个数等价于 x ? ?1, e? 时,

x2 x2 方程 ? a ? 根的个数。 设 g ?x ? = , g ?( x) ? ln x ln x

2 x ln x ? x 2 ln 2 x

当 x ? 1, e 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 递减,当 x ? ( e , e?时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 递增。又 g (e) ? e , g ( e ) ? 2e ,作出 y ? g ( x) 与直线 y ? ?a 的图像,由图像知:
2
2 2 当 2e ? ?a ? e 时,即 ? e ? a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 2 个相异的根;

? ?

1 x ? x(2 ln x ? 1) ln 2 x

当 a ? ?e

2

或 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 1 个根;

当 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 0 个根;?????8 分 ( 3 )当 a ? 0 时, f ( x) 在 x ?[1, e] 时是增函数,又函数 y ?

1 是减函数,不妨设 x

1 ? x1 ? x2 ? e ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?
即 f ( x2 ) ?

1 1 1 1 等价于 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? x1 x2 x1 x2

1 1 1 ? f ( x1 ) ? ,故原题等价于函数 h? x ? ? f ( x) ? 在 x ?[1, e] 时是减函 x x2 x1

1 a 1 ? 2 x ? 2 ? 0 恒成立,即 a ? ? 2 x 2 在 x ?[1, e] 时恒成立。 x x x 1 1 ? y ? ? 2 x 2 在 x ?[1, e] 时是 减函数 ? a ? ? 2e 2 ?????12 分 x e
数,

? h ?( x) ?

8


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