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18版高中数学第二章统计2.3.1变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关学业分层测评新人教A版必修3

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2.3.1

变量间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关
(建议用时:45 分钟) [学业达标]

一、选择题 1.有几组变量: ①汽车的重量和汽车每消耗 1 升汽油所行驶的平均路程; ②平均日学习时间和平均学习成绩; ③立方体的棱长和体积. 其中两个变量成正相关的是( A.①③ C.② ) B.②③ D.③

【解析】 ①是负相关;②是正相关;③是函数关系,不是相关关系. 【答案】 C 2.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是( A.都可以分析出两个变量的关系 B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C.都可以作出散点图 D.都可以用确定的表达式表示两者的关系 【解析】 由两个变量的数据统计,不能分析出两个变量的关系,A 错;不具有线性相 关的两个变量不能用一条直线近似地表示他们的关系, 更不能用确定的表达式表示他们的关 系,B,D 错. 【答案】 C ^ ^ ^ ^ 3.对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y=a+bx 中,回归系数b( A.不能小于 0 C.不能等于 0 B.不能大于 0 D.只能小于 0 ) )

^ ^ 【解析】 当b=0 时,r=0,这时不具有线性相关关系,但b能大于 0,也能小于 0. 【答案】 C 4. 四名同学根据各自的样本数据研究变量 x, y 之间的相关关系, 并求得回归直线方程, 分别得到以下四个结论: ^ ^ ①y 与 x 负相关且y=2.347x-6.423; ②y 与 x 负相关且y=-3.476x+5.648; ③y 与 x ^ ^ 正相关且y=5.437x+8.493;④y 与 x 正相关且y=-4.326x-4.578. 其中一定不正确 的结论的序号是( ... )
1

A.①② C.③④

B.②③ D.①④

【解析】 由正负相关性的定义知①④一定不正确. 【答案】 D 5.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x/万元 销售额 y/万元 4 49 2 26 3 39 5 54

^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时,销 售额为( ) B.65.5 万元 D.72.0 万元 1 4

A.63.6 万元 C.67.7 万元 【解析】 1 4

x = (4+2+3+5)=3.5,

y = (49+26+39+54)=42,
^ ^ 所以a= y -b x =42-9.4×3.5=9.1, ^ 所以回归方程为y=9.4x+9.1, ^ 令 x=6,得y=9.4×6+9.1=65.5(万元).故选 B. 【答案】 B 二、填空题 ^ 6. 若施化肥量 x(千克/亩)与水稻产量 y(千克/亩)的回归方程为y=5x+250, 当施化肥 量为 80 千克/亩时,预计水稻产量为亩产________千克左右. ^ 【解析】 当 x=80 时,y=400+250=650. 【答案】 650 ^ 7.已知一个回归直线方程为y=1.5x+45,x∈{1,7,5,13,19},则 y =________. 1 【解析】 因为 x = (1+7+5+13+19)=9, 5 且回归直线过样本中心点( x , y ), 所以 y =1.5×9+45=58.5. 【答案】 58.5 8.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元),调查 显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系, 并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程:
2

^

y=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加
________万元. ^ 【解析】 由于y=0.254x+0.321 知,当 x 增加 1 万元时,年饮食支出 y 增加 0.254 万元. 【答案】 0.254 三、解答题 9.某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据: 产量 x(千件) 成本 y(万元) (1)画出散点图; (2)求成本 y 与产量 x 之间的线性回归方程.(结果保留两位小数) 【解】 (1)散点图如图所示. 2 7 3 8 5 9 6 12

^ ^ ^ (2)设 y 与产量 x 的线性回归方程为y=bx+a,

x=
n

2+3+5+6 7+8+9+12 =4, y = =9, 4 4

?xiyi-n x y
^
i=1

b=
i-n x ?x2 i=1 n
2

x1y1+x2y2+x3y3+x4y4 -4 x
= =1.10, ^

y

x +x +x +x -4 x

2 1

2 2

2 3

2 4

2

11 = 10

a= y -b x =9-1.10×4=4.60.
^ ∴回归方程为:y=1.10x+4.60. [能力提升] 1.根据如下样本数据:

^-

3

x y

3 4.0

4 2.5

5 -0.5 )

6 0.5

7 -2.0

8 -3.0

^ 得到的回归方程为y=bx+a,则( A.a>0,b>0 C.a<0,b>0 【解析】 作出散点图如下:

B.a>0,b<0 D.a<0,b<0

^ ^ 观察图象可知,回归直线y=bx+a 的斜率 b<0,当 x=0 时,y=a>0.故 a>0,b<0. 【答案】 B 2.期中考试后,某校高三(9)班对全班 65 名学生的成绩进行分析,得到数学成绩 y 对 ^ 总成绩 x 的回归直线方程为y=6+0.4x.由此可以估计: 若两个同学的总成绩相差 50 分, 则 他们的数学成绩大约相差________分. 【解析】 令两人的总成绩分别为 x1,x2. 则对应的数学成绩估计为 ^

y1=6+0.4x1,y2=6+0.4x2,
^ ^ 所以|y1-y2|=|0.4(x1-x2)|=0.4×50=20. 【答案】 20 3.从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄

^

yi(单位:千元)的数据资料,算得 ?xi=80, ?yi=20, ?xiyi=184, ?x2 i=720.
i=1 i=1 i=1 i=1

10

10

10

100

(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a; (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

4

?xiyi-n x y
i=1

n

附:线性回归方程 y=bx+a 中,b=
i-n x ?x2 i=1 n

,a= y -b x ,其中 x , y 为样 2

^ ^ ^ 本平均值,线性回归方程也可写为y=bx+a. 【解】 (1)由题意知 n=10, x = 1

xi= =8, n? 10
i=1

n

80

y=

1

yi= =2, ni? 10 =1
n

n

20

又 lxx= ?xi-n x =720-10×8 =80,
2 2 2

i=1

lxy= ?xiyi-n x y =184-10×8×2=24,
i=1

n

由此得 b=

lxy 24 = =0.3,a= y -b x =2-0.3×8=-0.4. lxx 80

故所求线性回归方程为 y=0.3x-0.4. (2)由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b=0.3>0),故 x 与 y 之间是正相关. (3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y=0.3×7-0.4=1.7(千元).

5


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