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创新设计】(北师大版)2015届高考数学一轮精品第8篇 第6讲 抛物线

时间:2014-10-17


第6讲

抛物线

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2013· 四川卷)抛物线 y2=8x 的焦点到直线 x- 3y= 0 的距离是 A.2 3 C. 3 解析 B.2 D.1 由抛物线方程知 2p=8?p=4, 故焦点 F(2,0), 由点到直线的距离公式 |2- 3×0| =1. 1+3 ( ).

知,F 到直线 x- 3y=0 的距离 d= 答案 D

2.(2014· 安康中学模拟)已知圆 x2+y2-6x-7=0 与抛物线 y2=2px(p>0)的准线 相切,则 p 的值为 A.1 1 C.2 解析 B.2 D.4 圆的标准方程为(x-3)2+y2=16,圆心为(3,0),半径为 4.圆心到准线 ( ).

? p? 的距离为 3-?-2?=4,解得 p=2. ? ? 答案 B ).

3.点 M(5,3)到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 6,那么抛物线的方程是( A.y=12x2 C.y=-36x2 解析 答案 B.y=12x2 或 y=-36x2 1 1 D.y=12x2 或 y=-36x2

1 1 分两类 a>0,a<0 可得 y=12x2,y=-36x2. D

x2 y2 4. (2014· 吉安模拟)已知抛物线 y2=2 px(p>0)的焦点 F 与双曲线 4 - 5 =1 的右焦 点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上且|AK|= 2|AF|,

则 A 点的横坐标为 A.2 2 C.2 3 解析 B.3 D.4

(

).

p ?p ? 抛物线的焦点为?2,0?,准线为 x=-2.双曲线的右焦点为(3,0),所以 ? ?

p 2 2=3,即 p=6,即 y =12x.过 A 做准线的垂线,垂足为 M,则|AK|= 2|AF| = 2|AM|,即|KM|=|AM|,设 A(x,y),则 y=x+3,代入 y2=12x,解得 x= 3. 答案 B

5.(2013· 新课标全国Ⅱ卷)设抛物线 C:y2=4x 的焦 点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为 A.y=x-1 或 y=-x+1 3 3 B.y= 3 (x-1)或 y=- 3 (x-1) C.y= 3(x-1)或 y=- 3(x-1) D.y= 解析 2 2 (x-1)或 y=- (x-1) 2 2 → =3FB → ,而 F 点坐标为(1,0),设 B(x ,y ), 由|AF|=3|BF|,得AF 0 0 ( ).

法一

?1-xA=3?x0-1?, 则? 从而可解得 A 的坐标为(4-3x0,-3y0),因为点 A,B ?-yA=3y0,
2 ?y0=4x0, 1 2 都在抛物线上,所以? 解得 x0=3,y0=± ,所以 kl 2 3 ??-3y0? =4?4-3x0?,



y0-0 =± 3. x0-1

则过点 F 的直线方程为 y= 3(x-1)或 y=- 3(x-1). 法二 2p 1 1 2 结合焦点弦公式|AB|=sin2θ及 |FA|+|FB|=p求解,设直线 AB 的倾斜角

|AF| 1 1 2 1 1 为 θ,由题意知 p=2,F(1,0),|BF|=3,又|FA|+|FB|=p,∴3|BF|+|BF|=1, 4 16 ∴|BF|=3,|AF|=4,∴|AB|= 3 .

2p 16 4 又由抛物线焦点弦公式:|AB|=sin2θ,∴ 3 =sin2θ,

[来源 :Zxxk.Com]

3 3 ∴sin2θ=4,∴sin θ= 2 ,∴k=tan θ=± 3,故选 C. 答案 C
[来源:Z。xx。k.Com]

二、填空题 6.若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2,则点 P 的轨迹方程是 ________ . 解析 由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0,3)的距离, 故点 P

的轨迹是以点(0,3)为焦点,以 y=-3 为准线的抛物线,且 p=6,所以其标准 方程为 x2=12y. 答案 x2=12y

7.已知抛物线 y2=4x 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离|MF|=4,则点 M 的 横坐标 x0=________. 解析 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线为 x=-1.

根据抛物线的定义,点 M 到准线的距离为 4,则 M 的横坐标为 3. 答案 3

8.(2012· 陕西卷)如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面 宽 4 米.水位下降 1 米后,水面宽________米.

解析

[来源 :Zxxk.Com]

如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方 程为 x =-2py(p>0).由题意 A(2,

2

-2)代入 x2=-2py,得 p=1,故 x2=-2y.设 B(x,-3),代入 x2=-2y 中, 得 x= 6,故水面宽为 2 6米. 答案 2 6
[来源:Zxxk.Com]

三、解答题

9.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点 的距离为 5,求抛物线的方程和 m 的值. 解 法一 根据已知条件,抛物线方程可设为

? p ? y2=-2px(p>0),则焦点 F?-2,0?. ? ? ∵点 M(-3,m)在抛物线上,且|MF|=5,
2 ?m =6p, ? 故? p? ? ?-3+2?2+m2=5, ? ? ? ?

?p=4, 解得? ?m=2 6

?p=4, 或? ?m=-2 6.

∴抛物线方程为 y2=-8x,m=± 2 6. 法二 p 设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),则准线方程为 x=2,由抛物线定义,

p M 点到焦点的距离等于 M 点到准线的距离,所以有2-(-3)=5,∴p=4. ∴所求抛物线方程为 y2=-8x, 又∵点 M(-3,m)在抛物线上, 故 m2=(-8)×(-3), ∴m=± 2 6. 10.设抛物线 C:y2=4x,F 为 C 的焦点,过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点. (1)设 l 的斜率为 1,求|AB|的大小; →· → 是一个定值. (2)求证:OA OB (1)解 ∵由题意可知抛物线的焦点 F 为(1,0),准线方程为 x=-1,∴直线 l

的方程为 y=x-1, ?y=x-1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 ?y =4x

得 x2-6x+1=0,∴x1+x2=6, 由直线 l 过焦点,则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2 =8. (2)证明 设直线 l 的方程为 x=ky+1,

?x=ky+1, → =(x , → 由? 2 得 y2-4ky-4=0.∴y1+y2=4k, y1y2=-4, OA OB 1 y1), y = 4 x ? =(x2,y2). →· → =x x +y y ∵OA OB 1 2 1 2 =(ky1+1)(ky2+1)+ y1y2 =k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2 =-4k2+4k2+1-4=-3. →· → 是一个定值. ∴OA OB 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 x2 y2 1.已知双曲线 C1:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x2=2py(p>0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( 8 3 A.x2= 3 y C.x2=8y 解析 16 3 B.x2= 3 y D.x2=16y
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

).

2 2 x2 y2 c c2 a +b b ∵a2-b2=1 的离心率为 2,∴a=2,即a2= a2 =4,∴a= 3.x2=

p? x2 y2 b ? 2py 的焦点坐标为?0,2?,a2-b2=1 的渐近线方程为 y=± ax,即 y=± 3x.由 ? ? p 2 1+? 3?
2

题意,得 答案 D

=2,∴p=8.故 C2:x2=16y,选 D.

2.(2014· 上饶模拟)已知 P 是抛物线 y2=4x 上一动点,则点 P 到直线 l:2x-y+ 3=0 和 y 轴的距离之和的最小值是 A. 3 B. 5 ( ).

C.2 解析

D. 5-1 由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0).设点 P 到直线 l 的距离为 d,由抛

物线的定义可知,点 P 到 y 轴的距离为|PF|-1,所以点 P 到直线 l 的距离与 到 y 轴的距离之和为 d+|PF|-1.易知 d+|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离, 故 d+|PF|的最小值为 答案 D |2+3| = 5,所以 d+|PF|-1 的最小值为 5-1. 2 +?-1?2
2

二、填空题 x2 y2 3.(2014· 郑州二模)已知椭圆 C: 4 + 3 =1 的右焦点为 F,抛物线 y2=4x 的焦点 为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的倾斜 角为 120° ,那 么|PF|=________. 解析 抛物线的焦点坐标为 F(1,0),准线方程为 x=-1.因为直 线 AF 的倾斜 yA ,所以 yA=2 3.因 为 PA⊥l,所以 yP=yA -1-1

角为 120° ,所以 tan 120° =

=2 3,代入 y2=4x,得 xA=3,所以|PF|=|PA|=3-(-1)=4. 答案 4

三、解答题 4.(2014· 台州质量评估)已知抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,过点 K(0,-1)的直 线 l 与 C 相交于 A,B 两点,点 A 关于 y 轴的对称点为 D. (1)证明:点 F 在直线 BD 上; →· → =8,求∠DBK 的平分线与 y 轴的交点坐标. (2)设FA FB 9 (1)证明 设 A(x1 ,y1),B(x2,y2),D(-x1,y1),l 的方程为 y=kx-1,由

?y=kx-1, ? 2 得 x2-4kx+4=0, ?x =4y 从而 x1+x2=4k,x1x2=4. y2-y1 直线 BD 的方程为 y-y1= (x+x1), x2+x1 x2-x1 x2 1 即 y- 4 = 4 (x+x1),

x1x2 令 x=0,得 y= 4 =1,所以点 F 在直线 BD 上. (2)解 →· → =(x ,y -1)· 因为FA FB (x2,y2-1)=x1x2+(y1-1)(y2-1)=8-4k2, 1 1

8 4 故 8-4k2=9,解得 k=± 3,所以 l 的方程为 4x-3y-3=0,4x+3y+3=0. 4 又由(1)得 x2-x1=± 16k2-16=± 3 7, 故直线 BD 的斜率为 x2-x1 7 = ± 4 3,

因而直线 BD 的方程为 7x-3y+3=0, 7x+3y-3=0. 设∠DBK 的平分线与 y 轴的交点为 M(0,t), 则 M(0,t)到 l 及 BD 的距离分别为 由 3|t+1| 3|t-1| 5 , 4 ,

3|t+1| 3|t-1| 1 = ,得 t = 5 4 9或 t=9(舍去),

1? ? 所以∠DBK 的平分线与 y 轴的交点为 M?0,9?. ? ?


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