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高中数学1.4.3正切函数的性质和图象课件新人教A版必修4_图文

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1.4.3 【学习要求】 正切函数的性质与图象 本 课 时 2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题. 栏 目 【学法指导】 开 关 学习正切函数的性质与图象时, 应类比正弦函数和余弦函数的研究 1.了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性质. π 方法,抓住正切函数的图象具有渐近线(x=kπ+ ,k∈Z)这一明显 2 特征, 准确地整体把握正切函数的图象, 结合图象记忆正切函数的 有关性质(定义域、值域、周期、奇偶性、单调性、对称性等). 填一填·知识要点、记下疑难点 函数y=tan x的性质与图象见下表: 本 课 时 栏 目 开 关 y=tan x 图象 定义域 π {x|x∈R,且 x≠kπ+2,k∈Z} 填一填·知识要点、记下疑难点 值域 本 课 时 栏 目 开 关 R ___ π 最小正周期为__ 周期 奇偶性 奇函数 _________ ? π π? ?kπ- ,kπ+ ? (k∈Z) 2 2? ? 在开区间_______________________ 内递增 单调性 研一研·问题探究、课堂更高效 探究点一 正切函数的图象 ? π π? x, x∈?-2,2 ? ? ? 阅读下文,了解正切函数图象的几何作法. 本 课 时 栏 目 开 关 类比正弦函数图象的作法, 作正切函数 y=tan 图象的步骤: (1)建立平面直角坐标系,在 x 轴的负半轴上任取一点 O1,以 O1 为圆心作单位圆. (2)把单位圆中的右半圆平均分成 8 份,并作出相应终边的 正切 线. (3)在 x ? π π? 轴上,把?-2,2 ?这一段分成 ? ? 8 等份,依次确定单位 圆上 7 个分点在 x 轴上的位置. 研一研·问题探究、课堂更高效 (4)把角 x 的 正切 线向右平移, 使它的起点与 x 轴上的点 x 重合. (5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来,就得到 y=tan x, ? π π? x∈?-2 ,2 ?的图象,如图所示. ? ? 本 课 时 栏 目 开 关 几何画板演示 研一研·问题探究、课堂更高效 现在我们作出了正切函数一个周期上的图象,根据正切函数的 周期性, 把上述图象向左、 右扩展, 得到正切函数 y=tan x(x∈R, π 且 x≠ +kπ(k∈Z))的图象,我们把它叫做“正切曲线”(如下 2 π 本 x=kπ+2(k∈Z) 课 图所示),它是被无数条直线__________________ 所隔开的无数 时 栏 目 条曲线组成的. 开 关 研一研·问题探究、课堂更高效 探究点二 正切函数的性质 由正切函数的图象可得: ? ? π ? ? ? (1)正切函数的定义域: x|x∈R且x≠kπ+ 2 ,k∈Z?. ? ? ? ? ? π ? π (2)正切函数的值域:对于 x∈?-2 +kπ,2 +kπ?(k∈Z), ? ? 本 课 时 栏 目 开 关 π 当 x→- +kπ(k∈Z)时,tan x→-∞; 2 π 当 x→ +kπ(k∈Z)时,tan x→+∞. 2 所以 y=tan x 可以取任意实数值,但没有最大值和最小值, R ,也可以记作 (-∞,+∞) .直线 故正切函数的值域为__ π kπ+2,k∈Z x= 称为正切函数的渐近线. 研一研·问题探究、课堂更高效 (3)正切函数的奇偶性: 从正切函数的图象来看,正切曲线关于 原点 对称;从诱导公式 本 来看,tan(-x)= -tan x .故正切函数是 奇 函数. 课 时 栏 (4)正切函数的周期性: 目 开 关 正切函数是周期函数, 最小正周期是 π .据此可知函数 y=tan(ωx π +φ)(ω>0)的最小正周期是 ω , 根据函数图象可知 y=|tan x|的最 小正周期是 π . 研一研·问题探究、课堂更高效 (5)正切函数的单调性: 由正切函数的图象可知,正切函数在每一个开区间 ? π ? π ?- +kπ, +kπ?(k∈Z) 2 内都是增函数.但是我们不能说正切 本 ______________________ ? 2 ? 课 时 栏 函数在整个定义域上是增函数. 目 开 关 (6)正切函数图象的对称性: 正切函数图象是中心对称图形,对称中心有无数多个,它们的 ?kπ ? ? ,0?(k∈Z) ?2 ? 坐标为______________ . 研一研·问题探究、课堂更高效 【典型例题】 例 1 求函数 y= tan x+1+lg(1-tan x)的定义域. ? ?tan x+1≥0 解 由题意得? ,即-1≤tan x<1. ? ?1-tan x>0 ? π π? ? π π? 在?-2,2?内, 满足上述不等式的 x 的取值范围是?-4,4?. ? ? ? ? 本 课 时 栏 目 开 关 又 y=tan x 的周期为 π, 所以所求 x ? π π? 的范围是?kπ-4,kπ+4? ? ? (k∈Z). ? π π? 即函数的定义域为?kπ-4,kπ+4? ? ? (k∈Z). 小结 求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另 外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线. 研一研·问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 求下列函数的定义域: 1 (1)y= ;(2)y=lg( 3-tan x). 1+tan x 1 解 (1)要使函数 y= 有意义, 1+tan x 1+tan x≠0, ? ? 只需? π (k∈Z). x≠2+kπ ? ? ? ? π π ? ? ? ∴函数的定义域为 x|x∈R,x≠kπ+2且x≠kπ-4,k∈Z?. ? ? ? ? 本 课 时 栏 目 开 关 (2)由 3-tan x>0,得 tan x< 3. π π 根据正切函数图象,得-2+kπ<x<3+kπ (k∈Z), ? ? π π ? ? ? ∴函数的定义域是 x|-2+kπ<x<3+

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