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高中数学函数图象及其变换专题

时间:2017-08-07


专题
1.理解指数函数的概念、图象及性质. 2.理解对数函数的概念图象和性质.

函数图象及其变换
考点精要

3.理解幂函数 y=x,y=x2,y=x3, y ? , y ? x 2 的图象及其性质. 4.掌握一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数的图象及其性质. 5.理解图象的平移变换、伸缩变换、对称变换.

1 x

1

热点分析
函数的图象是函数的一种重要表示方法, 利用函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的重要性质. 基本初等函数的图像及其变换,是考查的热点;利用变换作图,也是考查的重点,利用形数结合的数学 思想解题,看图想性质,数形转化灵活解题.

知识梳理
函数的图象及其变换 基础知识: 1.图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系 优点:能直观形象地表示出函数的变化情况. 体现:映射与反演、形数结合的数学思想. 2.基本初等函数图象 y=xn y=ax y=logax y=sinx y=cosx y=tanx 初等函数图像: y=kx y=kx+b y=ax2+bx+c
y? k x y ? ax ? b x

3.作图基本方法 (1)利用描点法作图: ①确定函数的定义域:图象沿 x 轴展布范围及渐近线; ②化简函数解析式:等价变形; ③讨论函数的性质: 奇偶性:关于图象对称性 单调性:关于图象升降性 周期性:关于图象重要性 极值、最值:关于图象最高点、最低点 截距:与 x 轴、y 轴交点坐标 ④画出函数的图象 (2)利用基本初等函数的图象的变换作图: ①平移变换
h ?0, 右移h y ? f ( x) ???? ? y=f(x?h) h?0, 左移|h| k ?0, 上移k y ? f ( x) ???? ? ? y=f(x)+k k ?0, 下移|k|

②伸(放)缩变换: 沿 x 轴:
y ? f (? x)

?? ? 0 ?
1

沿 y 轴: ③对称变换: y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=?f(x) y=f(?x)

y = A f(x)

(A>0)

y=f(2a?x) y=f?1(x) y=?f(?x) y=f(|x|) y=|f(x)|

? y ? A f (? x ? ? ) ? k ④几种基本变换的合成. y=f(x) ????

待三角函数的复习中再集中进行研究. 例题精讲: 例1 作出函数 y ?
2x ? 1 的图像,并指出函数的单调区间,图象的对称中心. x ?1

例2

作出函数的图像:
| x ?1|

1? (1) y ? x2 ? 2x ? 3 (2) y ? ? ? ? ?2?

(3) y ?

x3 x

(4) y ?

x?2 x ?1

(5) y ? log2 x ?1

(6) y ? lg x

(7) y ? 2x?2

例3 已知函数 f(x)和 g(x)的图像关于原点对称、且 f(x)=x2+2x. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)解不等式 g ( x) ? f ( x)? | x ? 1| .

1 例 4、若不等式 x2 ? loga x ? 0 对 x ? (0, ) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 2 1 1 A、 0 ? a ? 1 B、 ? a ? 1 C、 0 ? a ? D、 a ? 1 16 16

例 6、若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? 1 ? x 2 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是___________。

2

针对训练
1.函数 f ( x) ? ? x 的图像关于 A.y 轴对称 C.坐标原点对称 2.函数 y=1+cosx 的图像 B.直线 y=?x 对称 D.直线 y=x 对称 D.关于直线 x ? 对称
π 2 1 x

A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 3.设 a<b,函数 y=(x?a)2(x?b)的图像可能是

4.与曲线 y ?

1 关于原点对称的曲线为 x ?1 1 1 A. y ? B. y ? ? 1? x 1? x

C. y ?

1 1? x

D. y ?

?1 1? x

5.函数 y=lg|x| A.是偶函数,在区间 (??, 0) 上单调递增 B.是偶函数,在区间 (??, 0) 上单调递 减 C.是奇函数,在区间 (0, ? ?) 上单调递增 D.是奇函数,在区间 (0, ? ?) 上单调递 减 6.当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y=a?x 与 y=logax 的图像是

7.函数 y ? 1 ?

1 的图像是 x ?1

8.“a=1”是函数 f(x)=|x?a|在区间 ?1, ? ? ? 上为增函数的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3

9.已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间 (8, ? ?) 上为减函数,且函数 y=f(x+8)为偶函数,则 A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 10.函数 f (x)=ax?b 的图象如右图,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0

11.若 0<a<1,b<?1,则函数 y=f (x)=ax+b 的图象不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.函数 y=f(x)的图像与函数 g(x)=log2x(x>0)的图象关于原点对称,则 f(x)的表达式为 A. f ( x) ?
1 ( x ? 0) log 2 x

B. f ( x) ? log2 (? x) ( x ? 0)

C. f ( x) ? ? log2 x ( x ? 0) D. f ( x) ? ? log2 (? x) ( x ? 0) 13.向高为 h 的水瓶注水,注满为止,若注水量 v 与水深 h 的函数关系如右图所示,那么水瓶的形状是

14.函数 y=e|lnx|?|x?1|的图像大致是

15.函数 f ( x) ? ?

?4 x ? 4
2

x ?1

?x ? 4x ? 3 x ? 1

的图像和函数 g (x)=log2x 的图象的交点个数是_________

答案: 例1 . 对称中心(?1, 2) 增区间 (??, ? 1), (?1, ? ?)

例2 . (1 )

(2)

4

1? 例3 . (1)g (x)= ?x2+2x (2) ? ? x | ?1 ? x ? ? ? 2?

针对训练 1.C 2.B3.C4.A

5.B 6.A

7.B 8.A

9.D

10.D11.A12.D13.B14.D 15.3

高考链接
1 ( 06 北 京 理 ) 在 下 列 四 个 函 数 中 , 满 足 性 质 : “ 对 于 区 间 (1, 2) 上 的 任 意 x1 , x2 ( x1? x2),

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x2 ? x1 | 恒成立”的只有
( A) f ( x ) ?
1 x

(B) f ? x ? ?| x | (D) f ( x) ? x2

(C) f ( x) ? 2x

2(全国)若 0<a<1,b<?1,则函数 y=f (x)=ax+b 的图象不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3(08 北京)如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4) , (2,0) , (6,4) , 则 f(f(0))= ;

4(全国)函数 y=lg|x| A.是偶函数,在区间 (??, 0) 上单调递增 B.是偶函数,在区间 (??, 0) 上单调递 减 C.是奇函数,在区间 (0, ? ?) 上单调递增 D.是奇函数,在区间 (0, ? ?) 上单调递 减 5(08 山东)函数 f (x)=ax?b 的图象如右图,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0

答案 1 A

2A

32

4B

5D

5


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