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求数列通项公式的几种基本方法

时间:2015-09-24


第J御  

高中教学教 与学  

求数歹 j I 通 项 公 式 的 几种 基 本 方 法 
秦承 林 曹 建兰  
( 江苏省 泰兴 市第 四高级 中学 , 2 2 5 4 1   1 )  

在数列求通项 的有关 问题 中 , 经 常 遇到  既非等差数 列 , 又 非 等 比数 列 的数 列 求通 项 
问题 , 同学 们 常常感 到 比较 棘手. 这里, 介 绍  求数列通项 公式 的几 种基 本 方 法 , 这些 方 法 
往往 给人耳 目一新 的感 觉.  


以 2为首项 , 2为公差 的等差数列 ,  
’ . .

a  =2+2 ( n一1 )=2 n .  

例 2 数列 { a   } 中前 n 项 的和 S  =2 n—   a   , 求数列 的通项公式 a   .  
解  。 . ‘ a l=S l= 2一a  。 . a l= 1 .  



构造等 差数 列或等比数列 

当 n≥2时 ,  
a  = S  一S  I  


由于等差数 列与 等 比数 列 的通项公 式容 
易给 出, 对 于一些 递推数 列 问题 , 若 能构 造等 



2 n—a  一[ 2 ( n一1 )一a   一 1 ]  

差数列或等 比数 列 , 无 疑是 一 种行 之 有效 的 
构造方法.  


= 一a  +2 + a  1  
’   =

例1   设各项均为正数 的数列 { a   } 的前 

丢   。 + 1 , a   一 2 =   1 (   。 一 2 ) .  

n 项和为 s   , 对于任意正整数 n , 都有等式 a : +  
2 a  =4 S   成立 , 求数列 的通项公式 a   .  
解 . . .  
a  一



令b  =a  一2 , 则 

6  = ÷6  , 且b 1 =1 — 2= 一 1 ,  
? . .

+ 2 a n=4 S n  

L 。 : 一 l +2 a   一 1=4 S  ,  
’ .

{ 6   } 是 以 一1 为首项 ,   为公 比的等 比  

口2  

I+ 2Ⅱ   一2a  1  


数列 ,  


=4 ( S  一S   一 。 )=4 a   ,  

. .

( a  +a   一 1 ) ( a  一a   一 l 一2 )=0 .  


一 × (   ‘ = 一 (   。 .  





‘a  + a 



≠ 0' . . .a  一 a   l = 2.  


? . .  

又由a   +2 a l =4 a 1 , 得a l =2 . 即{ a   } 是 

2 一 (   .  

? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… o 0o o o  ̄ 0o … ●… ‘ ●…  ̄ 0o o “ ●… ? ●… - ●… ? ●? o o ? ●… o 0… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ’ ●… ’ ●… ? ●… ’ ●… ? ● 

因为 d≠o , 所以d:  
a 3  
‘ ? ?

,  
一3  

a 。 ( m 一1 )? (   一5 )  
口l + — — — —   — 一 ,  

a 1. 4 - 2 d  

q  

—  一  丁

。  



‘ . 。 - +  

(   )   .  

因为存 在 m >J j } , m   E   N’ , 使得 a 1 、 a 3 、 a  

又a ,>0 , 所以有 

。   成 等 比 数 列 , 所 以 。   : 。   g 3 : 。   (   }) , .  
又 因在正项 等差数列 { a   }中,  
a  =a l +( , n一1 ) d  

2 [ 4+( , n一1 ) (   一5 ) ]= ( I j } 一3 )   .  

因为 2 [ 4+( m一1 ) ( 后一 5 ) ] 是偶数 , 所以  
( | i } 一3 )  也是偶数 , 从而 J } 一3为偶数 , 所以 后   为奇数.  
?

21 ?  

高中数学教 与学  
二、 作 差迭 加 法 

2 0 1 3, 五  

解题的基本 思路就 是构造 出某个 数列 的  相邻两项之差 , 然后 采 用迭 加 的方 法就 可 求  得这一数列的通项公 式.  

例3 设 { a   } 是首项为 1 的正项数列 , 且 
0  一 0
2  


n ( n+1 ) ’  
1  


1 7 , 0 ,  一Ml ! _ 1 =0 , ( n∈N  ) , 求数列 
?
?

的通项公式 。   解  由题设得 
( 0  +Ⅱ   一 1 ) ( n  一a   一 l —I 1 . ) =0 .  
。 .

a n + l  



。  

四、 取对数 ( 倒数 ) 法 

有些数 列若 通 过取 对数 , 取倒 数 等代 数  变形方法 , 可 由复杂 变为简 单 , 使 问题得 以解 
决.  

a   > 0, Ⅱ   l > 0,  


’ . .

0  + 0 




> 0,  
n ,  

?  



0, l



an l  


例 6 设正项数列 { a   } 满足 n  =1 , “  =  







Ⅱ   =。 1 +( 。 2 一  1 )+( 0 3 一。 2 )   + … +( n  一0   一 1 )  

2 n i 一 。 ( n≥2 ) . 求数列{ a   } 的通项公式.  
解  两边取对数 , 得 
l o g 2 a   = 1+2 l o g 2 a  l ,  




1+2 +3 + … +   :翌  






侈 4 4 数歹 0 { o   } 中, 。 。 =1 , o ::3 , 且a   +  


1 o g 2 n  +1 =2 ( 1 o g 2 n   一 1 +1 ) .  

( n+ 3 ) 0   +   一( n+ 2 ) a   , ( n∈N  ) , 求数歹 0  
解  ‘ . ‘ 0   + 2一Ⅱ   + l= ( n+2 ) ( 。   + 1 一a   )  

设 b  =l o g 2 a  +1 , 则 b  =2 b   ,  
?





{ 6   } 是 以2为公 比的等 比数列.  
b   =1   X   2 “ 一  =2   一 ’l o g 2 a  +1 = 2   ,  


的通项公式 n   .  
( n+2  一0   一 。 )   一   一 一 一  )(n+1)(0


又 b l= l o g 2 1+ 1 = 1 .  
? . .

? . .

1 o g 2 a   = 2“ 一   一 1, a  =2  一   .  

釜 

’ . .



( n+2 ) ( n+1 ) …4×3 ( 口 2—1 : 1 1 )   一I   3  
( n+2 )! ,  

例7   已知数歹 0 { Ⅱ   } 中, 。 . =2 , n ≥2 时,   c z  :  



’ . 一 

项公 
=  

.  
,  

n   =0 l +( Ⅱ 2 一a 1 )+ ( a 3 一a 2 )   +… + ( 0  一0   一 1 )  
= 1+2   1+3   1+… +n ! (   ∈N  ) .  

两边取倒数 , 得 
1  
一   一   ~

三、 作 商 连 乘 法 

构造 数列 相邻 两项 的商式 , 然后 连 乘 也 
是求数列通项公式 的一种简单方法.  
又 
? .

Ⅱ  一 1 一 。  1




3   1 。 4‘  


-l ,  

例5   数列{ o   } 中, n  = ÷, 前n 项的 和  


S   = n 2 0  求


。  .  
列.  
n  :n n  一( n —  n一 n一1  )   0   n 一 1 ,   :


{  ) 是 首 项 为 l , 公 差 为 寻 的 等 差 数  
1 =  
,  

解  .   a  =S  一S  

易 得 

?
. . 

( n  一1 ) a  = ( n一1 )   0   一 l ,  
解 得  。  =   .  

?

22 ?  


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