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高一数学必修4三角函数复习学案

时间:2014-10-26


[必修 4] 第 1 章 三角函数
重点:角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图象与性质、“五点法” 作图、诱导公式、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦函数 y=sinx 的图象间的关系、同角三角 函数的基本关系。 难点:三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数到 y=Asin (ωx+φ)的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等

sin( ? ? ) ? 2
公式(五) : cos(

?

?

sin( ? ? ) ? 2
公式(六) : cos( ? ? ) ? 2

?

tan( ? ? ) ? 2

?

2

??) ?

?

tan( ? ? ) ? 2
.则称 .

?

知识要点 一、任意角、弧度

1、角的概念: 2、弧度制:角度制和弧度制的互换 1 弧度: ,1rad= ?? 3、弧长为 l 所对的圆心角| ? | =
二、任意角的三角函数

三、三角函数的图象和性质 1、三角函数的周期性:如果存在一个非零的常数的 T,满足 f(x+T)= T 为函数 f(x)的一个周期. 正、余弦函数的 T= ,正、余切函数的 T= 2、三角函数的图象和性质: 函数名 图象 定义域 值域 周期 奇偶性

单调性

对称性

. ;扇形的面积 S= .
sinx

1、任意角的三角函数: sin ? ? ,cos ? ? 其中 r = . 象限符号:

,tan ? ?

.
cosx

2、同角三角函数关系: (1)

; (2)


tanx

3、三角函数的诱导公式:口诀“奇变偶不变,符号看象限”

sin(? ? 2k? ) ? 公式(一) : cos(? ? 2k? ) ? tan( ? ? 2k? ) ? sin(? ? ? ) ? 公式(三) : cos(? ? ? ) ? tan( ? ??) ?

sin(?? ) ? 公式(二) : cos(?? ) ? tan(?? ) ? sin(? ? ? ) ? 公式(四) : cos(? ? ? ) ? tan( ? ??) ?

考点一 例1

三角函数的基本概念 考点二:同角三角函数基本关系式及诱导公式

(2011· 江西高考)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴.若 P(4,y) 2 5 是角 θ 终边上一点,且 sin θ=- ,则 y=________. 5

例 3(1)已知π <α <2π ,cos(α -7π )= ? tan(α -
7? )的值; 2

3 ,求 sin(3π +α )与 5

(2)已知 2+sinAcosA=5cos2A ,求 tanA 的值;
1 (3)已知 sinα +cosα = ,且α ∈(0,π ) ,求 sin 3a ? cos3 a 的值。 5

变式: 若一个α 角的终边上有一点 P(-4,a),且 sin α ?cos α = 则 a 的值为 ( ) A.4 3 C.-4 3或- 例2 4 3 3 B.±4 3 D. 3

3 , 4

设角 α 属于第二象限,|cos

? ? ? |=-cos ,试判断角 属于第几象限? 2 2 2
π 变式.已知 tan x=sin(x+ ),则 sin x= 2 A. -1± 5 2 B. 3+1 2 C. 5-1 2 ( D. ) 3-1 2

? ? ? , , 等角所在的象限时,一般有两种办法:一 4 2 3 ? ? ? 种是利用终边相同的角的集合的几何意义,采用数形结合的办法确定 , , 所属 4 2 3 的象限;另一种办法就是将 k 进行分类讨论。一般来说,分母是几就应分几类去讨论。
点评:由 α 所在象限,判断诸如

知识点三:三角函数的图象求解析式 π 例 4:已知函数 f(x)=2sin(2x-6)+a (a 为常数).

变式

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调递增区间; π (3)若 x∈[0,2]时,f(x)的最小值为-2,求 a 的值.

π (2011· 辽宁高考)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2),

π y=f(x)的部分图像如图,则 f(24)=________.

变式 函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ )为常数,A>0,ω >0)的部分图像 如图所示,则 f(0)的值是______.

知识点四:三角函数的图象变换

例5

π 将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图像向右平移4个单位长度,所得图

3π 像经过点( 4 ,0),则 ω 的最小值是 ( 1 A.3 B.1 5 C.3 ) D.2

2 函数 y= sin x ? cos x ? 的定义域是_______________
π 变式 :将函数 y=sin x 的图像上所有的点向右平移 个单位长度, 10 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是 ( π 2x- ? A.y=sin? 10? ? π 2x- ? B.y=sin? 5? ? 1 π x- ? C.y=sin? ?2 10? ) 1 π x- ? D.y=sin? ?2 20?

1 2

3 设函数 f(x)=sin3x+|sin3x|,则 f(x)为( A. 周期函数,最小正周期为
? 3


2? 3

B. 周期函数,最小正周期为 D. 非周期函数

C. 周期函数,最小正周期为 2π

4 函数 f(x)=cosx+2|cosx|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个
知识点四:三角函数的性质及应用

不同的交点,则 k 的取值范围是________.

例 6:已知定义在(-∞,3]上单调减函数 f(x)使得 f(1+sin2x)≤f(a-2cos x) 对一切实数 x 都成立,求 a 的取值范围. 1 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示, 它是由 4 个相同的直角三 角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。 若直角三角形中较小的锐角 是 θ,大正方形的面积是 1,小正方形的面积是 等于 ( )
1 ,则 sin2θ-cos2θ 的值 25

A. 1

B. ?

24 25

C.

7 25

D. -

7 25

知识点一:三角函数的概念

? ? ? |=-cos ,试判断角 属于第几象限? 2 2 2 ? ? 思路导航:首先应根据 α 所属象限确定出 所属的象限,然后再由-cos ≥0, 2 2 ? cos ≤0 确定最终答案,要点就是分类讨论。 2 ?
例题 1 设角 α 属于第二象限,|cos 答案:因为 α 属于第二象限,所以 2kπ+ ∴kπ+

? ? ? < <kπ+ (k∈Z) 。 4 2 2


2

<α<2kπ+π(k∈Z) ,

当 k=2n(n∈Z)时, 2nπ+

?

? ∴ 是第一象限角; 2
2nπ+ ∴

4

? ? <2nπ+ (n∈Z) 。 2 2

当 k=2n+1(n∈Z)时,

? 是第三象限角。 2 ? ? ? 又由|cos |=-cos ≥0 ? cos ≤0。 2 2 2

5 ? 3 ? < <2nπ+ ? (n∈Z) 。 4 2 2

? ? 应为第二、三象限角或终边落在 x 轴的负半轴上。综上所述, 是第三象限的角。 2 2 ? ? ? 点评:由 α 所在象限,判断诸如 , , 等角所在的象限时,一般有两种办法:一种是 4 2 3 ? ? ? 利用终边相同的角的集合的几何意义,采用数形结合的办法确定 , , 所属的象限;另一 4 2 3
所以 种办法就是将 k 进行分类讨论。一般来说,分母是几就应分几类去讨论。

7 , 5 7 12 81 ∴sin3α-cos3α= × (1 ? )= 。 5 25 125
∴sinα-cosα= 1 ? 2 sin ? cos ? ? 点评:形如 asinα+bcosα 和 asin2α+bsinαcosα+ccos2α 的式子分别称为关于 sinα、cosα 的一次 齐次式和二次齐次式,对它们涉及的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用。

知识点二:同角三角函数基本关系式及诱导公式 3 7? 例题 2 (1)已知 π<α<2π,cos(α-7π)= ? ,求 sin(3π+α)与 tan(α- )的值; 5 2
(2)已知 2+sinAcosA=5cos A,求 tanA 的值;
2

知识点三:三角函数的图象与性质

1 ,且 α∈(0,π) ,求 sin3α-cos3α 的值。 5 3 答案: (1)∵cos(α-7π)=-cosα= ? , 5 3 ∴cosα= 。 5
(3)已知 sinα+cosα= 又 π<α<2π, ∴

? ) ,给出下列结论: 3 ? ①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线 x= 成轴对称;③图象可由函数 y=2sin2x 12 ? ? 的图象向左平移 个单位得到;④图象向左平移 个单位,即得到函数 y=2cos2x 的图象。其中 3 12
例题 3 对于函数 f(x)=2sin(2x+ 正确结论的个数为( )个 D. 3 A. 0 B. 1 C. 2 思路导航:∵f(x)是非奇非偶函数,∴①错误。 ∵f(x)是由 y=2sin2x 向左平移 ∴③错误。 把 x=

3? 4 <α<2π,sinα=- , 2 5

? 个单位得到的, 6

3 7 sin(? ? ? ) 4 7? cos? 3 2 sin(3π+α)=-sinα= ,tan(α- )= ? ? 5 ? . 7 4 5 2 ? sin ? 4 cos(? ? ? ) 2 5
(2)将已知式化为 2sin A+2cos A+sinA· cosA=5cos A, ∵cosA≠0, ∴2tan2A+tanA-3=0,tanA=1 或 tanA=-
2 2 2

? 代入 f(x)中使函数取得最值, 12
?

∴②正确。
左移 个单位 ? ? ? 12 ? ?? f(x)=2sin[2(x+ )+ ]=2cos2x, f(x)=2sin(2x+ ) ?? ? 3 12 3

3 。 2

(3)sinαcosα=

12 (sin ? ? cos? ) 2 ? 1 =? , 25 2

∴④正确。 答案:C 点评:利用排除法求解选择题,是一个简单、易行的办法。在用排除法时,要注意函数性质 的应用。 例题 4 设函数 f(x)=sin3x+|sin3x|,则 f(x)为( )

∵α∈(0,π) , ∴sinα>0,cosα<0, ∴sinα-cosα>0,

A. 周期函数,最小正周期为

? 3

B. 周期函数,最小正周期为 D. 非周期函数

2? 3

平方得 2cosθsinθ=

24 。 25 49 。 25

C. 周期函数,最小正周期为 2π

∴(cosθ+sinθ)2=1+2cosθsinθ= ∴cosθ+sinθ=

思 路 导 航 : 本 身 可 以 直 接 把 选 项 代 入 f ( x ? T ) ? f ( x) 检 验 , 也 可 化 简

f ( x) ? sin 3x ? sin 3x 。
答案:f(x)=sin3x+|sin3x|

7 。 5

∴sin2θ-cos2θ=(sinθ-cosθ) (sinθ+cosθ) =?

2k? 2k? ? ? 2 sin 3 x, ?x? ? , ? ? 3 3 3 =? 2k? ? 2k? 2? ?0, ? ?x? ? . ? 3 3 3 3 ?
∴B 正确。 答案:B 点评:遇到绝对值问题可进行分类讨论,将原函数写成分段函数。本题也可以数形结合运用 图象的叠加来考虑。后者更简捷。

1 7 7 ? ?? 。 5 5 25

答案:D 点评:三角函数的应用非常广泛。将实际问题转化成数学中的同角三角函数问题,再利用三 角函数的性质是解此题的关键。

例题 6

函数 y= sin x ? cos x ?

1 的定义域是_______________。 2

知识点四:三角函数的应用
例题 5 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示, 它是由 4 个相同的直角三角形与中间 的小正方形拼成的一个大正方形。若直角三角形中较小的锐角是 θ,大正方形的面积是 1,小正方 形的面积是

?sin x ? 0 ?sin x ? 0 ? ? 思路导航:由题意知, ? ?? 1 1 cos x ? ? 0 ?cos x ? . ? 2 2 ? ?
作单位圆如图所示,图中双阴影部分即为函数的定义域{x|2kπ≤x≤2kπ+

1 ,则 sin2θ-cos2θ 的值等于 25





? ,k∈Z }。 3

A. 1

B. ?

24 25

C.

7 25

D. -

7 25

答案:{x|2kπ≤x≤2kπ+

? ,k∈Z } 3

思路导航:由题意,设大正方形边长 AB=1,小正方形的边长是 ∴cosθ-sinθ=

1 ,则 BE=sinθ,AE=cosθ, 5

点评:解三角不等式基本上有两种方法:①利用三角函数线。②利用三角函数图象。

1 。 5

例题 7

求函数 f(x)=

sin x cos x 的最大、最小值。 1 ? sin x ? cos x

2 2 思路导航:利用三角函数中 sin ? ? cos ? ? 1 和 sin ? ? cos ? 与 sin ? ? cos ? 的关系,转化

成同一个量的关系式。 答案:设 sinx + cosx = t ,则 sinxcosx =

规律总结:三角函数的图象只有平移周期的整数倍,平移之后的图象才可能与原图象重合。

t 2 ?1 , t∈[- 2 , 2 ] ,且 t≠ - 1 ,则 y = 2

t 2 ?1 2 2 ? t ? 1 ? t ? 1 ,t∈[- 2 , 2 ] 。 1? t 2 ? 2t 2
∴当 t= 2 ,即 x=2kπ+

? 2 ?1 (k∈Z)时,f(x)的最大值为 ; 4 2
3? 2 ?1 (k∈Z)时,f(x)的最小值为 ? 。 4 2

当 t=- 2 ,即 x=2kπ-

点评:利用三角函数的特殊性,将问题转化成求一元函数的最值问题。

例题(全国大纲理 5)设函数 f ( x) ? cos ? x(?>0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 长度后,所得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于( A. )

? 个单位 3

1 3

B. 3

C. 6

D. 9

思路分析:本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图象变换的关系。此题理解好三角函 数周期的概念至关重要, 将 y ? f ( x) 的图象向右平移 说明了

? 是此函数周期的整数倍。 3

? 个单位长度后, 所得的图象与原图象重合, 3

解答过程:由题意将 y ? f ( x) 的图象向右平移 说明了

2? ? ? ? k ? (k ? Z ) ,解得 ? ? 6k ,又 ? ? 0 ,令 k ? 1 , 是此函数周期的整数倍,得 3 ? 3

? 个单位长度后,所得的图象与原图象重合, 3

得 ?min ? 6 。 答案:C

练习: 一、选择题: 1、α =6,则α 的终边在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2、角α 的终边过 P(4a,—3a) (a<0) ,则下列结论正确的是 A

( (

) )

sin ? ?

3 5

B

cos ? ?

4 5
3 3

C

tan ? ? ?

4 3

D

tan ? ?

3 4
( )

3、tan(-300°)的值为 A.

3 3

B. 3

C.-

D. ? 3 ( ) A. 第

4、使 log2 (sin? tan? ) 有意义的 ? 在 一象限 B.第四象限 C.第一象限或第四象限 5、函数 y ? sin x ( ? ? x ? 2? )的值域为
3 3

D. 右半平面 ( D )

A [—1,1]

B

6、函数 y ? 3sin(2 x ?

?

1 [ ,1] 2

C

1 3 [ , ] 2 2

[

3 ,1] 2
( )

4

) 的对称轴方程为

A x= ?

?
4

B x=

7、若 ? , ? 的终边关于 y 轴对称,则必有 A ? ? ? ? (2k ? 1)? , k ? Z C ? ? ? ? 2k? , k ? Z 8、函数 y ? 2 sin( A. [0, B ??? ? D

? 4

C

x=-

? 8

D

x=

? 8
( )

14、已知扇形的周长为 10cm,圆心角为 3rad,则该扇形的面积为

? 2? ,则正数 k= 15、若函数 f ( x) ? sin( kx ? ) 的最小正周期为
5
3

?
2

16、已知 cos(

?
4

? x) ?

1 3? ,则 cos( x ? )= 5 4

. .

? ? ? ? 2k? ?

?
2

, k ?Z
( )

17、已知 tan ? ? 3, 则

?
6

sin ? ? 2 cos ? ? cos ? ? 3 sin ?
? ) (x∈R) ,有下列命题: 3

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是???? ??
B. [

?
3

]

?
12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

D. [

5? , ?] 6
( )

18、关于函数f(x)=4sin(2x+

①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π 的整数倍; ②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x- ③y=f(x)的图象关于点(- ( )
? ,0)对称; 6 ? 对称. 6 ? ); 6

9、下列关系式中,不正确 的是 ... A sin

4? 2? <sin 5 5

B cosπ<cos3

C tan1>sin1 D sin1<cos1 10、若 sinθ =1-log2 x,则 x 的取值范围是 (A)[1,4] 11、函数 y ? cos 2 ( x ? (B) ? , 1 4 ?

④y=f(x)的图象关于直线x=其中正确的命题的序号是 三、解答题:

?1 ?

? ?
?
12

(C)[2,4]

(D) ? , 4 4 ? ( )

?1 ?

? ?

(注:把你认为正确的命题的序号都填上.)

?
12

) ? sin 2 ( x ?

) ?1 是

A、周期是 2? 的奇函数 B、周期是 ? 的偶函数 C、周期是 ? 的奇函数 D、周期是 2? 的偶函数 12、平移函数 y ? sin ( ? 2 x ? ? ) 的图象得到函数 y ? sin ( ? 2 x ) 的图象的平移过程是(
3

3 3 sin(?? ? ? ) sin( ? ? ? ) tan2 (2? ? ? ) 2 2 2 19. 已知 sin ? 是方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根, 求 的值? ? ? 2 cos( ? ? ) cos( ? ? ) cos (? ? ? ) 2 2



(A)向左平移

? ? ? ? 单位(B)向右平移 单位(C)向左平移 单位(D)向右平移 单位 6 6 3 3

13、函数 y ? 4 sin 2 x ? 6 cos x ? 6 ( ? (A) ?? 6 , 0 ?

?
3

?x?

2? ) 的值域是 3
1 (C) [ ? 12 , ] 4


1 (D) [ ? 6 , ] 4



1 (B) [ 0 , ] 4

20. 已知 sin ? ? cos? =

二、填空题:

1 ,且 0 ? ? ? ? ,求 sin ? cos? 和 sin ? ? cos? 的值。 5

21、已知函数 y ? 3sin(2 x ?

?
4

)

(1)求该函数的递增区间 (2)求该函数的最小值,并给出此时 x 的取值集合

22、已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? ? )的一段图 象如图所示, (1)求函数的解析式; (2)求这个函数的单调递增区间。


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