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2011届高考数学一轮复习课件 第十三编 算法初步、推理与证明、复数 5 数学归纳法

时间:2013-12-16


§13.5
要点梳理
1.归纳法

数学归纳法

基础知识

自主学习

由一系列有限的特殊事例得出 一般结论的推理 方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉 及事物的全体或部分可分为 完全 归纳法和 不完 全 归纳法.

2.数学归纳法 (1)数学归纳法:设{Pn}是一个与正整数相关的 命题集合,如果①证明起始命题P1(或P0)

成立;②在假设Pk成立的前提下,推出Pk+1
也成立,那么可以断定{Pn}对一切正整数成立. (2)数学归纳法证题的步骤 ①(归纳奠基)证明当n取第一个值 n=n0 时,命题 成立.

②(归纳递推)假设 n=k (k≥n0,k∈N+)时命题
成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始

的所有正整数n都成立.

基础自测
1 ? a n? 2 1.用数学归纳法证明:“1+a+a2+?+an+1 ? 1? a (a≠1)”在验证n=1时,左端计算所得的项
为( C ) A.1 B.1+a

C.1+a+a2

D.1+a+a2+a3

2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为
1 n( n ? 3) 条时,第一 步检验第一个值n0等于( C ) 2 A.1 B.2 C.3 D.0

解析

边数最少的凸n边形是三角形.

3.如果命题p(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立. 若p(n)对n=2成立,则下列结论正确的是( B )

A.p(n)对所有正整数n都成立
B.p(n)对所有正偶数n都成立 C.p(n)对所有正奇数n都成立 D.p(n)对所有自然数n都成立 解析 归纳奠基是:n=2成立. 归纳递推是:n=k成立,则对n=k+2成立. ∴p(n)对所有正偶数n都成立.

4.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题 成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现 已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得( C ) A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 解析 方法一 D.n=4时该命题成立 由n=k(k∈N+)成立,可推得当

n=k+1时该命题也成立.因而若n=4成立,必有 n=5成立.现知n=5不成立,所以n=4一定不成立.

方法二

其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成

立,则当n=k时也不成立”为真,故“n=5时不 成立”?“n=4时不成立”.

n4 ? n2 5.用数学归纳法证明1+2+3+?+n2= ,则当 2 n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( C )
A.k2+1 B.(k+1)2

(k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 C. 2 D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2
解析 ∵当n=k时,左边=1+2+3+?+k2,

当n=k+1时,
左边=1+2+3+?+k2+(k2+1)+?+(k+1)2, ∴当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上

(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2.

题型分类
题型一

深度剖析

用数学归纳法证明等式

【例1】 用数学归纳法证明: 1 1 1 ? ??? ? 对任意的n∈N+, 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) n . 2n ? 1 思维启迪 用数学归纳法证明的步骤为:①归纳

奠基:验证当n=1时结论成立;②归纳递推:假 设当n=k(k∈N+)时成立,推出当n=k+1时结论 也成立.

证明 (1)当n ? 1时, 左边 ?
右边 ?

1 1 ? , 1? 3 3

1 1 ? , 左边 ? 右边 , 2 ?1 ? 1 3

所以等式成立.

(2)假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即有
1 1 1 k ? ??? ? , 1? 3 3 ? 5 ( 2k ? 1)( 2k ? 1) 2k ? 1 则有n ? k ? 1时, 1 1 1 1 ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 ( 2k ? 1)( 2k ? 1) ( 2k ? 1)( 2k ? 3) k 1 k ( 2k ? 3) ? 1 ? ? ? 2k ? 1 (2k ? 1)( 2k ? 3) ( 2k ? 1)( 2k ? 3)

2k 2 ? 3k ? 1 k ?1 k ?1 ? ? ? (2k ? 1)(2k ? 3) 2k ? 3 2(k ? 1) ? 1

所以当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)可知,对一切n∈N+等式都成立.
探究提高 用数学归纳法证明与正整数有关的一 些等式时,关键在于“先看项”,弄清等式两边

的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与 n的取值是否有关,由n=k到n=k+1时等式的两边变 化的项,然后正确写出归纳证明的步骤,使问题 得以证明.

知能迁移1

用数学归纳法证明:

1 1 1 1 n ? ? ??? ? . 2? 4 4? 6 6?8 2n(2n ? 2) 4(n ? 1) 证明 (1)当n=1时,等式左边 ? 1 ? 1 , 2? 4 8 1 1 等式右边 ? ? , 所以等式成立. 4(1 ? 1) 8 (2)假设n=k(k∈N+)时等式成立, 1 1 1 k 即 ? ??? ? 成立, 2? 4 4? 6 2k (2k ? 2) 4(k ? 1)

那么当n=k+1时,
1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2? 4 4? 6 6?8 2k (2k ? 2) 2(k ? 1)[ 2(k ? 1) ? 2]

k 1 ? ? 4(k ? 1) 4(k ? 1)( k ? 2) k ( k ? 2) ? 1 (k ? 1) 2 ? ? 4(k ? 1)( k ? 2) 4(k ? 1)( k ? 2) k ?1 ? , 4[( k ? 1) ? 1]

即n=k+1时等式成立. 由(1)(2)可知,对任意n∈N+等式均成立.

题型二

用数学归纳法证明整除问题

n+1 2n-1 (n∈N ) + 【例2】 用数学归纳法证明a +(a+1) 能被a2+a+1整除.

思维启迪 验证n=1时命题是否成立

假设n=k时命题成立
得结论 解 (1)当n=1时,

推证n=k+1时命题成立

a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除.
(2)假设n=k(k∈N+)时, ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,

则当n=k+1时, ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =a·ak+1+a·(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1

=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1,
由假设可知a[ak+1+(a+1)2k-1]能被a2+a+1整除, (a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除, ∴ak+2+(a+1)2k+1也能被a2+a+1整除, 即n=k+1时命题也成立,

∴对任意n∈N+原命题成立.
探究提高 证明整除问题的关键是“凑项”,而

采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,凑出

n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题获证.

知能迁移2 整除. 证明

求证:(3n+1)×7n-1 (n∈N+)能被9

(1)当n=1时,(3n+1)×7n-1=27能被9整除.

(2)假设n=k (k∈N+)时命题成立,即
(3k+1)×7k-1能被9整除, 那么n=k+1时: [3(k+1)+1]×7k+1-1=[(3k+1)+3]×(1+6)7k-1 =(3k+1)7k-1+(3k+1)×6×7k+21×7k

=[(3k+1)7k-1]+3k×6×7k+(6+21)×7k.
以上三项均能被9整除. 则由(1)(2)可知,命题对任意n∈N+都成立.

题型三

用数学归纳法证明不等式

【例3】 用数学归纳法证明:对一切大于1的自然
数,不等式 (1 ? 1)(1 ? 1)?(1 ? 1 ) ? 2n ? 1 3 5 2n ? 1 2 均成立.
思维启迪 应注意到题目条件,第一步应验证

n=2时不等式成立.

1 4 5 证明 (1)当n=2时,左边 ? 1 ? ? ; 右边 ? . 3 3 2 ∵左边>右边,∴不等式成立.
(2)假设n=k (k≥2,且k∈N+)时不等式成立,

1 1 1 2k ? 1 即(1 ? )(1 ? )?(1 ? )? . 3 5 2k ? 1 2

则当n=k+1时,
1 1 1 ? 1 ? (1 ? )(1 ? )? (1 ? ) ?1 ? 3 5 2k ? 1 ? 2( k ? 1) ? 1? ? 2k ? 1 2k ? 2 2k ? 2 4 k 2 ? 8k ? 4 ? ? ? ? 2 2k ? 1 2 2k ? 1 2 2k ? 1 2(k ? 1) ? 1 4 k 2 ? 8k ? 3 2k ? 3 2k ? 1 ? ? ? . 2 2k ? 1 2 2k ? 1 2

∴当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)知,对于一切大于1的自然数n,不等 式都成立.

探究提高 在由n=k到n=k+1的推证过程中,应用放 缩技巧,使问题得以简化.用数学归纳法证明不等

式问题时,从n=k到n=k+1的推证过程中,证明不等

式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩
法等.

知能迁移3

已知函数f(x)=x-sin x,数列{an}满足:

0<a1<1,an+1=f(an),n=1,2,3,?.
1 3 证明:(1)0<an+1<an<1,(2) an?1 ? an . 6 证明 (1)先用数学归纳法证明0<an<1,

n=1,2,3,?.

(ⅰ)当n=1时,由已知结论成立.
(ⅱ)假设当n=k(k∈N+)时结论成立,即0<ak<1. 因为0<x<1时,f′(x)=1-cos x>0, 所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[0,1]上连续, 从而f(0)<f(ak)<f(1),即0<ak+1<1-sin 1<1.

故当n=k+1时,结论成立. 由(ⅰ)(ⅱ)可知,0<an<1对一切正整数都成立. 又因为0<an<1时,

an+1-an=an-sin an-an=-sin an<0,
所以an+1<an. 综上所述,0<an+1<an<1.
1 (2)设函数g(x)=sin x-x+ x 3 ,0 ? x ? 1. 6 由(1)知,当0<x<1时,sin x<x.

x2 从而g′(x)= cos x ? 1 ? 2 x x2 x 2 x2 ? ?2 sin 2 ? ? ?2( ) ? ? 0. 2 2 2 2

所以g(x)在(0,1)上是增函数. 又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0, 所以当0<x<1时,g(x)>0成立.
1 3 于是g(an)>0,即 sin an ? an ? an ? 0. 6 1 3 故an?1 ? an . 6

题型四

归纳、猜想、证明

【例4】 (12分)已知等差数列{an}的公差d大于0, 且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前
1 n项和为Tn,且 Tn ? 1 ? bn . 2 (1)求数列{an}、{bn}的通项公式;

1 (2)设数列{an}的前n项和为Sn,试比较 与 bn Sn+1的大小,并说明理由.

思维启迪 (1)由a2、a5是方程的根,求出an,再 由Tn ? 1 ? 1 bn , 求出bn. 2 1 (2)先猜想 与Sn+1的大小关系,再用数学归纳 bn 法证明.



?a2 ? a5 ? 12 (1)由已知得 ? , ?a2 a5 ? 27

又∵{an}的公差大于0,∴a5>a2,∴a2=3,a5=9. a ? a2 9 ? 3 ?d ? 5 ? ? 2, a1 ? 1. 3 3
1 2 1 ? Tn ? 1 ? bn ,? b1 ? ,当n ? 2时, Tn?1 ? 1 ? bn?1 , 2 3 2 1 1 ? bn ? Tn ? Tn?1 ? 1 ? bn ? (1 ? bn?1 ), 2 2 1 化简, 得bn ? bn?1 , 3 2 1 ? bn是首项为 , 公比为 的等比数列 , 3 3

5分

2 1 n?1 2 即bn ? ? ( ) ? n , 3 3 3 2 ? an ? 2n ? 1, bn ? n . 3

6分

1 ? (2n ? 1) 1 3n ( 2) ? S n ? n ? n 2 ,? S n?1 ? ( n ? 1) 2 , ? . 2 bn 2 以下比较 1 与S n?1的大小 : bn

1 3 1 当n ? 1时, ? , S 2 ? 4,? ? S 2 , b1 2 b1 1 9 1 当n ? 2时, ? , S 3 ? 9,? ? S 3 , b2 2 b2 1 27 1 当n ? 3时, ? , S 4 ? 16,? ? S 4 , b3 2 b3

1 81 1 当n ? 4时, ? , S5 ? 25,? ? S5 . b4 2 b4 1 猜想 : n ? 4时, ? S n?1 . bn

下面用数学归纳法证明:

①当n=4时,已证.
1 ②假设当n ? k (k ? N , k ? 4)时, ? S k ?1 , bk k 3 即 ? (k ? 1) 2 . 2 那么, n ? k ? 1时,
*

9分

1 3k ?1 3k ? ? 3 ? ? 3(k ? 1) 2 ? 3k 2 ? 6k ? 3 bk ?1 2 2

=(k2+4k+4)+2k2+2k-1>[(k+1)+1]2
=S(k+1)+1,
1 ? n ? k ? 1时, ? S n?1也成立. bn 由①②可知n ? N* , n ? 4时, 1 ? S n?1都成立. bn

11分

1 综上所述 ,当n ? 1,2,3时, ? S n?1 , bn 1 当n ? 4时, ? S n?1 . bn

12分

探究提高(1)归纳——猜想——证明是高考重点 考查的内容之一,此类问题可分为归纳性问题和

存在性问题,本例中归纳性问题需要从特殊情况
入手,通过观察、分析、归纳、猜想,探索出一 般规律. (2)数列是定义在N+上的函数,这与数学归纳法 运用的范围是一致的,并且数列的递推公式与归

纳原理实质上是一致的,数列中有不少问题常用
数学归纳法解决.

知能迁移4

如图所示,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、

?、Pn(xn,yn)(0<y1<y2<?<yn)是曲线C: y2=3x(y≥0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i=1,

2,3,?,n)在x轴的正半轴上,且Δ Ai-1AiPi是
正三角形(A0是坐标原点). (1)写出a1、a2、a3; (2)求出点An(an,0)(n∈N+)的横坐标an关于 n的表达式并证明.



(1)a1=2,a2=6,a3=12.

an?1 ? an an ? an?1 , yn ? 3 ? , 2 2 an ? an?1 2 3 2 由此及 yn ? 3 ? xn 得( 3 ? ) ? (an ? an?1 ), 2 2 即(an-an-1)2=2(an-1+an).

(2)依题意,得 xn ?

由(1)可猜想:an=n(n+1) (n∈N+).

下面用数学归纳法予以证明:
①当n=1时,命题显然成立; ②假设当n=k(k∈N+)时命题成立,即有an=k(k+1), 则当n=k+1时,由归纳假设及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1),

得[ak+1-k(k+1)]2=2[k(k+1)+ak+1], 即(ak+1)2-2(k2+k+1)ak+1+[k(k-1)]·[(k+1) (k+2)]=0,

解之得,ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1=k(k-1)<ak不合题意,
舍去),即当n=k+1时,命题成立. 由①②知,命题成立.

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.利用数学归纳法可以对不完全归纳的问题进行 严格的证明. 2.利用数学归纳法可以证明与正整数有关的等式

问题.
3.利用数学归纳法可以证明与正整数有关的不等 式问题.

4.利用数学归纳法可以证明整除问题,在证明时
常常利用凑数、凑多项式等恒等变形. 5.利用数学归纳法可以证明几何问题.

失误与防范
1.数学归纳法仅适应于与正整数有关的数学命题. 2.严格按照数学归纳法的三个步骤书写,特别是 对初始值的验证不可省略,有时要取两个(或

两个以上)初始值进行验证;初始值的验证是
归纳假设的基础. 3.注意n=k+1时命题的正确性. 4.在进行n=k+1命题证明时,一定要用n=k(k∈N+) 时的命题,没有用到该命题而推理证明的方法 不是数学归纳法.

定时检测
一、选择题
1.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能 被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是( D ) A.假设n=k(k∈N+),证明n=k+1命题成立 B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立 C.假设n=2k+1(k∈N+),证明n=k+1命题成立 D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2命题成立

解析

A、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D

中k为奇数,k+2为奇数.

1 1 1 2.用数学归纳法证明“1 ? ? ? ? ? n ?n 2 3 2 ?1 (n∈N+,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,

推证n=k+1时,左边应增加的项数是 A.2k-1 B.2k-1

(C )

C.2k
解析 2k+1-2k=2k.

D.2k+1
增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=

3.对于不等式

n 2 ? n ? n ? 1(n∈N+),某同学用数学归纳法

的证明过程如下: (1)当n=1时, 12 ? 1 ? 1 ? 1,不等式成立. (2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立, 即 k 2 ? k ? k ? 1, 则当n=k+1时, (k ? 1) 2 ? (k ? 1) ?
k 2 ? 3k ? 2 ? (k 2 ? 3k ? 2) ? (k ? 2) ? (k ? 2) 2

? (k ? 1) ? 1, 所以当n=k+1时,不等式成立,则上述证法( D ) A.过程全部正确 B.n=1验得不正确
C.归纳假设不正确 解析 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数

学归纳法.

4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9 整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开

(A )
A.(k+3)3 C.(k+1)3 解析 +(k+2)3能被9整除. B.(k+2)3 D.(k+1)3+(k+2)3

假设当n=k时,原式能被9整除,即k3+(k+1)3

当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面
的归纳假设,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即 可.

5.证明 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n ? 1(n ? 1), 当n=2时, 2 3 4 2n 左边式子等于 ( D)

B.1? 1 2 C.1 ? 1 ? 1 D.1 ? 1 ? 1 ? 1 2 3 2 3 4 解析 当n=2时,左边的式子为 A.1
1 1 1 1 1 1 1? ? ? 2 ? 1? ? ? . 2 3 2 2 3 4

6.用数学归纳法证明不等式 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 13 n ?1 n ? 2 2n 14 (n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等

式左边
1 A.增加了一项 2(k ? 1)
1 1 、 B.增加了两项 2k ? 1 2k ? 2

(

)

1 C.增加了B中两项但减少了一项 k ?1

D.以上各种情况均不对

解析 ? n ? k时, 左边 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 , k ?1 k ? 2 2k
n ? k ? 1时, 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? , k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 ? 增加了两项 、 , 少了一项 . 2k ? 1 2k ? 2 k ?1 左边 ?

答案

C

二、填空题 7.若f(n)=12+22+32+?+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的递推 2 2 关系式是 f(k+1)=f(k)+(2k+1) +(2k+2) . 解析 ∵f(k)=12+22+?+(2k)2, f(k+1)=12+22+?+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2, ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.

8.用数学归纳法证明 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 (n∈N,且 2 3 2n ? 1
1 1 1? ? ? 2 . n>1),第一步要证的不等式是 2 3

解析

1 1 1 1 n=2时,左边 ? 1 ? ? 2 ? 1 ? ? , 右边 ? 2. 2 2 ?1 2 3

9.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3), (2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5), (2,4),?,则第60个数对是 (5,7) . 解析 本题规律:2=1+1;3=1+2=2+1; 4=1+3=2+2=3+1; 5=1+4=2+3=3+2=4+1;

?;
一个整数n所拥有数对为(n-1)对. 设1+2+3+?+(n-1)=60,? ( n ? 1) n ? 60, 2 ∴n=11时还多5对数,且这5对数和都为12, 12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7, ∴第60个数对为(5,7).

三、解答题
1 10.已知数列{an}中, 1 ? , an?1 ? sin( π an ) (n∈N+).证 a 2 2 明:0<an<an+1<1.

(1)n=1时, ? 1 , a2 ? sin( π a1 ) ? sin π ? 2 . a1 2 2 4 2 ∴0<a1<a2<1,故结论成立. 证明
(2)假设n=k(k∈N+)时结论成立, 即0<ak<ak+1<1,

π π π 则0 ? ak ? ak ?1 ? . 2 2 2 π π ? 0 ? sin( ak ) ? sin( ak ?1 ) ? 1, 2 2 即0<ak+1<ak+2<1,

也就是说n=k+1时,结论也成立.

由(1)(2)可知,对一切n∈N+均有0<an<an+1<1.

11.用数学归纳法证明对于任意正整数n,(n2-1)+

n 2 (n ? 1)(n ? 1) . 4 证明 (1)当n=1时,左式=12-1=0, 12 (1 ? 1)(1 ? 1) 右式 ? ? 0. 4 所以等式成立.
2(n2-22)+?+n(n2-n2)= (2)假设n=k(k∈N+)时等式成立, 即(k2-1)+2(k2-22)+?+k(k2-k2)

k 2 (k ? 1)(k ? 1) ? . 4 那么[(k+1)2-1]+2[(k+1)2-22]+?+k[(k+1)2
-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]

=(k2-1)+2(k2-22)+?+k(k2-k2)+(2k+1)(1+2+?+k)
k 2 (k ? 1)( k ? 1) k (k ? 1) ? ? (2k ? 1) 4 2 1 ? k (k ? 1)[ k (k ? 1) ? 2(2k ? 1)] 4 1 ? k (k ? 1)( k 2 ? 3k ? 2) 4 1 ? (k ? 1) 2 [( k ? 1) ? 1][( k ? 1) ? 1]. 4

所以当n=k+1时等式成立.

由(1)(2)知对任意n∈N+等式成立.

12.在数列{an}、{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成
等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N+),求 a2,a3,a4与b2,b3,b4的值,由此猜测{an},{bn}的通 项公式,并证明你的结论. 解 由条件得2bn=an+an+1, an2?1 =bnbn+1.

又a1=2,b1=4,由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,
a4=20,b4=25,猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2. 用数学归纳法证明: ①当n=1时,a1=2,b1=4,结论成立.

②假设当n=k (k∈N+)时结论成立,即
ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当n=k+1时, ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)[(k+1)+1],
ak2?1 bk ?1 ? ? (k ? 2) 2 ? [(k ? 1) ? 1]2 , bk 所以当n=k+1时,结论也成立.

由①②知,an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都 成立.

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