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高中数学必修1~5、选修2-1~2-3、选修4-4~4-5公式、定理

时间:2016-05-03


高中数学必修 1~5、选修 2-1~2-3、选修 4-4~4-5 公式、定理
1.集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2 个/真子集有 2 –1 个/非空子集有 2 –1 个/非空的真子集有 2 –2 个. 2.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x , 成立 对任何 x , 不成立 3.偶函数 f(-x)=f(x)
x
n n n n

反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x , 不成立 存在某 x , 成立

原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个

p 或q

?p 且 ?q

p 且q

?p 或 ?q
3.对数函数 y= log a x (a>0,且 a≠1)

奇函数 f(-x)=-f(x),f(0)=0,二次项系数为 0

4.指数函数 y= a (a>0,且 a≠1) 0<a<1 a>1

0<a<1

a>1

图 像 定义 域 值域 图 像

R
(0,+∞)

定义 域 值域

(0,+∞)
R

性 (1)过定点(0,1),即 x=0,y=1 质 (2)在 R 上是减函数 (2)在 R 上是增函数 5. a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b )
3 3 2 2

性 (1)过定点(1,0),即 x=1,y=0 质 (2)在(0,+∞)是减函数 (2)在(0,+∞)是增函数

a 3 ? b3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )
1 V锥体 = Sh 3

6.柱体、锥体、台体的体积公式:

V柱体 = S h ( S 为底面积, h 为柱体高)

( S 为底面积, h 为柱体高)

1 V台体 = ( S ’+ S' S + S ) h ( S ’, S 分别为上、下底面积, h 为台体高) 3 4 3 π R2 球体: V球体 = π R S 球体 = 4 3
2 2 7.两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)间的距离公式:| P1 P2|= ( x2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )

点 P0(x0,y0)到直线 L:Ax+By+C=0 的距离: d = 两平行线间的距离: d = | C1 ? C 2 | A2 ? B 2

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

2 2 2 空间两点 P1(x1,y1, z1),P2(x2,y2, z2)间的距离公式:| P1 P2|= ( x2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) ? ( z 2 ? z1 )

8. P(x,y)关于点 Q(a,b)对称,P`(2a-x,2b-y) P(x,y)关于原点 O(0,0)对称,P`(-x, -y) P(x,y)关于点 Q(a,y)对称,P`(2a-x, y) P(x,y)关于点 Q(x,b)对称,P`(x,2b-y) 9.向量平行的坐标表示 10. 平面向量的坐标运算 (1)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a - b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a · b = ( x1 x2 ? y1 y2 ) 11. 向量的平行与垂直 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则: 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a∥b(b ? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

a ∥ b ? b = ? a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 12.sin(π ? ? )= ? sin ? , cos(π ? ? )= ? cos? , sin( ? ? )= ? sin ? , cos( ? ? )= cos? , sin(π ? ? )= sin ? , cos(π ? ? )= ? cos? , π π sin( ? ? )= cos? , cos( ? ? )= sin ? , 2 2
13.cos( ? ? ? )=cos ? cos ? +sin ? sin ? Sin( ? + ? )=sin ? cos ? +cos ? sin ? tan( ? + ? )=

b =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . a ? b ( a ? 0) ? a · tan(π ? ? )=tan ? tan( ? ? )= ? tan ? tan(π ? ? )= ? tan ? π π sin( + ? )= cos? , cos( + ? )= ? sin ? 2 2

cos( ? + ? )=cos ? cos ? -sin ? sin ? Sin( ? ? ? )=sin ? cos ? -cos ? sin ? tan( ? ? ? )=

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?
tan2 ? =

sin2 ? =2sin ? cos ?

2 cos2 ? =cos2 ? -sin2 ? =2cos2 ? ? 1 = 1 ? 2sin ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

tan ? +tan ? = tan( ? + ? )( 1 ? tan?tan? ) sin2

tan ? -tan ? = tan( ? - ? )( 1 ? tan?tan? ) tan2

? 1 ? cos ? = 2 2

cos2

? 1 ? cos ? = 2 2
a a2 ? b2

? 1 ? cos ? = 2 1 ? cos ?
b a2 ? b2
cosx)

14.辅助角公式:asinx+bcosx= a 2 ? b 2 (

sinx+

15.余弦定理

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abcosC

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B

cos A ?
S?

b2 ? c2 ? a2 2bc
S?

cos B ?

c2 ? a2 ? b2 2ca
S?

cosC ?
1 ca sin B 2

a2 ? b2 ? c2 2ab

1 ab sin C 2

1 bc sin A 2

16.等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;

等差数列的前 n 项和: S n

?

n(a1 ? a n ) 2
n ?1

S n ? na1 ?

n(n ? 1) d 2

17.等比数列的通项公式: an ? a1q

?

a1 n ? q (n ? N * ) q

a1 (1 ? q n ) 等比数列的前 n 项和: S n ? 1? q
18.椭圆: 焦点的位置 焦点在 x 轴上

Sn ?

a1 ? an q 1? q

(q ? 1)

焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1 ( a > b >0) a2 b2

顶点 轴长 焦点 离心率

(± a ,0) (0, ± b ) (± c ,0)

(± b ,0) (0, ± a ) (0, ± c )

长轴长 2 a ,短轴长 2 b

e?

c a

19.双曲线: 标准方程

x2 y2 ? ? 1 ( a >0, b >0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1 ( a >0, b >0) a2 b2

图形

几 何 性 质

顶点 轴长 离心率 焦点 渐近线

(± a ,0)

(0, ± a )

实轴长|A1A2|=2 a ,虚轴长|B1B2|=2 b

e?
(± c ,0)

c >1 a
(0, ± c )

y??

b x a

y??

a x b

20.抛物线: 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程

21.导数公式: 基本初等函数的导数公式 1.若 f(x)= c ( c 为常数),则 f ’(x)=0 2.若 f(x)= x (
?

y ? 2 px
2

p ( ,0 ) 2

p x?? 2

? ? Q * ),则 f ’(x)= ?x ? ?1

( p >0)

3.若 f(x)=sinx,则 f ’(x)=cosx 4.若 f(x)=cosx,则 f ’(x)=sinx

y 2 ? ?2 px
( p >0)

(?

p ,0) 2

x?

p 2

5.若 f(x)= a ,则 f ’(x)= a ln a 6.若 f(x)= e ,则 f ’(x)= e
x x

x

x

x 2 ? 2 py
( p >0)

p (0, ) 2

y??

p 2

7.若 f(x)= loga x ,则 f ’(x)= 8.若 f(x)=lnx,则 f ’(x)= 瞬时速度

1 x ln a

1 x

? ? s?(t ) ? lim

x 2 ? ?2 py
( p >0)

p (0,? ) 2

y?

p 2

?t ?0

?s s (t ? ?t ) ? s (t ) . ? lim ? t ? 0 ?t ?t

瞬时加速度

a ? v?(t ) ? lim

?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim . ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t

22. 推理与证明 1.归纳推理:由部分到整体,由个别到一般 2.类比推理:由特殊到特殊 3.演绎推理:由一般到特殊的推理 23.排列组合:

m m m?1 Cn ?1 ? Cn ? Cn
k n ?k k Tk ?1 ? Cn a b

24.二项式定理:

二项式系数的和: Cn

0

1 2 n ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn n ?2

25.离散型随机变量的均值与方差: E(aX ? b) ? aE( X ) ? b 若 X 服从两点分布,则 E ( X ) ? p , D( X ) ? p(1 ? p) 若 X ~ B(n, p) ,则 E( X ) ? np , D( X ) ? np(1 ? p)

D? a ?? b D ? ? 2a ?

26.正态分布: ? ? ,?

( x) ?

1 e 2 π?

?

( x? ? )2 2? 2

, X ? (??,??)

? ? E ( x)

? ? D( x)

P( ? ? ? < x ? ? ? ? ) =0.6826 P(? ? 2? < x ? ? ? 2? ) =0.9544
2 2

P(? ? 3? < x ? ? ? 3? ) =0.9974

27.统计案例: R 越大,意味着残差平方和越小拟合的效果越好; R 越接近于 1 表示回归效果越好。 |r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小.

28.极坐标和直角坐标的互化:

x ? ? cos? , y ? ? sin ?

? 2 ? x 2 ? y 2 , tan ? ? ( x ? 0)

y x

x ? a ? rcos ?, 29.圆 (x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . ? ?y ? b ? rsin? .

?, 经过点 M O (x o , y o ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ?x ? x o ? t cos (t为参数) ? ? y ? y o ? t sin? .

30.基本不等式:
2 2 定理 1:如果 a, b ? R ,那么 a ? b ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时,等号成立。

a?b ? ab ,当且仅当 a ? b 时,等号成立。 2 a?b?c 3 ? abc ,当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立。 定理 3:如果 a, b, c ? R? ,那么 3
定理 2:如果 a, b ? 0 ,那么 31.绝对值不等式: 定理 1:如果 a, b ? R ,则 | a ? b |?| a | ? | b | ,当且仅当 ab ? 0 时,等号成立。 定理 2:如果 a, b, c ? R ,那么 | a ? c |?| a ? b | ? | b ? c | ,当且仅当 (a ? b)(b ? c) ? 0 时,等号成立。


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