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2016年四川省成都市高考数学三诊试卷(理科)(解析版)

时间:2016-08-13


2016 年四川省成都市高考数学三诊试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知田径队有男运动员 56 人,女运动员 42 人,若按男女比例用分层抽样的方法,从全 体运动员中抽出 14 人参加比赛,则抽到女运动员的人数为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 2.命题“? x∈(﹣1,+∞) ,ln(x+1)<x”的否定是( ) A.? x?(﹣1,+∞) ln x 1 x B x 1 , ( + )< .? 0?(﹣ ,+∞) ,ln(x0+1)<x0 C.? x∈(﹣1,+∞) D.? x0∈(﹣1,+∞) ,ln(x+1)≥x ,ln(x0+1)≥x0 3.已知复数 z= ﹣i(其中 i 为虚数单位) ,则|z|=( )

A.3 B. C.2 D.1 4.已知 α,β 是空间中两个不同的平面,m 为平面 β 内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥α”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知向量,满足 A. B. C. =2, ? D. =﹣3,则在方向上的投影为( )

6.某工厂用 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品需用 4 个 A 配件耗时 1h,每生产一件乙产品需用 4 个 B 配件耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得 24 个 A 配 件和 16 个 B 配件,每天生产总耗时不超过 8h.若生产一件甲产品获利 3 万元,生产一件乙 产品获利 4 万元,则通过恰当的生产安排,该工厂每天可获得的最大利润为( ) A.24 万元 B.22 万元 C.18 万元 D.16 万元 7.执行如图所示的程序框图,若依次输入 m= ,n=0.6﹣2,p= ,则输出的结果

为(



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A.

B.

C.0.6﹣2 D.

8.某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用,有 5 名同学前去就 餐,每人只选择其中一种,且每种主食都至少有一名同学选择.已知包子数量不足仅够一人 食用,甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭,则这 5 名同学不同的主食选择方案种数为( ) A.144 B.132 C.96 D.48 9.定义在(1,+∞)上的函数 f(x)同时满足: ①对任意的 x∈(1,+∞)恒有 f(3x)=3f(x)成立; ②当 x∈(1,3]时,f(x)=3﹣x. 记函数 g(x)=f(x)﹣k(x﹣1) ,若函数 g(x)恰好有两个零点,则实数 k 的取值范围是 ( ) D.

A. (2,3) B.[2,3) C.

10.已知 O 为坐标原点,双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左焦点为 F(﹣c,0) (c

=0,若 >0) ,以 OF 为直径的圆交双曲线 C 的渐近线于 A,B,O 三点,且( + ) 2 关于 x 的方程 ax +bx﹣c=0 的两个实数根分别为 x1 和 x2,则以|x1|,|x2|,2 为边长的三角 形的形状是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 二、填空题: (大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.计算:sin65°cos35°﹣sin25°sin35°= . 12.一块边长为 8cm 的正方形铁板按如图 1 所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等 的等腰三角形加工成一个正四棱锥(底面是正方形,从顶点向底面作垂线,垂足为底面中心 的四棱锥)形容器,O 为底面 ABCD 的中心,则侧棱 SC 与底面 ABCD 所成角的余弦值 为 .

13.已知椭圆 C:

+

=1(0<n<16)的两个焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线交椭圆

C 于 A,B 两点,若|AF2|+|BF2|的最大值为 10,则 n 的值为 . 14.若直线 2ax+by﹣1=0(a>﹣1,b>0)经过曲线 y=cosπx+1(0<x<1)的对称中心,则 + 的最小值为 .

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15.函数 f(x)=

(a>0,b>0) ,因其图象类似于汉字“囧”字,被称为“囧函数”,

我们把函数 f(x)的图象与 y 轴的交点关于原点的对称点称为函数 f(x)的“囧点”,以函数 f(x)的“囧点”为圆心,与函数 f(x)的图象有公共点的圆,皆称函数 f(x)的“囧圆”,则 当 a=b=1 时,有下列命题: ①对任意 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)> 成立; ②存在 x0∈( , ) ,使 f(x0)<tanx0 成立; ;

③函数 f(x)的“囧点”与函数 y=lnx 图象上的点的最短距离是 ④函数 f(x)的所有“囧圆”中,其周长的最小值为 2 π. 其中的正确命题有 (写出所有正确命题的序号) .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知函数 f(x)= sin2x+2sin(x+ )cos(x+ )+ .

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,角 A 满足 f(A)=1+ ,若 a=3, sinB=2sinC,求 b 的值. 17.如图,在三棱台 DEF﹣ABC 中,已知底面 ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形,FC⊥ 底面 ABC,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (1)求证:平面 ABED∥平面 GHF; (2) )若 BC=CF= AB=1,求二面角 A﹣DE﹣F 的余弦值.

18.某高校一专业在一次自主招生中,对 20 名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻 辑思维能力测试,结果如表: 语言表达能力 人数 一般 良好 优秀 逻辑思维能力 2 2 1 一般 4 m 1 良好 1 3 n 优秀 由于部分数据丢失,只知道从这 20 名参加测试的学生中随机抽取一人,抽到语言表达能力 优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . (1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名,求其中至少有一名逻辑思维 能力优秀的学生的概率;
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(2) 从参加测试的 20 名学生中任意抽取 2 名, 设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的 学生人数为 X,求随机变量 X 的分布列及其均值. 19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 3Sn+an﹣3=0,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足 bn= Tn≥ 成立的 n 的最小值. ,求 Tn= ,求使

20.已知一动圆经过点 M(2,0) ,且在 y 轴上截得的弦长为 4,设动圆圆心的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 N(1,0)任意作相互垂直的两条直线 l1,l2,分别交曲线 C 于不同的两点 A,B 和不同的两点 D,E.设线段 AB,DE 的中点分别为 P,Q. ①求证:直线 PQ 过定点 R,并求出定点 R 的坐标; ②求|PQ|的最小值. 21.已知函数 f(x)=ex,其中 e=2.71828…为自然对数的底数. (1)设函数 g(x)=(x2+ax﹣2a﹣3)f(x) ,a∈R.试讨论函数 g(x)的单调性; (2)设函数 h(x)=f(x)﹣mx2﹣x,m∈R,若对任意 都有 x2h(x1)﹣x1h(x2)>x1x2(x2﹣x1)成立,求实数 m 的取值范围. ,且 x1>x2

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2016 年四川省成都市高考数学三诊试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知田径队有男运动员 56 人,女运动员 42 人,若按男女比例用分层抽样的方法,从全 体运动员中抽出 14 人参加比赛,则抽到女运动员的人数为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【考点】分层抽样方法. 【分析】先求出每个个体被抽到的概率,再用女运动员的人数乘以此概率,即得所求. 【解答】解:每个个体被抽到的概率等于 则样本中女运动员的人数为 42× =6. 故选:C. 2.命题“? x∈(﹣1,+∞) ,ln(x+1)<x”的否定是( ) A.? x?(﹣1,+∞) ln x 1 x B x 1 , ( + )< .? 0?(﹣ ,+∞) ,ln(x0+1)<x0 C.? x∈(﹣1,+∞) D.? x0∈(﹣1,+∞) ,ln(x+1)≥x ,ln(x0+1)≥x0 【考点】命题的否定. 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 【解答】解:∵全称命题的否定是特称命题, ∴命题“? x∈(﹣1,+∞) ,ln(x+1)<x”的否定是:“? x0∈(﹣1,+∞) ,ln(x0+1)≥x0”, 故选:D. = ,

3.已知复数 z= ﹣i(其中 i 为虚数单位) ,则|z|=( A.3 B. C.2 D.1



【考点】复数求模. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,然后代入复数模的公式得答案. 【解答】解:∵z= ﹣i= ,

∴|z|= 故选:A.



4.已知 α,β 是空间中两个不同的平面,m 为平面 β 内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥α”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
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【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 β 内的一条直线,且 m⊥α,则 α⊥β,反之,α⊥β 时,若 m 平行于 α 和 β 的交线,则 m∥α,所以不一定能得到 m⊥α, 所以“α⊥β”是“m⊥α”的必要不充分条件. 故选 B.

5.已知向量,满足 A. B. C.

=2, ? D.

=﹣3,则在方向上的投影为(



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义,进行计算即可. 【解答】解:∵||=2, ?(﹣)=﹣3, ∴?﹣ ∴?=1, ∴向量在方向上的投影为 故选:C. 6.某工厂用 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品需用 4 个 A 配件耗时 1h,每生产一件乙产品需用 4 个 B 配件耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得 24 个 A 配 件和 16 个 B 配件,每天生产总耗时不超过 8h.若生产一件甲产品获利 3 万元,生产一件乙 产品获利 4 万元,则通过恰当的生产安排,该工厂每天可获得的最大利润为( ) A.24 万元 B.22 万元 C.18 万元 D.16 万元 【考点】简单线性规划. 【分析】根据条件建立不等式组即线性目标函数,利用图象可求该厂的日利润最大值. 【解答】解:设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件,工厂获得的利润为 z 又已知条件可得二 元一次不等式组: = . =?﹣22=﹣3,

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目标函数为 z=3x+4y, 由 ,可得 ,

利用线性规划可得 x=6,y=1 时,此时该厂的日利润最大为 z=3×6+4=22 万元, 故选:B.

7.执行如图所示的程序框图,若依次输入 m=

,n=0.6﹣2,p=

,则输出的结果

为(



A.

B.

C.0.6﹣2 D.

【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序,可得该流程图的作用是求出 m、n、p 中的最小数,化简比较三个 数即可得解. 【解答】解:根据题意,该流程图的作用是求出 m、n、p 中的最小数, 并将此最小的数用变量 x 表示并输出, 由于,m= = ,n=0.6﹣2= ,p= = ,

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可得,





,即:n>m>p.

故选:A. 8.某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用,有 5 名同学前去就 餐,每人只选择其中一种,且每种主食都至少有一名同学选择.已知包子数量不足仅够一人 食用,甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭,则这 5 名同学不同的主食选择方案种数为( ) A.144 B.132 C.96 D.48 【考点】计数原理的应用. 【分析】分类讨论:甲选花卷,则有 2 人选同一种主食,剩下 2 人选其余主食; 甲不选花卷, 其余 4 人中 1 人选花卷,方法为 4 种,甲包子或面条,方法为 2 种,其余 3 人,有 1 人选甲 选的主食,剩下 2 人选其余主食,或没有人选甲选的主食,相加后得到结果 【解答】解:分类讨论:甲选花卷,则有 2 人选同一种主食,方法为 C42C31=18,剩下 2 人 选其余主食,方法为 A22=2,共有方法 18×2=36 种; 甲不选花卷,其余 4 人中 1 人选花卷,方法为 4 种,甲包子或面条,方法为 2 种,其余 3 人, 若有 1 人选甲选的主食,剩下 2 人选其余主食,方法为 3A22=6; 若没有人选甲选的主食,方法为 C32A22=6,共有 4×2×(6+6)=96 种, 故共有 36+96=132 种, 故选:B. 9.定义在(1,+∞)上的函数 f(x)同时满足: ①对任意的 x∈(1,+∞)恒有 f(3x)=3f(x)成立; ②当 x∈(1,3]时,f(x)=3﹣x. 记函数 g(x)=f(x)﹣k(x﹣1) ,若函数 g(x)恰好有两个零点,则实数 k 的取值范围是 ( ) D.

A. (2,3) B.[2,3) C.

【考点】函数零点的判定定理. 【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为:f(x)=3m+1﹣x,x∈(3m,3m+1],在直角 坐标系中画出 f(x)的图象和直线 y=k(x﹣1) ,根据函数的图象、题意、斜率公式求出实 数 k 的范围. 【解答】解:因为对任意的 x∈(1,+∞)恒有 f(3x)=3f(x)成立, 所以 f(t)=3f( ) , 取 x∈(3m,3m+1],则 ∈(1,3],

因为当 x∈(1,3]时,f(x)=3﹣x, 所以 f( )=3﹣ ,则 f(x)=…=3mf( )=3m+1﹣x,

且 y=k(x﹣1)的函数图象是过定点(1,0)的直线, 在直角坐标系中画出 f(x)的图象和直线 y=k(x﹣1) : 因为函数 g(x)=f(x)﹣k(x﹣1) ,且函数 g(x)恰好有两个零点, 所以 f(x)的图象和直线 y=k(x﹣1)恰好由两个交点,
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由图得,直线 y=k(x﹣1)处在两条红线之间,且过(3,6)的直线取不到, 因 故选:D. , ,所以 k 的范围是[ ,3) ,

10.已知 O 为坐标原点,双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左焦点为 F(﹣c,0) (c

=0,若 >0) ,以 OF 为直径的圆交双曲线 C 的渐近线于 A,B,O 三点,且( + ) 2 x ax bx c=0 x x x x 2 关于 的方程 + ﹣ 的两个实数根分别为 1 和 2,则以| 1|,| 2|, 为边长的三角 形的形状是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】 运用向量的加减运算和数量积的性质可得|AF|=|AO|, △AOF 为等腰直角三角形, 2 2 求得渐近线的斜率,进而得到 c= a,方程 ax +bx﹣c=0 即为 x +x﹣ =0,求得两根,求 得平方,运用余弦定理,即可判断三角形的形状. =0,可得 【解答】解:由( + ) ( + )?( ﹣ )=0, 即有 2﹣ 2=0, 即|AF|=|AO|,△AOF 为等腰直角三角形, 可得∠AOF=45°, 由渐近线方程 y=± x, 可得 =1,c= a,

则关于 x 的方程 ax2+bx﹣c=0 即为 x2+x﹣ =0, 即有 x1x2=﹣ ,x1+x2=﹣1, 即有 x12+x22=1+2 <4, 可得以|x1|,|x2|,2 为边长的三角形的形状是钝角三角形. 故选:A. 二、填空题: (大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

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11.计算:sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=



【考点】两角和与差的正弦函数. 【分析】由条件利用诱导公式、两角而和的余弦公式,求得所给式子的值. sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=cos25°cos35°﹣sin25°sin35°=cos =cos60°= , 【解答】 解: (25°+35°) 故答案为: .

12.一块边长为 8cm 的正方形铁板按如图 1 所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等 的等腰三角形加工成一个正四棱锥(底面是正方形,从顶点向底面作垂线,垂足为底面中心 的四棱锥)形容器,O 为底面 ABCD 的中心,则侧棱 SC 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 .

【考点】直线与平面所成的角. 【分析】连接 OC,则∠SCO 为侧棱 SC 与底面 ABCD 所成角,根据图 1 可知棱锥底面边长 为 6,斜高为 4,从而棱锥的侧棱长为 5.于是 cos∠SCO= 【解答】解:由图 1 可知四棱锥的底面边长为 6,斜高为 4. ∴棱锥的侧棱长为 5. 连接 OC, ∵SO⊥平面 ABCD, ∴∠SCO 为侧棱 SC 与底面 ABCD 所成的角. ∵AB=BC=6, ∴OC= AC=3 ∴cos∠SCO= 故答案为: . = . . .

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13.已知椭圆 C:

+

=1(0<n<16)的两个焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线交椭圆

C 于 A,B 两点,若|AF2|+|BF2|的最大值为 10,则 n 的值为 12 . 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由题意可知椭圆是焦点在 x 轴上的椭圆,利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=16﹣ |AB|,再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短,可知当 AB 垂直于 x 轴时|AB|最小,把|AB| 的最小值 ,代入|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|,由|BF2|+|AF2|的最大值等于 10,列式求 n 的 值. 【解答】解:由 0<n<16 可知,焦点在 x 轴上, 由过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点, 由椭圆的定义可得|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=16, 即有|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|. 当 AB 垂直 x 轴时|AB|最小,|BF2|+|AF2|值最大, 此时|AB|= = = ,

即为 10=16﹣ , 解得 n=12. 故答案为:12. 14.若直线 2ax+by﹣1=0(a>﹣1,b>0)经过曲线 y=cosπx+1(0<x<1)的对称中心,则 + 的最小值为 【考点】基本不等式. 【分析】曲线 y=cosπx+1(0<x<1)的对称中心为 0) .再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:曲线 y=cosπx+1(0<x<1)的对称中心为 ∴ ∴ = +b﹣1=0,化为:a+b=1(a>﹣1,b>0) . + = (a+1+b) ,当且仅当 a=2 . = ﹣3,b=4﹣2 时取等号. ≥ , ,可得:a+b=1. (a>﹣1,b> .

故答案为:

15.函数 f(x)=

(a>0,b>0) ,因其图象类似于汉字“囧”字,被称为“囧函数”,

我们把函数 f(x)的图象与 y 轴的交点关于原点的对称点称为函数 f(x)的“囧点”,以函数
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f(x)的“囧点”为圆心,与函数 f(x)的图象有公共点的圆,皆称函数 f(x)的“囧圆”,则 当 a=b=1 时,有下列命题: ①对任意 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)> 成立; ②存在 x0∈( , ) ,使 f(x0)<tanx0 成立; ;

③函数 f(x)的“囧点”与函数 y=lnx 图象上的点的最短距离是 ④函数 f(x)的所有“囧圆”中,其周长的最小值为 2 π. 其中的正确命题有 ②③④ (写出所有正确命题的序号) .

【考点】函数的图象. 【分析】利用特殊值法,研究函数的值域,单调性,和零点问题,以及导数的几何意义,利 用数形结合的方法进行判断. 【解答】解:当 a=1,b=1 时,函数 f(x)= ,

①当 x= 时,f( )=

=﹣2,

=2,故 f(x)> 不成立,故①不正确;

②当 x0=

时,f(

)=

<0,tan

=1,故存在 x0∈(



) ,使 f(x0)<

tanx0 成立,故②正确; ③则函数 f(x)= 设 y=lnx, 则 y′= , 设切点为(x0,lnx0) , ∴切线的斜率 k= , 与 y 轴交于(0,﹣1)点,则“囧点”坐标为(0,1) ,

当“囧点”与切点的连线垂直切线时,距离最短, ∴ ? =﹣1,

解得 x0=1, ∴切点坐标为(1,0) , 故函数 f(x)的“囧点”与函数 y=lnx 图象上的点的最短距离是 故③正确, ④令“囧圆”的标准方程为 x2+(y﹣1)2=r2, 令“囧圆”与 f(x)= 则切点坐标为( , 图象的左右两支相切, ) 、 (﹣ , ) 、此时 r= ; = ,

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令“囧圆”与 f(x)=

图象的下支相切

则切点坐标为(0,﹣1) 此时 r=2, 故函数 f(x)的所有“囧圆”中,其周长的最小值为 2 综上所述:其中的正确命题有②③④, 故答案为:②③④

π,故④正确,

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知函数 f(x)= sin2x+2sin(x+ )cos(x+ )+ .

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,角 A 满足 f(A)=1+ sinB=2sinC,求 b 的值.

,若 a=3,

【考点】三角函数中的恒等变换应用;余弦定理. 【分析】 (1)由诱导公式与辅助角公式得到 f(x)的解析式,由此得到单调增区间. (2)由 f(A)=1+ ,得 A= ,由恒等式得到 B= sin2x+2sin(x+ . ,所以得到 b. )+ .

【解答】解: (1)∵f(x)= = sin2x+sin(2x+ )+ )+ , ≤2kπ+

)cos(x+

=2sin(2x+ 由﹣

+2kπ≤2x+

,得:﹣

+kπ≤x≤kπ+

, (k∈Z) ,

∴函数 f(x)的单调递增区间是[﹣ (2)∵f(A)=1+ ∴A= , ,

+kπ,kπ+

], (k∈Z) .

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∵sinB=2sinC=2sin( ∴cosB=0,即 B= ∴由正弦定理得: ∴b= . ,

﹣B) ,

=



17.如图,在三棱台 DEF﹣ABC 中,已知底面 ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形,FC⊥ 底面 ABC,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (1)求证:平面 ABED∥平面 GHF; (2) )若 BC=CF= AB=1,求二面角 A﹣DE﹣F 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面平行的判定. 【分析】 (1)推导出四边形 BHFE 是平行四边形,从而 BE∥HF,从而∥平面 GHF,BE∥ 平面 GHF,由此能证明平面 ABED∥平面 GHF. (2)以 C 为原点,分别以 CA,CB,CF 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐 标系,利用向量法能求出二面角 A﹣DE﹣F 的余弦值. 【解答】证明: (1)由已知得三棱台 DEF﹣ABC 中,AB=2DE, ∴ ,

∵G,H 分别为 AC,BC 的中点. , ∴AB∥GH,EF∥BH,EF=BH, ∴四边形 BHFE 是平行四边形,∴BE∥HF, ∵AB?平面 GHF,HF? 平面 GHF, ∴AB∥平面 GHF,BE∥平面 GHF, 又 AB∩BE=B,AB,BE? 平面 ABED, ∴平面 ABED∥平面 GHF. 解: (2)由已知,底面 ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形,即 AC⊥BC, 又 FC⊥底面 ABC, ∴以 C 为原点,分别以 CA,CB,CF 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标 系, 取 AB=2,由 BC=CF= 则 A( ,得 BC=CF=1,AC= ,

) ,C(0,0,0) ,B(0,1,0) ,F(0,0,1) ,

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E(0, ,1) ,D(

,0,1) ,

平面 DEF 的一个法向量=(0,0,1) , 设平面 ABED 的法向量=(x,y,z) , , =(﹣ , ) ,



,取 x=2,得=(2,2

) ,

cos<

>=

=

=



由图形得二面角 A﹣DE﹣F 的平面角是钝角, ∴二面角 A﹣DE﹣F 的余弦值为﹣ .

18.某高校一专业在一次自主招生中,对 20 名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻 辑思维能力测试,结果如表: 语言表达能力 人数 一般 良好 优秀 逻辑思维能力 2 2 1 一般 4 m 1 良好 1 3 n 优秀 由于部分数据丢失,只知道从这 20 名参加测试的学生中随机抽取一人,抽到语言表达能力 优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . (1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名,求其中至少有一名逻辑思维 能力优秀的学生的概率; (2) 从参加测试的 20 名学生中任意抽取 2 名, 设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的 学生人数为 X,求随机变量 X 的分布列及其均值. 【考点】离散型随机变量及其分布列;列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

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【分析】 (1) 语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有 (6+n) 名, 由题意得



从而 n=2,m=4,由此利用对立事件概率计算公式能求出从参加测试的语言表达能力良好的 学生中任意抽取 2 名,其中至少有一名逻辑能力优秀的学生. (Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列 及 E(X) . 【解答】解: (1)用 A 表示“从这 20 名参加测试的学生中随机抽取一人,抽到语言表达能 力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”, ∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6+n)名, ∴P(A)= ,解得 n=2,

∴m=4, 用 B 表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取 2 名,其中至少有一名逻辑能 力优秀的学生”, ∴P(B)=1﹣ = .

(Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2, ∵20 名学生中,语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有名, ∴P(X=0)= = ,

P(X=1)=

=



P(X=2)=

=



∴X 的分布列为: X P E(X)=

0

1

2

= .

19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 3Sn+an﹣3=0,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足 bn= Tn≥ 成立的 n 的最小值. ,求 Tn= ,求使

【考点】数列的求和;数列递推式.

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【分析】 (1)通过 3Sn+an﹣3=0 与 3Sn﹣1+an﹣1﹣3=0 作差,进而可知数列{an}是首项为 、 公比为 的等比数列,利用公式计算即得结论; (2)通过(1)及 3Sn+an﹣3=0 计算可知 bn=﹣n﹣1,裂项可知 并项相加即得结论. 【解答】解: (1)∵3Sn+an﹣3=0, ∴当 n=1 时,3S1+a1﹣3=0,即 a1= , 又∵当 n≥2 时,3Sn﹣1+an﹣1﹣3=0, ∴3an+an﹣an﹣1=0,即 an= an﹣1, ∴数列{an}是首项为 、公比为 的等比数列, 故其通项公式 an= ? =3? ; , = ﹣ ,进而

(2)由(1)可知,1﹣Sn+1= an+1= ∴bn= ∵ ∴Tn= = ﹣ + ﹣ +…+ = ﹣ 由 Tn≥ 化简得: , 可知, ﹣ ≤ ≥ , ﹣ = =﹣n﹣1, = ﹣ ,

,解得:n≥2016,

故满足条件的 n 的最小值为 2016. 20.已知一动圆经过点 M(2,0) ,且在 y 轴上截得的弦长为 4,设动圆圆心的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 N(1,0)任意作相互垂直的两条直线 l1,l2,分别交曲线 C 于不同的两点 A,B 和不同的两点 D,E.设线段 AB,DE 的中点分别为 P,Q. ①求证:直线 PQ 过定点 R,并求出定点 R 的坐标; ②求|PQ|的最小值. 【考点】轨迹方程.

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【分析】 (1)利用一动圆经过点 M(2,0) ,且在 y 轴上截得的弦长为 4,建立方程,即可 求曲线 C 的方程; (2)①设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,直线 l1 的方程为 y=k(x﹣1) (k≠ 0) ,与抛物线方程联立,利用韦达定理可求点 P,Q 的坐标,进而可确定直线 PQ 的方程, 即可得到结论. ②由①|PQ|2=(2k﹣ )2+(2k+ )2=4[(k2+ )2+(k2+ )﹣2],换元利用基本

不等式求|PQ|的最小值. 【解答】解: (1)设圆心 C(x,y) ,则 x2+4=(x﹣2)2+y2, 化简得 y2=4x, ∴动圆圆心的轨迹的方程为 y2=4x. (2)①设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) , 由题意可设直线 l1 的方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) , 2 2 2 2 2 与 y =4x 联立得 k x ﹣(2k +4)x+k =0. △=(2k2+4)2﹣4k4=16k2+16>0,x1+x2=2+ 所以点 P 的坐标为(1+ , ) . ,y1+y2=k(x1+x2﹣2)= .

由题知,直线 l2 的斜率为﹣ ,同理可得点 Q 的坐标为(1+2k2,﹣2k) . 当 k≠±1 时,有 1+ ≠1+2k2,此时直线 PQ 的斜率 kPQ=



所以,直线 PQ 的方程为 y+2k=

(x﹣1﹣2k2) ,

整理得 yk2+(x﹣3)k﹣y=0,于是,直线 PQ 恒过定点 E(3,0) ; 当 k=±1 时,直线 PQ 的方程为 x=3,也过点 E(3,0) . 综上所述,直线 PQ 恒过定点 E(3,0) . ②由①|PQ|2=(2k﹣ 记 k2+ ∵k2+ =t ≥2,∴t≥2, )2+(2k+ )2=4[(k2+ )2+(k2+ )﹣2],

∴|PQ|2=4[(t+ )2﹣ ], ∴t=2,即 k=±1 时,|PQ|的最小值为 4. 21.已知函数 f(x)=ex,其中 e=2.71828…为自然对数的底数. (1)设函数 g(x)=(x2+ax﹣2a﹣3)f(x) ,a∈R.试讨论函数 g(x)的单调性; (2)设函数 h(x)=f(x)﹣mx2﹣x,m∈R,若对任意 都有 x2h(x1)﹣x1h(x2)>x1x2(x2﹣x1)成立,求实数 m 的取值范围.
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,且 x1>x2

【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (1)先求函数 g(x)的解析式,求导,根据 a 的取值,分别解关于 x 的不等式 g′ (x)>0,g′(x)<0 即可; (2) 根据已知条件将其转化成, +x1> +x2 , 且 x1>x2, 构造辅助函数 F (x)

=

﹣(m﹣1)x﹣1,求导,分离变量求得 m≤

+1,在 x∈[ ,2]上恒成立,

构造辅助函数,求导,利用函数的单调性,求得函数的最小值,即可求得 m 的取值范围. 【解答】解: (1)g(x)=ex(x2+ax﹣2a﹣3) ,a∈R. x 2 ∴g′(x)=e [x +(a+2)x﹣a﹣3], =a(x﹣1) (x+a+3) , 当 a=﹣4 时,g′(x)=a(x﹣1)2≥0, ∴g(x)在 R 上单调递减, 当 a>﹣4 时,由 g′(x)>0,解得 x<﹣a﹣3 或 x>1, ∴g(x)在(﹣∞,﹣a﹣3) , (1,+∞)上单调递增, 由 g′(x)>0,解得﹣a﹣3<x<1, ∴g(x)在(﹣a﹣3,1)上单调递减; 当 a<﹣4 时,由 g′(x)>0,解得 x<1 或 x>﹣a﹣3, ∴g(x)在(﹣∞,1) , (﹣a﹣3,+∞)上单调递增, 由 g′(x)>0,解得 1<x<﹣a﹣3, ∴g(x)在(1,﹣a﹣3)上单调递减, 综上所述:当 a=﹣4 时,g(x)在 R 上单调递减; 当 a>﹣4 时,g(x)在(﹣∞,﹣a﹣3) , (1,+∞)上单调递增,在(﹣a﹣3,1)上单调 递减; 当 a<﹣4 时,g(x)在(﹣∞,1) , (﹣a﹣3,+∞)上单调递增,在(1,﹣a﹣3)上单调 递减. (2)h(x)=f(x)﹣mx2﹣x=ex﹣mx2﹣x, ∴x2h(x1)﹣x1h(x2)>x1x2(x2﹣x1) , ∴ ﹣ >x2﹣x1, ,

不等式



>x2﹣x1,等价于 = ﹣(m﹣1)x﹣1,

+x1>

+x2,且 x1>x2,

记 F(x)=

∴F(x)在[ ,2]上单调递增,

F′(x)=

﹣(m﹣1)≥0 在 x∈[ ,2]上恒成立,

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m≤

+1,在 x∈[ ,2]上恒成立,

记 P(x)=

+1,

∴P′(x)=

>0,

∴P(x)在[ ,2]上单调递增,P(x)min=P( )=1﹣2 ∴实数 m 的取值范围为(﹣∞,1﹣2 ].



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2016 年 8 月 13 日

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