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2018版高中数学人教B版必修二学案:1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

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1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 [学习目标] 1.理解正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面积的定义及计算公式.2.了解球、 圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式. [知识链接] 1.棱柱的侧面形状是平行四边形;棱锥的侧面是三角形;棱台的侧面形状是梯形. 2.圆柱、圆锥、圆台的底面形状是圆. 1 3.三角形的面积 S= ah(其中 a 为底,h 为高),圆的面积 S=πr2(其中 r 为半径). 2 [预习导引] 柱体、锥体、台体、球的表面积 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 表面积公式 S=2πr(r+l)(其中 r 为底面半径,l 为母线长) S=πr(r+l)(其中 r 为底面半径,l 为母线长) S=π(r′2+r2+r′l+rl)(其中 r′,r 分别为上、下底面半径,l 为母线长) S=4πR2(其中 R 为球的半径) 要点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 例 1 已知正四棱锥底面边长为 4,高与斜高夹角为 30° ,求它的侧面积和表面积. 解 如图所示,设正四棱锥的高为 PO,斜高为 PE,底面边心距为 OE,它们组成一个直角 三角形 POE. 4 ∵OE= =2,∠OPE=30° . 2 OE 2 ∴PE= = =4. sin 30° 1 2 1 1 ∴S 正四棱锥侧= ch′= ×(4×4)×4=32, 2 2 S 表面积=42+32=48. 即该正四棱锥的侧面积是 32,表面积是 48. 规律方法 1.要求锥体的侧面积及表面积,要利用已知条件寻求公式中所需的条件,一般用 锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量. 2.空间几何体的表面积运算, 一般是转化为平面几何图形的运算, 往往通过解三角形来完成. 跟踪演练 1 若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,求其表面积. 解 由主视图知三棱柱的高 h=1,底面三角形边长为 2, 故 S 侧=3×2×1=6,S 底=2×22× S 表=S 侧+S 底=6+2 3. ∴几何体的表面积为 6+2 3. 要点二 空间几何体的表面积 例 2 如图所示,已知直角梯形 ABCD,BC∥AD,∠ABC=90° ,AB=5 cm,BC=16 cm, AD=4 cm.求以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 3 =2 3, 4 解 以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底半径是 4 cm,下底半径是 16 cm,母线 DC= 52+?16-4?2=13(cm). ∴该几何体的表面积为 π(4+16)×13+π×42+π×162=532π(cm2). 规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因此准确把握轴截面 中的相关量是求解旋转体表面积的关键. 2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直 角三角形(或梯形)求解. 跟踪演练 2 在题设条件不变的情况下,求以 BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面 积. 解 以 BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图所示: 其中圆锥的高为 16-4=12(cm),圆柱的母线长为 AD=4 cm,故该几何体的表面积为 2π×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2). 要点三 球的表面积 例 3 有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过 这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比. 解 设正方体的棱长为 a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面正方形的中心,经过四个切点及球 a 2 心作截面,如图①,所以有 2r1=a,r1= ,所以 S1=4πr2 1=πa . 2 (2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图②, 2r2= 2a,r2= 2 2 a,所以 S2=4πr2 2=2πa . 2 (3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图③,所以有 2r3= 3 a,r3= 3 a, 2 2 所以 S3=4πr2 3=3πa . 综上可得 S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 规律方法 1.在处理球和长方体的组合问题时, 通常先作出过球心且过长方体对角面的截面 图,然后通过已知条件求解. 2.球的表面积的考查常以外接球的形式出现,可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体, 长方体等,通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解. 跟踪演练 3 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面 α,H 为垂足, α 截球 O 所得截面的面积为 π,则球 O 的表面积为________. 答案 9 π 2 解析 如图,设球 O 的半径为 R,则由 AH∶HB=1∶2 得 1 2 R HA= · 2R= R,∴OH= . 3 3 3 ∵截面面积为 π=π·(HM)2, ∴HM=1. 在 Rt△HMO 中,OM2=OH2+HM2, 1 1 ∴R2= R2+HM2= R2+1, 9 9 3 2 ∴R= . 4 ∴S 球=4πR2=4π·? 3 2?2 9 = π. ? 4 ? 2 1.已知两个球的半径之比为 1∶2,则这两个球的表面积之比为( A.1∶2 C.1∶6 答案 B B.1∶4 D.1∶8 ) 解析 ∵半径比为 1∶2,且 S=4πR2,∴表面积比为半径比的平方,故选 B. 2.底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线长为 2,体对角线长为 6,则这个棱柱的侧面 积是( A.2 C.6 答案 D 解析 由已知得底面边长为 1,侧棱长为 6-2=2. ∴S 侧=1×2×4=8. 3.已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,左视图是一个面积为 2的矩 形,则该正方体的主视图的面积等于( A. C. 3 2 2+1 2 B.1 D. 2 ) ) B.4 D.8 答案 D 解析 根据正方体的俯视图及左视图特征想象出其

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