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点、直线、平面之间的位置关系

时间:2015-11-22


点、直线、平面之间的位置关系
(一) 、立体几何网络图:
⑹ 两直线 ⑴ 线线平行 ⑵ ⑶ ⑾ 三垂线定理 ⑺ 线线垂直 三垂线逆定理 ⑻ ⑿ ⑼ ⑽ 线面垂直 线面平行 ⑷ ⑸ ⒀ ⒂ ⒃ 面面平行

⒁ 面面垂直

1、线线平行的判断: (1) 、平行于同一直线的两直线平行。 (3) 、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线和交线平行。 (6) 、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (12) 、垂直于同一平面的两直线平行。 2、线线垂直的判断: (7) 、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也 和这条斜线垂直。 (8) 、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜 线的射影垂直。 (10) 、若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。 补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。 3、线面平行的判断: (2) 、 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平 面平行。 (5) 、两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 判定定理:

性质定理:

2 线面斜交和线面角: l ∩α=A 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜交,则平面的斜线与该 斜线在平面内射影的夹角 θ。 2.2 线面角的范围:θ∈[0° ,90° ] 注意:当直线在平面内或者直线平行于平面时,θ=0°; 当直线垂直于平面时,θ=90° 4、 (重点)线面垂直的判断: 证明面外直线分别平行于两条面内支线,常用方法: 1 中垂线平行于底边 2 三垂线定理及其逆定理 3 欲证线 a⊥线 b,线 c 所在平面,可证线 b⊥线 a 所在平面→线 b⊥线 a ⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。 ⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 ⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⒃如果两个平面垂直, 那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 判定定理:

性质定理: 则它垂直于 即: (2)垂直于同一平面的两直线平行。
即:

(1) 若直线垂直于平面, 平面内任意一条直线。

★1 三垂线定理及其逆定理 ⑴ 斜线定理:从平面外一点向这个平面所引的所有线段中, 斜线相等则射影相等,斜线越长则射影越长,垂线段最短。 如图: ⑵ 三垂线定理及其逆定理 已知 PO⊥α,斜线 PA 在平面 α 内的射影为 OA,a 是平面 α 内的一条直线。 ① 三垂线定理:若 a⊥OA,则 a⊥PA。即垂直射影则垂 直斜线。
图 2-7 斜线定理

② 三垂线定理逆定理:若 a⊥PA,则 a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。 ⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直; ② 作出和证明二面角的平面角; ③ 作点到线的垂线段。 5、面面平行的判断: ⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。 ⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。 6、面面垂直的判断: ⒂一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。 判定定理: 性质定理: ⑴ 若两面垂直,则这两个平面的二面角的平面角为 90 °; (2)
图 2-8 三垂线定理

(3)
图 2-10 面面垂直性质 2

(4)

(二) 、其他定理:

图 2-11 面面垂直性质 3

(1)确定平面的条件:①不公线的三点;②直线和直线外一点;③相交直线; (2)直线与直线的位置关系: 相交 ; 平行 ; 异面 ;
直线与平面的位置关系: 在平面内 ; 平行 ; 相交(垂直是它的特殊情况) ;

平面与平面的位置关系: 相交 ; ; 平行 ; (3)等角定理:如果两个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等; 如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么这两组直

线所成的锐角(或直角)相等; (4)射影定理(斜线长、射影长定理) :从平面外一点向这个平面所引的垂线段 和斜线段中,射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也 较长; 反之, 斜线段相等的射影相等; 斜线段较长的射影也较长; 垂线段比任何一条斜线段都短。 (5)最小角定理:斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射 影所成的角。 (6)异面直线的判定: ①反证法; ②过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不过该点的直线是异面直线。 (7)过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。 (8)如果—直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于两个平面的交线。 (三) 、唯一性定理: (1)过已知点,有且只能作一直线和已知平面垂直。 (2)过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平面平行。 (3)过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。

随堂练习
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知直线 l、m,平面 ? 、 ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出下列四个命题 ①若 ? // ? , 则l ? m ; ②若 l ? m , 则 ? // ? ; ③若 ? ? ? , 则 l // m ; ④若 l // m , 则 ? ? ? ;其中正确命题的个数是: ( )

A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图所示,四边形 ABCD 中,AD//BC,AD=AB,∠BCD=450,∠BAD= 900,将 ?ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成四面体 ABCD,则四 面体 ABCD 中,下列命题正确的是( )

A.平面 ABD⊥平面 A BC C.平面 ABC⊥平面 BDC

B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABD

3.关于直线 m、n 与平面 ? 、 ? ,有下列四个命题: ①若 m // ? , n // ?且? // ? , 则m // n ③若 m ? ? , n // ?且? // ? , 则m ? n 其中真命题的序号是( ) A.①、② B.③、④ ②若 m ? ? , n ? ?且? ? ? , 则m ? n ④若 m // ? , n ? ?且? ? ? , 则m // n C.①、④ D.②、③ )

4.如果直线 l、m 与平面 ? 、 ? 、 ? 满足 l ? ? ? ? , l // ? , m ? ? 那么必有( A. ? ? ?和l ? m C. m // ?和l ? m B. ? ? ?和m // ? D. ? // ?和a ? ?

5.设 ? 、 ? 、 ? 为两两不重合的平面,l、m、n 为两两不重合的直线,给出下列 四个命题,其中真命题的个数是( ①若 ? ? ? , ? ? ? , 则? // ? ③若 ? // ? , l ? ? , 则l // ? )

②若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则? // ? ④若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, l // ? , 则m // n

A. 1 B.2 C.3 D.4 6.过平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线,其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有( ) A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.12 条 7.平面 ? 的斜线 AB 交 ? 于点 B,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 ? 于 点 C,则动点 C 的轨迹是( ) A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一 支 8.若 l、m、n 是互不相同的空间直线, ? 、 ? 是不重合的平面,则下列命题中 为真命题的是( ) B.若 ? ? ? , l ? ? , 则l ? ? D.若 l ? ? , l // ? , 则a ? ?

A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? , 则l // n C.若 l ? n, m ? n, 则l // m

9.在空间中,有如下命题: ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线 ②若平面 ? // 平面 ? ,则平面 ? 内任意一条直线 m // 平面 ? ③若平面 ? 与平面 ? 的交线为 m, 平面 ? 内的直线 n ? 直线 m, 则直线 n ? 平面 ? ④若点 P 到三角形三条边的距离相等,则点 P 在该三角内部的射影是该三角形 的内心。

其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2

C .3

D.4

10.已知 a,b 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,且 a ? ? , b ? ? , 则下列命题中的假命题是( A.若 a // b, 则? // ? C.若 a, b相交, 则? , ? 相交 ) B.若 ? ? ? , 则a ? b D.若 ? , ? 相交,则 a,b 相交 )

11.已知 m、n、l 为直线, ? 、 ? 、 ? 为平面,有下列四个命题( ①若 m // ? , m // ? , 则? // ? ; ③若 ? ? ? , ? // ? , 则? ? ? ; 其中正确命题的个数是( A.0 B.1 ) C .2 D.3

②若 l ? n, l ? m, n ? ? , m ? ? , 则l ? ? ④若 m ? ? , n ? ? , ? ? ? , 则m ? n

12.已知平面 ? // 平面 ? ,直线 m ? ? ,直线 n ? ? ,点 A ? m ,点 B ? n ,记点 A、B 之间的距离为 a,点 A 到直线 n 的距离为 b,直线 m 和 n 的距离为 c,则 ( ) A.c≤b≤a B.c≤a≤b C.a≤c≤b D.b≤c≤a

13.在正方体 ABCD-中,E,F 分别是棱 BC,的中点,求证 EFD

14.在四棱锥 P-ABCD 中, ABCD 是平行四边形 M,N 分别是 AB,PC 的中点,求证:MN 平面 PAD

15.已知四棱锥 P-ABCD 的侧面是正三角形,E 是 PC 的中点 求证: (1)PA 平面 BDE (2)平面 BDE⊥平面 PAC 课后练习

1. 已知圆锥的母线长为 5cm ,高为 4cm ,求这个圆锥的体积。

2 已知四边形 ABCD 是空间四边形,E , F , G, H 分别是边 AB, BC, CD, DA 的中点, 求证: 四边形 EFGH 是平行四边形。 (12 分)

3、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证: (1)C1O∥面 AB1D1 ; (2 )面 BDC1∥面 AB1D1 . (12 分)

4.已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相等,且 D , E , F 分别为 BC, BB1 , AA1 的中点.

(1) 求证:平面 B1FC // 平面 EAD ; (2)求证: BC1 ? 平面 EAD .

A1 B1

C1

F E

A
D B

C

5.如图,菱形 ABCD 的边长为 6 , ?BAD ? 60 , AC ? BD ? O .将菱形 ABCD 沿对角线
?

AC 折起,角 BOD 为直角,得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 3 2 .
(1)求 证 : OM // 平 面 ABD ; (2)求 证 : 平 面 ABC ? 平 面 M D O; B A O D C O D B M C

A

后附图


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