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高数知识点总结(1)[1]

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高数知识点总结

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专接本高数知识点总结(上册) 专接本高数知识点总结(上册) 高数知识点总结

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——北雁友情提供 ——北雁友情提供 函数: 函数: 绝对值得性质: 绝对值得性质: (1)|a+b|

≤ |a|+|b|

(2)|a-b|

≥ |a|-|b|(3)|ab|=|a||b|

(4)|

函数的表示方法: 函数的表示方法: (1)表格法 函数的几种性质: 函数的几种性质: (1)函数的有界性 (3)函数的奇偶性 反函数: 反函数: 定理: 定理:如果函数 基本初等函数: 基本初等函数: (1)幂函数 (3)对数函数 (5)反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性: 极限与连续性: 数列的极限: 数列的极限: (2)指数函数 (2)函数的单调性 (4)函数的周期性 (2)图示法

a |a| |= (b ≠ 0) b |b|

(3)公式法(解析法)

y = f (x) 在区间[a,b]上是单调的,则它的反函数 y = f
(4)三角函数

?1

( x) 存在,且是单值、单调的。

{x n } 是一个数列,a 是一个定数。如果对于任意给定的正数 ε (不管它多么小) 总存在正整数 N,使得对于 n>N 的一切 xn ,不等式 xn ? a < ε , {x n } 的极限,或称数列 {x n } 收敛于 a,记做 lim xn = a ,或 xn → a ( n → ∞ ) n →∞ 都成立,则称数 a 是数列
定义: 设 定义: 定理: 定理:如果数列

收敛数列的有界性: 收敛数列的有界性:

{x n } 收敛,则数列 {x n } 一定有界

推论: (1)无界一定发散(2)收敛一定有界 (3)有界命题不一定收敛 推论: 函数的极限: 函数的极限: 定义及几何定义(略见书 37 页) 。 函数极限的性质: 函数极限的性质: (1)同号性定理 同号性定理:如果 lim f ( x ) = A ,而且 A>0(或 A<0),则必存在 x 0 的某一邻域,当 x 在该邻域内(点 x 0 可除外) ,有 f ( x ) > 0 (或 同号性定理 x → x0 f ( x) < 0 ) 。 (2)如果 lim f ( x ) = A ,且在 x 0 的某一邻域内( x ≠ x 0 ) ,恒有 f ( x ) ≥ 0 (或 f ( x ) ≤ 0 ) ,则 A ≥ 0 ( A ≤ 0 ) 。 x → x0 (3)如果 lim f ( x ) 存在,则极限值是唯一的 x→ x0 (4)如果 lim f ( x ) 存在,则在 f (x ) 在点 x 0 的某一邻域内( x ≠ x 0 )是有界的。

无穷小与无穷大: 无穷小与无穷大:

x→ x0

注意: 注意:无穷小不是一个很小的数,而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小的唯一的常数,因为如果 f ( x ) = 0 则对任给的 ε > 0 ,总有 f ( x) < ε ,即常数零满足无穷小的定义。除此之外,任何无论多么小的数,都不满足无穷小的定义,都不是无穷小。 无穷小与无穷大之间的关系: 无穷小与无穷大之间的关系: 1 (1)如果函数 f (x ) 为无穷大,则 为无穷小 1 f ( x) (2)如果函数 f (x ) 为无穷小,且 f ( x ) ≠ 0 ,则 为无穷大 f ( x) 具有极限的函数与无穷小的关系: 具有极限的函数与无穷小的关系: (1)具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和 (2)如果函数可表为常数与无穷小的和,则该常数就是函数的极限 关于无穷小的几个性质: 关于无穷小的几个性质: 定理: 定理: (1)有限个无穷小的代数和也是无穷小 (2)有界函数 推论: 推论: (1)常数与无穷小的乘积是无穷小 (2)有限个无穷小的乘积是无穷小 极限的四则运算法则: 极限的四则运算法则: 定理: 定理:两个函数

f (x) 与无穷小 a 的乘积是无穷小

两个函数

f (x) 、 g ( x) 的代数和的极限等于它们的极限的代数和 f (x) 、 g ( x) 乘积的极限等于它们的极限的乘积

极限存在准则与两个重要极限: 极限存在准则与两个重要极限: 准则一(夹挤定理) 准则一(夹挤定理) 设函数

(1)

f (x) 、 g ( x) 、 h ( x) 在 x = x0 的某个邻域内(点 x0 可除外)满足条件: g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x)
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x → x0

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(2) lim g ( x) = A , lim h( x ) = A → x → x0 lim f (xx)x0= A 单调有界数列必有极限 定理: 定理:如果单调数列有界,则它的极限必存在

准则二

sin x 1 ? cos x 1 1 lim (2) lim = 1 =x 1 x →0 x →0 x ) = e 或 lim(1 + x) x = e 2 x2 (3) lim (1 + x →0 x →∞ x 无穷小阶的定义: 无穷小阶的定义: 设 α、β 为同一过程的两个无穷小。 β (1)如果 lim β = 0 ,则称 β 是比 α 高阶的无穷小,记做 β = o(α ) (2)如果 lim α = ∞ ,则称 β 是比 α 低阶的无穷小 β (3)如果 lim α = c (c ≠ 0, c ≠ 1) ,则称 β 与 α 是同阶无穷小 β (4)如果 lim α = 1 ,则称 β 与 α 是等阶无穷小,记做 α ~ β α 几种等价无穷小: 几种等价无穷小: 1 对数函数中常用的等价无穷小: log a (1 + x) ~ x ( x → 0) x → 0 时, ln(1 + x) ~ x( x → 0) ln a 1 三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小: 1 ? cos x ~ x 2 x → 0 时, sin x ~ x tan x ~ x arcsin x ~ x arctan x ~ x 2
重要极限: 重要极限: (1) 指数函数中常用的等价无穷小:

x → 0 时, e x ? 1 ~ x a x ? 1 = e x ln a ? 1 ~ ln a x n 二项式中常用的等价无穷小: 1+ x ?1 ~ a x → 0 时, (1 + x) ? 1 ~ ax n
函数在某一点处连续的条件: 函数在某一点处连续的条件: 由连续定义 (1)

lim f ( x) = f ( x0 ) 可知,函数 f (x) 在点 x0 处连续必须同时满足下列三个条件: → x0 f (xx) 在点 x0 处有定义 (2)当 x → x 0 时, f (x ) 的极限 lim f ( x ) 存在 x → x0 (3)极限值等于函数 f (x ) 在点 x 0 处的函数值 f ( x 0 )
如果函数

极限与连续的关系: 极限与连续的关系:

f (x) 在点 x0 处连续,由连续定义可知,当 x → x0 时, f (x) 的极限一定存在,反之,则不一定成立
第二类间断点(有一个极限不存在)

函数的间断点: 函数的间断点: 分类: 分类:第一类间断点 (左右极限都存在) 连续函数的和、 连续函数的和、差、积、商的连续性: 商的连续性: 定理: 定理:如果函数 反函数的连续性: 反函数的连续性: 定理: 定理:如果函数 最大值与最小值定理: 最大值与最小值定理: 定理: 定理:设函数

f (x) 、 g ( x) 在点 x0 处连续,则他们的和、差、积、商(分母不为零)在点 x0 也连续 y = f (x) 在某区间上是单调增(或单调减)的连续函数,则它的反函数 x = ? ( y ) 也在对应的区间上是单调增(或单调减)的连续函数

推论: 推论:如果函数 介值定理: 介值定理:

f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续,则函数 f (x) 在闭区间 [a, b] 上必有最大值和最小值 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续,则 f (x) 在 [a, b] 上有界

定理: 定理:设函数 则在开区间

f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续,两端点处的函数值分别为 f (a ) = A, f (b) = B ( A ≠ B) ,而 ? 是介于 A 与 B 之间的任一值, (a, b) 内至少有一点 ξ ,使得 f (ξ ) = ? ( a < ξ < b) f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续,且 f (a ) ? f (b) < 0 (两端点的函数值异号),则在 (a, b) 的内部,至少存在一点 ξ ,使

推论( ) :在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值 推论(1) :

f (ξ ) = 0
导数与微分 导数: 导数:

推论( ) :设函数 推论(2) :

f ( x + ?x) ? f ( x) ?x → 0 ?x 导数的几何定义: 导数的几何定义:函数在图形上表示为切线的斜率
定义: 定义:

y ' = lim

函数可导性与连续性之间的表示: 函数可导性与连续性之间的表示: 如果函数在 x 处可导,则在点 x 处连续,也即函数在点 x 处连续 一个数在某一点连续,它却不一定在该点可导

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据导数的定义求导: 据导数的定义求导: (1)

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f ( x + ?x) ? f ( x 0 ) ?y y ' | x = x0 = lim f ( x= ? f ( x ) 0 lim ) ?x →0 0 ?x →0 ?x (2) y ' | x = x = lim ?x 0 x → x0 f ( x + ?x ) ? f ( x ) x ? x0 (3) y ' | x = x = lim 0 ?x →0 ?x 基本初等函数的导数公式: 基本初等函数的导数公式: (1)常数导数为零 (c)' = 0 (2)幂函数的导数公式 ( x n )' = nx n ?1

1 (sin x)' = cos x (cos x)' = ? sin x (tan x)' = = sec 2 x 1 2 cos 2xx (cot x)' = ? 2 = ? csc x (sec x)' = sec x tan sin cot x (csc x)' = ? csc x x 1 1 (4)对数函数的导数公式: (log a x )' = log a e = x x x x ln a (5)指数函数的导数公式: ( a )' = a ln a x x (6) (e )' = e (7)反三角函数的导数公式: 1 1 (arcsin x)' = 1 (arccos x)' = ? 1 (arctan x)' = 1 ? 2 2 x (arc cot x)' = ? 1 ? x 2 1+ x 1+ x2 函数和、 商的求导法则: 函数和、差、积、商的求导法则: 法则一(具体内容见书 106) (u + v)' = u ' + v ' (u ? v)' = u ' ? v '
函数乘积的求导法则: 函数乘积的求导法则: 法则二(具体内容见书 108) 函数商的求导法则: 函数商的求导法则: 法则三(具体内容见书 109) 复合函数的求导法则: (定理见书 复合函数的求导法则: 定理见书 113 页) ( 反函数的求导法则: 反函数的求导法则: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 基本初等函数的导数公式: (见书 基本初等函数的导数公式: 见书 121 页) ( 高阶导数: 高阶导数:二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 阶导数: 不完全归纳法) (不完全归纳法 求 n 阶导数: 不完全归纳法) (

(3)三角函数的导数公式

(uv)' = u ' v + uv ' u u ' v ? uv ' ( )' = v v2 d 2 y d dy = ( ) dx 2 dx dx

(sin x) ( n ) = sin( x + n ? ) (cos x) ( n ) = cos( x + n ? ) 2 2 隐函数的导数: (见书 隐函数的导数: 见书 126 页) ( dy ' 对隐函数求导时,首先将方程两端同时对自变量求导,但方程中的 y 是 x 的函数,它的导数用记号 (或 y 表示) ? x = ? (t ) (α ≤ t ≤ β ) dx ? 对数求导法:先取对数,后求导(幂指函数) y = φ (t ) ' 由参数方程所确定的函数的导数: 由参数方程所确定的函数的导数: ? dy dy dt dy 1 φ (t ) = ? = ? = ' dx dt dx dt dx ? (t ) 微分概念: 微分概念: 函数可微的条件(见书 133 页) dt 如果函数 f (x ) 在点 x 0 可微,则 f (x ) 在点 x 0 一定可导 函数 f (x ) 在点 x 0 可微的必要充分条件是函数 f (x ) 在点 x 0 可导 dy = f ' ( x0 )?x 函数的微分 dy 是函数的增量 ?y 的线性主部(当 ?x → 0 ) ,从而,当 ?x 很小时,有 ?y ≈ dy dy ' 通常把自变量 x 的增量 ?x 称为自变量的微分,记做 dx。即于是函数的微分可记为 dy = f ( x ) dx ,从而有 = f ' ( x) dx 基本初等函数的微分公式: (见书 基本初等函数的微分公式: 见书 136 页) (
几个常用的近似公式:

π

π

f ( x ) ≈ f ( 0) + f ' ( 0) x sin x ≈ x (x 用弧度) e2 ≈ 1 + x

n

tan x ≈ x (x 用弧度) ln(1 + x) ≈ x

1+ x ≈ 1+

1 x n

中值定理与导数应用

f (x) 满足下列条件 (1)在闭区间 [a, b ] 上连续 (2)在开区间 (a, b ) 内具有导数 ' (3)在端点处函数值相等,即 f ( a ) = f (b) ,则在 (a, b ) 内至少有一点 ξ ,使 f (ξ ) = 0 f (x) 满足下列条件 拉格朗日中值定理: 拉格朗日中值定理:如果函数 (1)在闭区间 [a, b ] 上连续 ' (2)在开区间 (a, b ) 内具有导数,则在 (a, b ) 内至少有一点 ξ ,使得 f (b) ? f ( a ) = f (ξ )(b ? a )
罗尔定理: 罗尔定理:如果函数

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于弧

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定理几何意义是: 定理几何意义是:如果连续曲线 ∩

y = f (x) 上的弧 AB 除端点处外处处具有不垂直于 x 轴的切线,那么,在这弧上至少有一点 c,使曲线在点 c 的切线平行

f ( x) 在区间 (a, b ) 内的导数恒为零,那么 f ( x) 在 (a, b ) 内是一个常数 f ( x) 与 F( x) 满足下列条件 (1)在闭区间 [a, b ] 上连续 (2)在开区间 (a, b ) 内具有导数 f (b) ? f (a ) f ' (ξ ) ‘ (3) F ( x ) 在 (a, b ) 内的每一点处均不为零,则在 (a, b ) 内至少有一点 ξ 使得 = F (b) ? F (a ) F ' (ξ ) 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例, 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广 0 罗比达法则: 理论根据是柯西中值定理) (理论根据是柯西中值定理 罗比达法则: 理论根据是柯西中值定理) ( 0 未定式 1、 x → a 情形 、 定理: 定理:如果 (1)当 x → a 时, f ( x ) 与 ? ( x ) 都趋于零 ' ' ' (2)在点 a 的某领域(点 a 可除外)内, f ( x ) 与 ? ( x ) 都存在且 ? ( x ) ≠ 0 f ' ( x) f ( x) f ( x) f ' ( x) (3) lim 存在(或为 ∞ ) ,则极限 lim 存在(或为 ∞ ) ,且 lim = lim x→a ? ' ( x) x→a ? ( x) x→a ? ( x) x→a ? ' ( x) 在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为罗比达法则 在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为罗比达法则 2、 x → ∞ 情形 、 推论: 推论:如果 (1)当 x → ∞ 时, f ( x ) 与 ? ( x ) 都趋于零 ' ' ' (2)当|x|>N 时, f ( x ) 与 ? ( x ) 都存在且 ? ( x ) ≠ 0 f ' ( x) f ( x) f ( x) f ' ( x) ∞ (3) lim 存在(或为 ∞ ) ,则极限 lim 存在(或为 ∞ ) ,且 lim = lim x → ∞ ? ' ( x) x→∞ ? ( x) x → ∞ ? ( x ) x → ∞ ? ' ( x) ∞ 未定式 1、 x → a 情形 、 如果 (1) x → a 时, f (x ) 与 ? (x ) 都趋于无穷大 ' ' ' (2)在点 a 的某领域(点 a 可除外)内, f ( x ) 与 ? ( x ) 都存在且 ? ( x ) ≠ 0 f ' ( x) f ( x) f ( x) f ' ( x) (3) lim 存在(或为 ∞ ) ,则则极限 lim 存在(或为 ∞ ) ,且 lim = lim x→a ? ' ( x) x→a ? ( x) x→a ? ( x) x→a ? ' ( x) 2、 x → ∞ 情形 、 推论: 推论:如果 (1) x → ∞ 时, f (x ) 与 ? (x ) 都趋于无穷大 ' ' ' (2)当|x|>N 时, f ( x ) 与 ? ( x ) 都存在且 ? ( x ) ≠ 0 f ' ( x) f ( x) f ( x) f ' ( x) (3) lim 存在(或为 ∞ ) ,则则极限 lim 存在(或为 ∞ ) ,且 lim = lim 0 x →∞? ' ( x) a x→a ? ( x) x→a ? ( x) x→a ? ' ( x) 注意: 注意:1、罗比达法则仅适用于 f ' ( x) 型及 ∞ 型未定式 f ( x) 0 不存在时,不能断定 lim 2、当 lim 不存在,此时不能应用罗比达法则 x→ a ? ' ( x) x→ a ? ( x) 泰勒公式( 泰勒公式(略) ( x→∞ ) ( x→∞ )
推论: 推论:如果函数 柯西中值定理: 柯西中值定理:如果函数 迈克劳林公式( 迈克劳林公式(略) 函数单调性的判别法: 函数单调性的判别法: 必要条件: 必要条件 : 设函数

AB



f ( x) ≤ 0 )
'

' f (x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b ) 内具有导数,如果 f (x) 在 [a, b] 上单调增加(减少) ,则在 (a, b ) 内, f ( x ) ≥ 0

充分条件: 充分条件:设函数

f (x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b ) 内具有导数, (a, b) 内, f '' ( x) > 0 ,则 f (x) 在 [a, b] 上单调增加 (2)如果在 (a, b ) 内, f ( x ) < 0 ,则 f (x ) 在 [a , b ] 上单调减少
(1)如果在

函数的极值及其求法 极值定义(见书 176 页) 极值存在的充分必要条件 必要条件: 必要条件:设函数

f (x) 在点 x0 处具有导数,且在点 x0 处取得极值,则 f ' ( x) = 0

函数的极值点一定是驻点

f ' ( x) = 0 的点,称为函数 f (x) 的驻点 充分条件(第一) 充分条件(第一) 设连续函数 f (x ) 在点 x 0 的一个邻域( x 0 点可除外)内具有导数,当 x 由小增大经过 x 0 时,如果 : ' (1) f ( x ) 由正变负,则 x 0 是极大点 ' (2) f ( x ) 由负变正,则 x 0 是极小点 ' (3) f ( x ) 不变号,则 x 0 不是极值点 ' ;; 充分条件(第二) :设函数 f (x ) 在点 x 0 处具有二阶导数,且 f ( x 0 ) = 0 , f ( x 0 ) ≠ 0 充分条件(第二) : ;; (1)如果 f ( x 0 ) < 0 ,则 f (x ) 在 x 0 点处取得极大值 ;; (2)如果 f ( x 0 ) > 0 ,则 f (x ) 在 x 0 点处取得极小值
驻点:使 函数的最大值和最小值( 函数的最大值和最小值(略) 曲线的凹凸性与拐点: 曲线的凹凸性与拐点: 定义: 设 定义:

导数不存在也可能成为极值点

f (x) 在 [a, b] 上连续,如果对于 [a, b] 上的任意两点 x1 、 x 2 恒有 f (

x1 + x 2 f ( x1 + f ( x 2 ) )< , 则称 f (x ) 在 [a , b ] 上 2 2
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判别法: 判别法: 定理: 定理:设函数

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的图形是(向上)凹的,反之,图形是(向上)凸的。

f (x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内具有二阶导数 ;; (1)如果在 ( a , b) 内 f ( x 0 ) > 0 ,那么 f (x ) 的图形在 [a, b ] 上是凹的 ;; (2)如果在 ( a , b) 内 f ( x 0 ) < 0 ,那么 f (x ) 的图形在 [a, b ] 上是凸的

拐点: 拐点:凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点。 不定积分 原函数: 原函数:如果在某一区间上,函数

F( x) 与 f (x) 满足关系式: F ' ( x) = f ( x) 或 dF ( x) = f ( x)dx ,则称在这个区间上,函数 F( x) 是函数 f (x) 的一个原函数 原函数 结论: 结论:如果函数 f (x ) 在某区间上连续,则在这个区间上 f (x ) 必有原函数 定理: 定理:如果函数 F( x ) 是 f (x ) 的原函数,则 F( x ) + C (C 为任意常数)也是 f (x ) 的原函数,且 f (x ) 的任一个原函数与 F( x ) 相差为一个常
定义: 定义:函数

数 不定积分的定义: 不定积分的定义:

f (x) 的全体原函数称为 f (x) 的不定积分,记做 ∫ f ( x)dx

不定积分的性质: 不定积分的性质: 性质一: 性质一:

( ∫ f ( x)dx) ' = f ( x) 或 d ( ∫ f ( x)dx) = f ( x)dx ' 及 ∫ f ( x)dx = f ( x) + C 或 ∫ df ( x) = f ( x) + C

性质二: 性质二:有限个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。即

性质三: 性质三:被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即

基本积分表: (同课本 基本积分表: 同课本 211 页) (

≠0 x a +1 a (1) kdx = kx + C (k 是常数) (2) x dx = + C (a ≠ ?1) ∫ 1 dx = ln |x x | +C ∫ a + 1 e x dx = e x + C (3) (4) ∫ xx ∫ a (5) a dx = (6) sin xdx = ? cos x + C ∫ cos xdx ln sin+xC+(a > 0, a ≠ 1) ∫ 1 dx = sec 2 xdx = tan x + C (7) =a ∫ 1 dx = csc 2Cxdx = ? cot x + C(8) ∫(10) 2 sec x tan xdx = sec x + C ∫ cos x (9) ∫ sin 2 xxcot xdx = ? csc x + C ∫ ∫1 dx = arcsin x + C (11) csc (12) ∫ 1 dx = arctan x + C ∫ 1? x2 (13) ∫ 1(+ x 2 ) 第一类换元法(凑微分法) 第一类换元法 凑微分法 ' [ dx ∫=f?? ( x)]? (xx|)+C = F[? ( x)] + C cot xdx = ln | sin x | +C tan xdx ln | cos ∫ ∫
(k 为常数,且 k 第二类换元法: 第二类换元法:变量代换 被积函数若函数有无理式,一般情况下导用第二类换元法。将无理式化为有理式

∫ [ f ( x) + f ( x) + ? + f ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
1 2

n

( x)]dx = ∫ f1 ( x)dx + ∫ f 2 ( x)dx + ? + ∫ f n ( x)dx

基本积分表添加公式: 结论: 结论: 如果被积函数含有 如果被积函数含有 如果被积函数含有 分部积分法: 分部积分法: 对应于两个函数乘积的微分法,可推另一种基本微分法---------分部积分法

a2 ? x2 x2 + a2 x2 ? a2

x = a sin t 化去根式 x = a tan t 化去根式 ,则进行变量代换 x = a sec t 化去根式
,则进行变量代换 ,则进行变量代换 分部积分公式 的积,可以利用分部积分法

vdu ∫ udv = uv ? ∫ 三角函数
令 u 等于幂函数

1、如果被积函数是幂函数与

指数函数 对数函数 2、如果被积函数是幂函数与 的积,可使用分部积分法 对数函数 反三角函数 令 u= 反三角函数 3、如果被积函数是指数函数与三角函数的积,也可用分部积分法。
定积分 定积分的定义( 定积分的定义(见课本 251 页) 定理: 定理:如果函数

定理: 定理:如果函数在

f (x) 在 [a, b] 上连续,则 f (x) 在 [a, b] 上可积 [a, b] 上只有有限个第一类间断点,则 f (x) 在 [a, b] 上可积
b

定积分的几何意义: 定积分的几何意义: 1、在

[a, b] 上 f ( x) ≥ 0 ,这时 ∫ f ( x)dx 的值在几何上表示由曲线 y = f (x) 、x 轴及二直线 x=a、x=b 所围成的曲边梯形的面积 a 2、在 [ a , b ] 上 f ( x ) ≤ 0 ,其表示曲边梯形面积的负值 3、在 [ a , b ] 上, f (x ) 既取得正值又取得负值

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定积分的性质: 定积分的性质:

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几何上表示由曲线

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y = f (x) 、x 轴及二直线 x=a、x=b 所围成平面图形位于 x 轴上方部分的面积减去 x 轴下方部分的面积
b

性质一、 性质一、函数和(差)的定积分等于他们的定积分的和(差) b b,即 性质二、 性质二、被积函数中的常数因子可以提到积分号外面,即 b b 性质三、 性质三、如果将区间

性质四、 性质四、如果在 性质五、 性质五、如果在 性质六、 性质六、如果在

性质七、 性质七、设 M 及 m,分别是函数 b m(b-a) 性质八、 性质八、积分中值定理 如果函数 微积分基本公式

∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx x dx ∫ kf ( x)dx =ak,∫ ] f ([c,)b] [ a, b] [ c =∫ ( ∫ f ( x)(dx = 1 f ( x)dx (+x)∫dxf =x)dx = b ? a [ a, b] f x) f ∫ f ( x)dx ≥ ∫0 dx [ a, b] f ( x) ≥ 0 ∫ [ a, b] f ( x) ≤ g ( x) ∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx f (x) [ a, b] ≤ ∫ f ( x)dx ≤
a a a
(k 是常数)

a b a

分成两部分

a

c



,那么 b

上, 上, 上,

a

b

,那么

c

b



,那么

a

b

a

,那么

a

b

b

在区间

上的最大值及最小值,则

a

a

M(b-a) (a<b)

……估值定理

a

f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续,那么在积分区间 [a, b] 上至少有一点 ξ ,使得 ∫ f ( x)dx = f (ξ )(b ? a)
a x


b

Φ( x) = ∫ f (t )dt (a ≤ x ≤ b) x f (x) a 区 间 [a, b] 上 连 续 , 那 么 积 分 上 限 的 函 数 Φ( x) = ∫ f (t )dt 在 d ‘ a Φ ( x) = f (t )dt = f ( x) a dx ∫[a, b] 上的连续函数 f (x) 的原函数一定存在 定理: 定理:在区间
积分上限的函数: 积分上限的函数: 性 质 : 如 果x 函 数

[ a, b]

上 具 有 导 数 , 且

牛顿——莱布尼茨公式 牛顿——莱布尼茨公式 —— 如果函数 定积分的换元法 假设(1)函数

f (x) 在区间 [a, b] 上连续,且 F (x) 是 f (x) 的任意一个原函数,那么 ∫ f ( x)dx = F (b) ? F (a)
a

b



b

a

f (x) 在区间 [a, b] 上连续; x = ? (t ) 在区间 [α , β ] 上单值,且具有连续导数; (3)当βt 在区间 [α , β ] 上变化时, x = ? (t ) 的值在 [ a , b ] 上变化,且 ?(α) a , ?(β ) b = = f ( x)dx = ∫ f [? (t )]? ' (t )dt α 设 f (x ) 在区间 [ ? a , a ] 上连续,则 a (1)如果函数 f (x ) 为奇函数,则 a f ( x ) dx = 0 a ∫?a f ( x)dx = 2 f ( x)dx π (2)如果函数 f π ) 为偶函数,则 (x ∫?a ∫0 2 sin n xdx = 2 cos n xdx ∫ ∫
(2)函数

,则有定积分的换元公式

定积分的分部积分法 设

0

0

' ' ' ' ' b u (x) 、 'v(x) 在 [a,'b] 上 具 有 连 续 导 数 u ( x) 、 v ( x) , 那 么 (uv) = uv + vu , 在 等 式 的 两 边 分 别 求 a 到 b 的 定 积 分 得 b b (uv) = uv dx + vu dx b……定积分的分部积分公式 b b b a uv ' dx = (uv) b ? vu ' dx 或 udv = (uv) b ? vdu a 即 ∫a a ∫a ∫a ∫a a ab 无穷区间上的广义积分 定义: 定义 +∞ :设函数 f (x ) 在区间 [ a , +∞ ] 上连续,取 b>a,如果极限 lim ∫ f ( x ) dx 存在,则称此极限为函数 f (x ) 在区间 [ a , +∞ ] 上的广义积分, +∞ b b → +∞ a 记做 ∫ f ( x)dx 即 ∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx
无界函数的广义积分(见书 279 页) 定积分的应用(见书 286 页) 元素法 在极坐标系中的计算法(见书 291 页)

a

a

b → +∞ a

梦想这东西和经典一样,永远不会因为时间而褪色,反而更显珍贵!
Classical is something not fade,but grow more precious with time pass by,so is dream! 第 6 页 共 6 页


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