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第5讲 圆锥曲线的综合问题(理科)

时间:2011-02-15

重庆大东方学校高三(寒假 理 重庆大东方学校高三 寒假)理科实验班数学讲座 5 寒假

2011-1-26

圆锥曲线的综合问题( 第 5 讲 圆锥曲线的综合问题(一)
考点 1 直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线 C 的位置关系 将直线 l 的方程代入曲线 C 的方程,消去 y 或者消去 x,得到一个关于 x(或 y)的方程 ax2+bx+c=0. (1)交点个数 ①当 a=0 或 a≠0,⊿=0

时,曲线和直线只有一个交点;

②当 a≠0,⊿>0 时,曲线和直线有两个交点; ③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点; (2) 弦长公式:

| AB |= 1 + k 2 ? | x2 ? x1 | = 1 + k 2 ? ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2
题型 1:交点个数问题 1. 设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q, 若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点, 则直线 l 的斜率的取值范围是( A.[- ) B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4]

1 1 , ] 2 2

【方法总结】 (1)解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法:一是判别式法;二是几何法 (2)直线与圆锥曲线有唯一交点,不等价于直线与圆锥曲线相切,还有一种情况是平行于 对称轴(抛物线)或平行于渐近线(双曲线) (3)联立方程组、消元后得到一元二次方程,不但要对 ? 进行讨论,还要对二次项系数是 否为 0 进行讨论 2.(2010 湖北)若直线 y=x+b 与曲线 y = 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是 ( 湖北) A. ? ?1,1 + 2 2 ?

?

?

B. ?1 ? 2 2,1 + 2 2 ?

?

?

C. ?1 ? 2 2,3?

?

?

D. ?1 ? 2, 3?

?

?

x2 y 2 x2 y 2 3.(2009 湖北卷理 )已知双曲线 ? = 1 的 准线过椭圆 + 2 = 1 的 焦点, 则直线 2 2 4 b
y = kx + 2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是(
) D. K ∈ ? ?∞, ? 2 ?
? ? ? ? 2 ? , +∞ ? ?U? ? 2 ? ? 2 ?

A. K ∈ ? ? 1 , 1 ? B. K ∈ ? ?∞, ? 1 ? U ? 1 , +∞ ? C. K ∈ ? ? 2 , 2 ? ? ? ? ? ? 2 2? 2? ?2
? ?
? ? ? ?

?

2

2 ?

题型 2:与弦中点有关的问题 “设而不求”在解题中的简化运算功能 ①求弦长时用韦达定理设而不求 ②弦中点问题用“点差法”设而不求

1

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4.(08 韶关调研)已知点 A、B 的坐标分别是 (?1, 0) , (1, 0) .直线 AM , BM 相交于点 M, 且它们的斜率之积为-2. (Ⅰ)求动点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)若过点 N ( ,1) 的直线 l 交动点 M 的轨迹于 C、 两点, 且 N 为线段 CD 的中点, D 求直线

1 2

l 的方程. x2 y 2 5..椭圆 + = 1 的弦被点 P(2,1) 所平分,求此弦所在直线的方程 16 4
6.已知直线 y=-x+1 与椭圆

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在 a 2 b2

直线 L:x-2y=0 上,求此椭圆的离心率 题型 3:线段比例问题 7.(2010 重庆)(14)已知以 F 为焦点的抛物线 y 2 = 4 x 上的两点 A、B 满足 AF = 3FB ,则 弦 AB 的中点到准线的距离为___________. 8.(2009 全国卷Ⅱ)已知直线 y = k ( x + 2 )( k > 0 ) 与抛物线 C : y 2 = 8 x 相交于 A、B 两点,

uuu r

uuu r

F 为 C 的焦点,若 | FA |= 2 | FB | ,则 k = (
A.

)

1 3

B.

2 3
x2 a

C.

2 3

D.

2 2 3

9.(2009 全国卷Ⅱ)已知双曲线 C: 2 ?

y2 = 1( a > 0, b > 0 ) 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 b2
( )

3 的直线交 C 于 A、B 两点,若 AF = 4 FB ,则 C 的离心率为
A.

6 5

B.

7 5

C.

5 8

D.

9 5

10. (2009 天津卷)设抛物线 y 2 =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交 于 A, 两点, B 与抛物线的准线相交于 C,BF =2, ? BCF 与 ? ACF 的面积之比 则

S ?BCF =( ) S ?ACF

A.

4 5

B.

2 3

C.

4 7

D.

1 2

11.(2010 全国卷 2) (12)已知椭圆 C:

x2 y2 3 + 2 = 1 (a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 2 a b 2

2

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F 且斜率为 k(k>0)的直线于 C 相交于 A、B 两点,若 AF = 3FB 。则 k = (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

uuu r

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12.(2010 全国卷 1)(16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D , 且 BF = 2FD ,则 C 的离心率为 13.(2010 全国卷 1 理)

uu r

uur

.

14.(2010 辽宁理)(20)(本小题满分 12 分) 设椭圆 C:

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B a2 b2
o

两点,直线 l 的倾斜角为 60 , AF = 2 FB . (I) (II) 求椭圆 C 的离心率; 如果|AB|=

uuu r

uuu r

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

题型 4:与弦长有关的问题 : 15. (山东省济南市 2008 年 2 月高三统一考试) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 与直线 x + y ? 1 = 0 相交于两点 A、B . a 2 b2

(1)当椭圆的半焦距 c = 1 ,且 a 2 , b 2 , c 2 成等差数列时,求椭圆的方程; (2)在(1)的条件下,求弦 AB 的长度 | AB | ;

3

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16.(山东泰州市 2007~2008 联考) 已知直线 y = 2 x + k 被抛物线 x = 4 y 截得的
2

弦长 AB 为 20, O 为坐标原点. (1)求实数 k 的值; (2)问点 C 位于抛物线弧 AOB 上何处时, △ ABC 面积最大? 17.(2010 天津)已知椭圆 到的菱形的面积为 4. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B,已知点 A 的坐标为(-a,0). (i)若|AB |=

x2 y2 3 + 2 = 1(a>b>0)的离心率 e= ,连接椭圆的四个顶点得 2 a b 2

4 2 ,求直线 l 的倾斜角; 5
uuur uuu r

(ii)若点 Q (0,y0) 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA QB=4 .求 y0 的值. 18.(2010 山东)如图,已知椭圆

x2 y2 2 + = 1(a>b>0) 的离心率为 ,以该椭圆上的点 2 a2 b2

和椭圆的左、 右焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 + 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭 圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为

A、B 和 C、D .
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,证明 k1 ·k 2 = 1 ; (Ⅲ)是否存在常数 λ ,使得 AB + CD = λ AB · CD 恒成立?若存在,求 λ 的值;若不 存在,请说明理由.

4


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