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【新版】北师大版高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》复习课件【名校精品】

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第二章 《空间向量与立体几何》 一.空间向量的运算 B b b a 结论:空间任意两个向量都是共面向量,所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有 关结论仍适用于它们。 O a A 类比思想 数形结合思想 平面向量 概念 定义 表示法 相等向量 空间向量 具有大小和方向的量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b 推广: (1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量; A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An (2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。 A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0 D1 A1 G D A B C B1 C1 M 始点相同的三个 不共面向量之和,等 于以这三个向量为棱 的平行六面体的以公 共始点为始点的对角 线所示向量 二.共线向量定理与共面向量定理 (一)、共线向量: 1.共线向量:空间两向量互相平行 或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行 向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线. 2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b ? o), a // b 的充要条件是存在实 数λ使 a ? ?b 已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中向量a叫做直线的 方向向量. 假如OP=OA+tAB,则点P、A、B三点共线。 若P为A,B中点, 则 1 OP ? OA ? OB 2 P 推论:如果 l 为经过已知点A且平行 可 用 于 证 明 点 共 线 a B A ? ? O 二.共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量, 叫做共面向量. O a a A ? 注意:空间任意两个向量是共面的,但空间 任意三个向量就不一定共面的了。 2.共面向量定理:如果两个向量 条件是存在实数对 x, y 使 P a ,b 不共线,则向量 p 与向量a , b共面的充要 ? xa ? yb 注:可用于证明三个向量共面 B b p A? P M a A O 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条 件是存在有序实数对x,y使 MP ? xMA ? yMB 或对空间任一点O,有OP ? OM ? xMA ? yMB 注意: 证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据 ? 存在唯一实数对 (x , y) , 使得MP ? xMA ? yMB ? OP ? xOM ? yOA ? zOB(其中,x ? y ? z ? 1) 1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b, 求x,y的值。 2、证明:三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2 共面;若a=mb+nc,试求实数m、n之值。 三.空间向量

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