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22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质课件ppt

时间:2018-06-14


二次函数y=ax2的图象和性质
y?x
2

8

y ? 2 x2

6
4 2

1 2 y? x 2
2
4

-4

-2

二次函数:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函 数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表 达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
下列哪些函数是二次函数?哪些是一次函数?

(1) y=3x-l
(4) y=x-2

(2) y=2x? +7
(5) y=(x+3)? -x? (6) y=3(x-1)? +1

直线 , (1) 一次函数的图象是一条_____ (2) 通常怎样画一个函数的图象? 列表、描点、连线 (3) 二次函数的图象是什么形 状呢? 结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法.我们得从 最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质.

画函数y=x2的图像 解: (1) 列表 x … -3 -2 -1 (2) 描点 y=x2 … 9 4 1 (3) 连线

0 0
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y

1 1

2 4

3 … 9 …

y=x2

还记得如何用 根据表中 x,y 的数值在 描点法画一个函数 坐标平面中描点 (x,y), 的图像吗?

再用平滑曲线顺次连 接各点,就得到y=x2的 图像.

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

x

请画函数y=-x2的图像 解:(1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … (2) 描点 y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … (3) 连线
1 y

根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接 各点,就得到y=-x2的图 像.

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 2 y= - x -7 -8 -9 -10

从图像可以看出,二次函数y=x2和y=-x2的图像都 是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在 y y 空中所经过的路线. o x 这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2. y=-x2的图像叫做抛物线y=-x2.
y=x2 x 实际上,二次函数的图像 它们的开口向上或者向下. 都是抛物线. 一般地,二次函数y=ax2+bx+c 的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c. 还可以看出,二次函数y=x2和y=-x2的图像 都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴. 抛物线与对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点. 抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点. 抛物线y=-x2的顶点(0,0)是它的最高点. o

对称轴、顶点、最低点、最高点

y?x

2

这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.

对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.

y?x

2

在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外),顶点是它的最 低点,开口向上,并且向上 无限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小, 最小值是0.

抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展, 当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.
y

y ? ?x

2

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

y ? x2

y = x2、y= - x2
y ? ?x2

抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值

y = x2 ( 0, 0) y轴
在x轴上方(除顶点外)

y = - x2 ( 0, 0) y轴
在x轴下方( 除顶点外)

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

当x=0时,最小值为0

当x=0时,最大值为0

探究
在同一坐标系中作二次函数y= x2和y=2x2的图象,会是什么样?

1 2 例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 2 x 和y=2x2的图像 解:(1) 列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …

(2) 描点

y= 2 x2

1

… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
-1.5

x … -2 y=2x2 … 8

-1 -0.5 0 0.5 1
y

4.5 2 0.5

1.5 2 … 0 0.5 2 4.5 8 …
10 y ? 2 x 9 8 7 6 5 4 3 2 1
2

(3) 连线 与函数y=x2(图中虚线图形) 的图像相比,有什么共同点 和不同点?
1 2 函数y=2 x ,y=2x2的图像

1 2 y? x 2

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

x

2 例2.画出函数y=x2、y=2x2、y= 1 2 x 的图象:

探究
顶点坐标

y=2x2

y=x2 y= 2 x2
1

a>0,开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性相同

只是开口 大小不同 二次项系数越大, 开口越小 顶点都是原点(0,0)

1 2 在同一直角坐标系中画出函数y=-2 x 和y=-2x2的图像 解:(1)列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …

(2)描点

y= -

1 x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 2



x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=-2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …

(3)连线 函数y=与函数y=-x2(图中虚线图形) 的图像相比,有什么共同点和不 同点?
1 2,y=-2x2的图像 x 2

1

y

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 -8 y ? ? x2 2 -9 -10 y ? ?2 x 2

2的图象: 例3.画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- 1 x 2

f1(x) = -2×x×x -1 g1(x) = 2

? ?

×x×x

a < 0,开口都向下; 对称轴都是y轴; 增减性相同.

y=-2x2

只是开口 大小不同 y=- 1 x2 二次项系数越小, 2 2 y=-x 开口越小

当a>0时,抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点,a越大, 抛物线的开口越小

一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. y ? 2x a>0 y ? x y
2
2

当a<0时,抛物线的开口向 a<0 y 1 上,顶点是抛物线的最高点,a越 -5-4-3-2-1 -1o1 2 3 4 5 -2 小,抛物线的开口越小; -3
在同一坐标系内,抛物线y=ax2与 抛物线y=-ax2是关于x轴对称的.
y ? ?x2

10 1 9 y ? x2 8 2 7 6 5 4 3 2 1 -5-4-3 -2-1 o1 2 3 4 5 x

x

-4 -5 -6 -7 -8 -9 -10y ? ?2x2

1 y ? ? x2 2

1. 二次函数的图像都是抛物线.
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点; 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点; |a|越大,抛物线的开口越小;
y

a>0

o

x

a<0

1、函数y=2x2的图象的开口 向上 ,对称轴y轴,顶点是(0,0);

(0,0); 2、函数y=-3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴,顶点是
m2+m

已知 y =(m+1)x 是二次函数且其图象开口向上, 求m的值和函数解析式 ① 解: 依题意有: m+1>0 m2+m=2 ②
解②得:m1=-2, m2=1 ∴ m=1 由①得:m>-1 此时,二次函数为: y=2x2,

请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。

y=ax2 顶点 对称轴 开口 (0,0)

图象

左侧 右侧
x y x y

a>0 最低点
(0,0) a<0 最高点

y轴

向上

增 减 增增 大 小 大大

y轴

向下

增 增 增减 大 大 大小

思考题
已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8)
(1)求此抛物线的函数解析式; (2)判断点B(-1,- 4)是否在此抛物线上。 解(1)把(-2,-8)代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2. (2)因为 ? 4 ? ?2(?1) 2,所以点B(-1 ,-4) 不在此抛物线上。


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