nbhkdz.com冰点文库

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第十章 推理与证明10.1

时间:2015-04-25


§ 10.1

合情推理与演绎推理

1.合情推理 (1)归纳推理 ①定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的 推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). ②特点:由部分到整体、由个别到一般的推理. (2)类比推理 ①定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也 具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). ②特点:类比推理是由特殊到特殊的推理. (3)合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类 比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之, 演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况;

-1-

③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.( × (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.( √ ) )

(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( × ) (4)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数,某数 m 是 3 的倍数,则 m 一定是 9 的倍数”,这是三段论 推理,但其结论是错误的.( √ ) (5)一个数列的前三项是 1,2,3,那么这个数列的通项公式是 an=n(n∈N*).( (6) 2 2+ =2 3 2 , 3 3 3+ =3 8 3 , 8 ) 4 4+ =4 15 4 ,?, 15 b 6+ =6 a × )

b (a,b 均为实 a

数),则可以推测 a=35,b=6.( √

1.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题, 推理错误的原因是( A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但推理形式错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误 答案 C 解析 由“三段论”的推理方式可知,该推理的错误原因是推理形式错误. 2.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4,类似地,在空 间中,若两个正四面体的棱长比为 1∶2,则它们的体积比为__________. 答案 1∶8 解析 ∵两个正三角形是相似的三角形,∴它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正 )

四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方,∴它们的体积比为 1∶8. 3.(2013· 陕西)观察下列等式 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 ?? 照此规律,第 n 个等式可为____________________________________.

-2-

+ + n?n+1? 答案 12-22+32-42+?+(-1)n 1n2=(-1)n 1· 2

解析 观察等式左边的式子,每次增加一项,故第 n 个等式左边有 n 项,指数都是 2,且正、 负相间,所以等式左边的通项为(-1)n 1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间,其绝对值分


别为 1,3,6,10,15,21,?.设此数列为{an},则 a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,?, n?n+1? an-an-1=n,各式相加得 an-a1=2+3+4+?+n,即 an=1+2+3+?+n= .所以第 2 n 个等式为 12-22+32-42+?+(-1)n 1n2=(-1)n
+ +1

n?n+1? . 2

4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比以上 T16 结论,设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,________, 成等比数列. T12 答案 T8 T12 T4 T8

解析 对于等比数列,通过类比,有等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn, 则 T4=a1a2a3a4,T8=a1a2?a8,T12=a1a2?a12, T16=a1a2?a16, T8 T12 因此 =a5a6a7a8, =a9a10a11a12, T4 T8 T16 =a a a a , T12 13 14 15 16 T8 T12 T16 而 T4, , , 的公比为 q16, T4 T8 T12 T8 T12 T16 因此 T4, , , 成等比数列. T4 T8 T12

题型一 归纳推理 1 例 1 设 f(x)= x ,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性 3+ 3 结论,并给出证明. 思维点拨 先正确计算各式的值,再根据自变量之和与函数之和的特征进行归纳. 解 f(0)+f(1)= = 1 1 + 1 3+ 3 3+ 3
0

3-1 3- 3 1 1 3 + = + = , 2 6 3 1+ 3 3+ 3 3 , 3

同理可得:f(-1)+f(2)=

-3-

f(-2)+f(3)=

3 ,并注意到在这三个特殊式子中,自变量之和均等于 1. 3 3 . 3

归纳猜想得:当 x1+x2=1 时,均有 f(x1)+f(x2)= 证明:设 x1+x2=1, ∵f(x1)+f(x2)= = 1 1 + 3x1+ 3 3x2+ 3

?3x1+ 3?+?3x2+ 3? 3x1+3x2+2 3 = ?3x1+ 3??3x2+ 3? 3x1+x2+ 3?3x1+3x2?+3 3x1+3x2+2 3 3x1+3x2+2 3 3 = = . 3?3x1+3x2?+2×3 3?3x1+3x2+2 3? 3



思维升华 归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同特征; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题. (1)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ? 照此规律,第五个等式应为______________________________________________. 1 1 1 5 7 (2) 已知 f(n) = 1 + + +?+ (n∈N*) ,经计算得 f(4)>2 , f(8)> , f(16)>3 , f(32)> ,则有 2 3 n 2 2 __________________________. 答案 (1)5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 (2)f(2n)> 解析 n+2 (n≥2,n∈N*) 2

(1)由于 1=12,2+3+4=9=32,3+4+5+6+7=25=52,4+5+6+7+8+9+10=49=

72,所以第五个等式为 5+6+7+8+9+10+11+12+13=92=81. 4 5 6 7 (2)由题意得 f(22)> ,f(23)> ,f(24)> ,f(25)> , 2 2 2 2 n+2 所以当 n≥2 时,有 f(2n)> . 2 n+2 故填 f(2n)> (n≥2,n∈N*). 2 题型二 类比推理

-4-

nb-ma 例 2 已知数列{an}为等差数列,若 am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*),则 am+n= . n-m 类比等差数列{an}的上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0,n∈N*),若 bm=c,bn=d(n-m≥2, m,n∈N*),则可以得到 bm+n=________. 思维点拨 等差数列{an}和等比数列{bn}类比时,等差数列的公差对应等比数列的公比,等差 数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算,等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘 方开方运算. 答案 n-m dn cm

解析 设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q. nb-ma - 因为 an=a1+(n-1)d,bn=b1qn 1,am+n= , n-m 所以类比得 bm+n= 思维升华 n-m dn . cm

(1)进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜

想.其中找到合适的类比对象是解题的关键. (2)类比推理常见的情形有平面与空间类比;低维的与高维的类比;等差数列与等比数列类比; 数的运算与向量的运算类比;圆锥曲线间的类比等. 在平面上,设 ha,hb,hc 是三角形 ABC 三条边上的高,P 为三角形内任一点,P Pa Pb Pc 到相应三边的距离分别为 Pa,Pb,Pc,我们可以得到结论: + + =1.把它类比到空间, ha hb hc 则三棱锥中的类似结论为______________________. 答案 Pa Pb Pc Pd + + + =1 ha hb hc hd

解析 设 ha,hb,hc,hd 分别是三棱锥 A-BCD 四个面上的高, P 为三棱锥 A-BCD 内任一点, Pa Pb P c Pd P 到相应四个面的距离分别为 Pa,Pb,Pc,Pd,于是可以得出结论: + + + =1. ha hb hc hd 题型三 演绎推理 a 例 3 已知函数 f(x)=- x (a>0,且 a≠1). a+ a 1 1 (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对称; 2 2 (2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. 思维点拨 证明本题依据的大前提是中心对称的定义,函数 y=f(x)的图象上的任一点关于对 a 1 1 称中心的对称点仍在图象上.小前提是 f(x)=- x (a>0,且 a≠1)的图象关于点( ,- ) 2 2 a+ a 对称.
-5-

1 1 (1)证明 函数 f(x)的定义域为全体实数,任取一点(x,y),它关于点( ,- )对称的点的坐标 2 2 为(1-x,-1-y). a 由已知 y=- x , a+ a a ax 则-1-y=-1+ x =- x , a+ a a+ a a a a· ax ax f(1-x)=- 1-x =- =- =- , a a + a a+ a· ax ax + a + a ax 1 1 ∴-1-y=f(1-x),即函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对称. 2 2 (2)解 由(1)知-1-f(x)=f(1-x), 即 f(x)+f(1-x)=-1. ∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1. 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. 思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,演绎推理的前提和

结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提,一般地,若大前提不明确时,可 找一个使结论成立的充分条件作为大前提. 已知函数 y=f(x)满足:对任意 a,b∈R,a≠b,都有 af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a), 试证明:f(x)为 R 上的单调增函数. 证明 设 x1,x2∈R,取 x1<x2, 则由题意得 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1), ∴x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]>0, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0, ∵x1<x2,∴f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1). ∴y=f(x)为 R 上的单调增函数.

高考中的合情推理问题 典例:(1)(2014· 课标Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说,我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________.
-6-

解析 由题意可推断:甲没去过 B 城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”, 说明甲去过 A,C 城市,而乙“没去过 C 城市”,说明乙去过城市 A,由此可知,乙去过的 城市为 A. 答案 A x2 y2 (2)若 P0(x0,y0)在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)外,过 P0 作椭圆的两条切线的切点为 P1,P2,则切点 a b x0x y0y 弦 P1P2 所在的直线方程是 2 + 2 =1,那么对于双曲线则有如下命题:若 P0(x0,y0)在双曲线 a b x2 y2 - =1(a>0,b>0)外,过 P0 作双曲线的两条切线,切点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在直线 a2 b2 的方程是________. 解析 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则 P1,P2 的切线方程分别是 x1x y1y x2x y2y 2 - 2 =1, 2 - 2 =1. a b a b 因为 P0(x0,y0)在这两条切线上, x1x0 y1y0 故有 2 - 2 =1, a b x2x0 y2y0 - 2 =1, a2 b x0x y0y 这说明 P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线 2 - 2 =1 上, a b x0x y0y 故切点弦 P1P2 所在的直线方程是 2 - 2 =1. a b 答案 x0x y0y - =1 a2 b2

(3)观察下列不等式: 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ?? 照此规律,第五个 不等式为________________________. ... 解析 归纳观察法. 观察每行不等式的特点,每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等, 且每行右端分数的分子构成等差数列. 1 1 1 1 1 11 故第五个不等式为 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6
-7-

1 1 1 1 1 11 答案 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 (4)(2014· 陕西)观察分析下表中的数据: 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是____________. 解析 观察 F,V,E 的变化得 F+V-E=2. 答案 F+V-E=2 温馨提醒 (1)解决归纳推理问题, 常因条件不足, 了解不全面而致误 .应由条件多列举一些特 殊情况再进行归纳. (2)解决类比问题,应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由,再去类比另一类问题.

方法与技巧 1.合情推理的过程概括为 从具体问题出发 ― → 观察、分析、比较、联想 ― → 归纳、类比 ― → 提出猜想 2.演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特殊情况的结论的推理方法,是由一般到特殊的 推理,常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行. 失误与防范 1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. 2.演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密性, 书写格式的规范性. 3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于( A.28 B.32 C.33 D.27 答案 B )

-8-

解析 5-2=3,11-5=6,20-11=9, 推出 x-20=12,所以 x=32. 2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理 ( ) B.大前提不正确 D.全不正确

A.结论正确 C.小前提不正确 答案 C

解析 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提错误. 3.下列推理是归纳推理的是( )

A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 点的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 x2 y2 C.由圆 x2+y2=r2 的面积 πr2,猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=πab a b D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B 解析 从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn,是从特殊到一般的推理,所以 B 是归纳推理, 故应选 B. 4.给出下列三个类比结论: ①(ab)n=anbn 与(a+b)n 类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α+β)类比,则有 sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2 与(a+b)2 类比,则有(a+b)2=a2+2a· b+b2. 其中正确结论的个数是( A.0 C.2 答案 B 解析 (a+b)n≠an+bn(n≠1,a· b≠0),故①错误. sin(α+β)=sin αsin β 不恒成立. 如 α=30° ,β=60° ,sin 90° =1,sin 30° · sin 60° = 由向量的运算公式知③正确. 5.若数列{an}是等差数列,则数列{bn}(bn= a1+a2+?+an )也为等差数列.类比这一性质可 n ) 3 ,故②错误. 4 ) B.1 D.3

知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则 dn 的表达式应为( c1+c2+?+cn A.dn= n c1· c2· ?· cn B.dn= n

-9-

C.dn= 答案 D

n cn+cn+?+cn 1 2 n n

n D.dn= c1· c2· ?· cn

解析 若{an}是等差数列,则 a1+a2+?+an=na1+

n?n-1? d, 2

?n-1? d d ∴bn=a1+ d= n+a1- ,即{bn}为等差数列; 2 2 2 若{cn}是等比数列,则 c1· c2· ?· cn=cn q1 1·
n =c1 · q
+2+?+(n-1)

n?n-1? , 2

n-1 n ∴dn= c1· c2· ?· cn=c1· q ,即{dn}为等比数列,故选 D. 2 6.仔细观察下面○和●的排列规律:○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●??若依此规律继续下去,得到一系列的○和●,那么在前 120 个○和●中, ●的个数是________. 答案 14 解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|??, 则前 n 组两种圈的总数是 f(n)=2+3+4+?+(n+1)= 易知 f(14)=119,f(15)=135,故 n=14. 1 7.在平面几何中,有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的 ”.拓展到空间,类比 3 平面几何的上述正确结论,则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________. 答案 1 4 n?n+3? , 2

解析 设正三角形的边长为 a,高为 h,内切圆半径为 r, 1 由等面积法知 3ar=ah,所以 r= h; 3 1 同理,由等体积法知 4SR=HS,所以 R= H. 4 8.(2013· 陕西)观察下列等式: (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 ? 照此规律,第 n 个等式可为____________________________. 答案 (n+1)(n+2)?(n+n)=2n×1×3×?×(2n-1)

- 10 -

解析 由已知的三个等式左边的变化规律,得第 n 个等式左边为(n+1)(n+2)?(n+n),由已 知的三个等式右边的变化规律, 得第 n 个等式右边为 2n 与 n 个奇数之积, 即 2n×1×3×?×(2n -1). 9.已知等差数列{an}的公差 d=2,首项 a1=5. (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)设 Tn=n(2an-5),求 S1,S2,S3,S4,S5;T1,T2,T3,T4,T5,并归纳出 Sn 与 Tn 的大小规 律. 解 (1)∵a1=5,d=2, n?n-1? ∴Sn=5n+ ×2=n(n+4). 2 (2)∵Tn=n(2an-5)=n[2(2n+3)-5]=4n2+n. ∴T1=5,T2=4×22+2=18,T3=4×32+3=39, T4=4×42+4=68,T5=4×52+5=105. S1=5,S2=2×(2+4)=12,S3=3×(3+4)=21, S4=4×(4+4)=32,S5=5×(5+4)=45. 由此可知 S1=T1,当 2≤n≤5,n∈N 时,Sn<Tn. 归纳猜想:当 n=1 时,Sn=Tn;当 n≥2,n∈N 时,Sn<Tn. 10.在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证: 1 1 1 = + ,那么在四面体 ABCD AD2 AB2 AC2

中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由. 解 如图所示,由射影定理 AD2=BD· DC,AB2=BD· BC, AC2=BC· DC, ∴ = 1 1 2= AD BD· DC BC2 BC2 = 2 . BD· BC· DC· BC AB · AC2

又 BC2=AB2+AC2, ∴ AB2+AC2 1 1 1 = + . 2= AD AB2· AC2 AB2 AC2

猜想,四面体 ABCD 中,AB、AC、AD 两两垂直,AE⊥平面 BCD, 则 1 1 1 1 = + + . AE2 AB2 AC2 AD2

证明:如图,连接 BE 并延长交 CD 于 F,连接 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD, ∴AB⊥平面 ACD.

- 11 -

∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, ∴ 1 1 1 = + . AE2 AB2 AF2

1 1 1 在 Rt△ACD 中,AF⊥CD,∴ 2= 2+ 2, AF AC AD ∴ 1 1 1 1 = + + . AE2 AB2 AC2 AD2 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 11.已知①正方形的对角线相等;②矩形的对角线相等;③正方形是矩形.根据“三段论”推 理出一个结论.则这个结论是( A.正方形的对角线相等 B.矩形的对角线相等 C.正方形是矩形 D.其他 答案 A 解析 根据演绎推理的特点,正方形与矩形是特殊与一般的关系,所以结论是正方形的对角 )

线相等. 12.设?是 R 的一个运算,A 是 R 的非空子集.若对于任意 a,b∈A,有 a?b∈A,则称 A 对运算?封闭. 下列数集对加法、 减法、 乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( A.自然数集 C.有理数集 答案 C 解析 A 错:因为自然数集对减法、除法不封闭;B 错:因为整数集对除法不封闭;C 对:因 为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数,故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等 于零)四则运算都封闭;D 错:因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭. 13.如图(1)若从点 O 所作的两条射线 OM、ON 上分别有点 M1、M2 与点 N1、N2,则三角形面 积之比 B.整数集 D.无理数集 )

S ?OM1 N1 S ?OM 2 N 2

OM1 ON1 = · .如图(2),若从点 O 所作的不在同一平面内的三条射线 OP、OQ 和 OM2 ON2

OR 上分别有点 P1、P2,点 Q1、Q2 和点 R1、R2,则类似的结论为______________________.

- 12 -

答案

VO ? P1Q1R1 VO ? P2Q2 R2

OP1 OQ1 OR1 = · · OP2 OQ2 OR2

解析 考查类比推理问题,由图看出三棱锥 P1-OR1Q1 及三棱锥 P2-OR2Q2 的底面面积之比 为

VO ? P1Q1R1 OQ1 OR1 OP1 · ,又过顶点分别向底面作垂线,得到高的比为 ,故体积之比为 = OQ2 OR2 OP2 V
O ? P2 Q2 R2

OP1 OQ1 OR1 · · . OP2 OQ2 OR2 14.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= Sn (1)数列{ }是等比数列; n (2)Sn+1=4an. n+2 证明 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= S, n n ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn), 即 nSn+1=2(n+1)Sn. 故 Sn+1 Sn =2· ,(小前提) n n+1 n+2 S (n∈N*).证明: n n

Sn 故{ }是以 2 为公比,1 为首项的等比数列.(结论) n (大前提是等比数列的定义,这里省略了) (2)由(1)可知 Sn+1 Sn-1 =4· (n≥2), n+1 n-1

Sn-1 n-1+2 ∴Sn+1=4(n+1)· =4· · Sn-1=4an(n≥2).(小前提) n-1 n-1 又∵a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论) 15. 对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0), 给出定义: 设 f′(x)是函数 y=f(x)的导数, f″(x) 是 f′(x)的导数, 若方程 f″(x)=0 有实数解 x0, 则称点(x0, f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”. 某 同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且 1 1 5 “拐点”就是对称中心.若 f(x)= x3- x2+3x- ,请你根据这一发现, 3 2 12

- 13 -

1 1 5 (1)求函数 f(x)= x3- x2+3x- 的对称中心; 3 2 12 1 2 3 4 2 012 (2)计算 f( )+f( )+f( )+f( )+?+f( ). 2 013 2 013 2 013 2 013 2 013 解 (1)f′(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1, 1 由 f″(x)=0,即 2x-1=0,解得 x= . 2 1 1 1 1 1 1 5 f( )= ×( )3- ×( )2+3× - =1. 2 3 2 2 2 2 12 1 1 5 1 由题中给出的结论,可知函数 f(x)= x3- x2+3x- 的对称中心为( ,1). 3 2 12 2 1 1 5 1 (2)由(1),知函数 f(x)= x3- x2+3x- 的对称中心为( ,1), 3 2 12 2 1 1 所以 f( +x)+f( -x)=2,即 f(x)+f(1-x)=2. 2 2 1 2 012 故 f( )+f( )=2, 2 013 2 013 2 2 011 f( )+f( )=2, 2 013 2 013 3 2 010 f( )+f( )=2, 2 013 2 013 ? 2 012 1 f( )+f( )=2. 2 013 2 013 1 2 3 4 2 012 所以 f( )+f( )+f( )+f( )+?+f( ) 2 013 2 013 2 013 2 013 2 013 1 = ×2×2 012=2 012. 2

- 14 -


2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第十章 ....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第十章 推理与证明10.1_数学_高中教育_教育专区。§ 10.1 合情推理与演绎推理 1.合情推理 (1)归纳...

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第十一章计数原理 1

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第一章 集合与常用逻

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第十一章计数原理 1

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)45分钟....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)45分钟阶段测试 立体几何(十)_数学_高中教育_教育专区。45 分钟阶段测试(十) (范围:§ 7.5~§ 7.7) 一、...

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)高考专....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)高考...但对空间想象能力和逻辑推理能力有一定的要求,在试卷...MD 与平面 CDEF 的垂直关系不变. (1)证明 因为 ...

...数学理科(浙江专用)知识梳理 第七章 立体几何7.1.doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第七章 立体几何7.1 - § 7.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积 1.空间几何体的结构特征 ...

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第九章 导数及其应用

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第七章 立体几何7.

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第六章 不等式6.3

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第四章 平面向量4.

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第七章 立体几何7.

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第七章 立体几何7.

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第九章 导数及其应用

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第四章 平面向量4.

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第三章 三角函数3.

...复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第五章 数列5.1.doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第五章 数列5.1 - § 5.1 数列的概念及简单表示法 1.数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列...

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第七章 立体几何7.

...知识梳理 第二章 函数概念与基本初等函数2.1.doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第二章 函数概念与基本初等函数2.1 - § 2.1 函数及其表示 1.函数的基本概念 (1)函数的定义 设 A...

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第八章 平面解析几何